2021-2022学年八年级数学北师大版上册1.2一定是直角三角形吗 同步培优提升训练（word版附答案）

2021年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》同步培优提升训练（附答案）
1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．6，12，8 B．7，24，25 C．1.5，2，2.5 D．9，12，15
3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝　 　．
6．若一个三角形的三边满足c2﹣a2＝b2，则这个三角形是　 　．
7．三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2＝c2，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如32+42＝52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数　 　．
8．在如图所示的方格中，连接格点AB、AC，则∠1+∠2＝　 　度．
9．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝　 　°．
10．如图直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则PQ＝　 　．
11．如果一个三角形的三边a、b、c满足（c﹣24）2+|a﹣10|+（b﹣26）2＝0，那么此三角形中最大的角是　 　，它的度数为　 　．
12．如图，已知AD⊥CD，AD＝3，CD＝4，BC＝13，AB＝12，则四边形ABCD的面积为　 　．
13．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　 　时，△PBQ是直角三角形．
14．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为　 　．
15．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　 　．
16．若△ABC的三边a、b、c，其中b＝1，且（a﹣1）2+|c﹣|＝0，则△ABC的形状为　 　．
17．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为　 　．
18．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是　 　．
19．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．
21．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求∠ACB的度数．
22．如图所示，在△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE＝12cm，△ABE的面积S＝60cm2．
（1）求出AB边的长；
（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．
参考答案
1．解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
2．解：A、62+82≠122，不符合勾股定理的逆定理，故正确．
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、1.52+22＝2.52，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故错误；
故选：A．
3．解：A、72+242＝252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；
B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
4．解：过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OD⊥AB于D，
在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD，
设OE＝x，
∵S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OCB，
∴×8×6＝OD×10+OE×6+OF×8，
∴10x+6x+8x＝48，
∴x＝2，
∴点O到BC的距离等于2，
即△BOC的BC边上的高是2，
故选：B．
5．解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，
此时∠DAE＝∠FCG，
∵CF∥BD，
∴∠BAC＝∠FCA，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，
∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，
∴∠CAG＝90°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，
故答案为：45°．
6．解：∵c2﹣a2＝b2，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
7．解：与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．
故答案为6，8，10（答案不唯一）．
8．解：由勾股定理得，AD2＝22+12＝5，DE2＝22+12＝5，AE2＝32+12＝10，
则AD2+DE2＝AE2，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠GAD+∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45．
9．解：连接AD，
由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAD+∠ADE＝180°，
∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°．
10．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，
∴BC＝＝＝12，
①如图1中，当AQ＝PQ，∠QPB＝90°时，设AQ＝PQ＝x，
∴x＝，∴PQ＝．
②当AQ＝PQ，∠PQB＝90°时，设AQ＝PQ＝y．
∴y＝．
综上所述，满足条件的PQ的值为或．
故答案为或．
11．解：∵（c﹣24）2+|a﹣10|+（b﹣26）2＝0，
∴a﹣10＝0，b﹣26＝0，c﹣24＝0，
∴a＝10，b＝26，c＝24．
∵102+242＝262，
∴a2+c2＝b2，
∴此三角形是直角三角形，其中最大的角是b边所对的角，它的度数为90°．
故答案为b边所对的角，90°．
12．解：连接AC，
∵AD⊥CD，CD＝4，AD＝3，
∴AC＝＝5，
∵AC2+AB2＝25+144＝169，BC2＝169，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ACB是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝×AB×AC﹣×AD×CD＝30﹣6＝24，
故答案为：24．
13．解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，
即t＝（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，
3﹣t＝t，t＝2（秒）．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
故答案为：1或2．
14．解：在Rt△AOB中，AO2＝AB2﹣BO2；
Rt△DOC中可得：DO2＝DC2﹣CO2；
∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2﹣BO2+DC2﹣CO2＝18，
即可得AD＝＝3．
故答案为：3．
15．解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，
故设第二个数为x，则第三个数为x+1，
根据勾股定理得：112+x2＝（x+1）2，
解得x＝60，
则得第5组数是：11、60、61．
故答案为：11、60、61．
16．解：∵（a﹣1）2+|c﹣|＝0，
∴a﹣1＝0，c﹣＝0，
解得a＝1，c＝，
∵12+12＝（）2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
17．解：∵32+42＝52，
∴三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，
∴这个三角形中最短边上的高为4，
故答案为：4．
18．解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD?AB＝15，
故答案为：15．
19．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝．
20．解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB＝20，BC＝15，
∴由勾股定理可得：AC＝＝＝25；
∵在△ADC中，CD＝7，AD＝24，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°；
（2）由（1）知，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝+＝234（cm2）．
21．解：（1）AB＝＝5，BC＝＝2，AC＝＝，
∴△ABC的周长＝2++5＝3+5；
（2）∵AC2＝（）2＝5，AB2＝52＝25，BC2＝（2）2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，
∴∠ACB＝90°．
22．解：（1）∵DE＝12，S△ABE＝DE?AB＝60，
∴AB＝10；
（2）∵AC＝8，BC＝6，62+82＝102，
∴AC2+BC2＝AB2，
由勾股定理逆定理得∠C＝90°．