2021-2022学年八年级数学北师大版上册第1章勾股定理 单元培优提升训练（word版附答案）

2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步培优提升训练（附答案）
1．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，△ABC的三个顶点都在格点上，则AC边上的高为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，点是上一点，连结，将沿翻折，得到，交于点．若，，，，的面积为1，则点到的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤12
4．下列四组数据，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，41
5．如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（ ）．
A． B．11 C．7 D．8
6．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，则小正方形的面积为（ ）．
A． B．2 C．4 D．
7．如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（ ）
A．50 B．56 C．60 D．72
8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（ ）
A．29 B．32 C．36 D．45
9．如图，已知中，，F是高和的交点，，，则线段的长度为（ ）
A． B．2 C． D．1
10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用、表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（　　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，则点到的距离________．
12．如图，l1∥l2∥l3，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3．若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC＝BC，则AB的长是_____．
13．如图，在中，，点为中点．，绕点旋转，，分别与边，交于，两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形．其中正确答案的序号有__________．
14．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，点E在BC上，AE⊥DE．且AE＝DE，若EC＝1．则CD＝_____．
15．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．

16．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．
17．设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________．
18．如图，已知，过作，且；再过作且；又过作且；又过作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，，，，……，那么______．
19．如图，在直角三角形中，，，点在边上，将沿着直线对折，使得点刚好落在直线上的点处，则__．
20．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．
21．如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D作垂直于AB的小路DE．经测量，米，米，米，米．
（1）求BD的长；
（2）求小路DE的长．
22．如图，铁路上、两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在距点多少千米处？
23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，作DE⊥AB于点E．
（1）如图1，当AC＝6，AB＝10时，求△ACD的面积；
（2）如图2，当∠B＝45°，取AD中点为F，连接FC，EF，CE，试判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，取AD中点为F，当∠B＝x°，∠CFE＝y°，确定两者之间的函数关系式．
24．在中，，点D在射线上（不与点重合），连接，将绕点D顺时针旋转90°得到，连接．
（1）如图1，点D在边上．
①求证：；
②若，求的长．
（2）如图2，点D在边的延长线上，用等式表示线段之间的数量关系（直接写出结论）．
25．阅读理解题：
（几何模型）
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题；在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A′B交l于点P，则PA+PB＝A'P+PB＝A'B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．
（模型应用）
如图2所示，两个村子A、B在一条河CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米200元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W．
（拓展延伸）
如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足　 （唯一选项正确）
A．∠APC＝∠EPD B．PA＝PE
C．∠APE＝90° D．∠APC＝∠DEP
26．（背景）在△ABC中，分别以边AB、AC为底，向△ABC外侧作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°．
（研究）点M为BC的中点，连接DM，EM，研究线段DM与EM的位置关系与数量关系．
（1）如图（1），当∠BAC＝90°时，延长EM到点F，使得MF＝ME，连接BF．此时易证△EMC≌△FMB，D、B、F三点在一条直线上．进一步分析可以得到△DEF是等腰直角三角形，因此得到线段DM与EM的位置关系是　 　，数量关系是　 　；
（2）如图（2），当∠BAC≠90°时，请继续探究线段DM与EM的位置关系与数量关系，并证明你的结论；
（3）（应用）如图（3），当点C，B，D在同一直线上时，连接DE，若AB＝2，AC＝4，求DE的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B A C A D D D
11．3
解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
根据折叠的性质，BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．
∴AC′=10-6=4．
在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8-x，根据勾股定理得
（8-x）2=x2+42．
解得x=3．
∴DC′=CD=3，
故答案为3．
12．2．
解:如图，过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，
则∠CAD+∠ACD＝90°，
∵AC⊥BC，
∴∠BCE+∠ACD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
∵在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴BE＝CD，
∵l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，
∴CD＝3，AD＝2+3＝5，
在Rt△ACD中，AC，
∵AC⊥BC，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴ABAC2．
故答案为：2．
13．①②③④
解：如图连接，，点为中点，，
．，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．①
，
，
．
，，
始终为等腰直角三角形．④
，
．②
，
．③
正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
14．
解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图，
∵BC＝6，EC＝1，
∴BE＝BC－EC＝5．
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°．
∵AE⊥DE，
∴∠DEF＋∠AEB＝90°．
∴∠BAE＝∠DEF．
∵AE＝DE，∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABE≌△EFD（AAS）．
∴EF＝AB＝3，DF＝BE＝5．
∴CF＝EF－EC＝2．
∴CD＝．
故答案为：．
15．12
解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB'＝x尺，则水深AC＝（x?1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52＋（x?1）2＝x2，
解得：x＝13，
即水深12尺，
故答案为：12
16．13
解:将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则，
作A关于的对称点，连接，
则此时线段即为蚂蚁走的最短路径，
过B作于点，
则，
在中，
由勾股定理得，
故答案为：13．
17．48
解：∵三角形的周长为24，斜边长为10，
∴a＋b＋10＝24，
∴a＋b＝14，
∵a、b是直角三角形的两条直角边，
∴a2＋b2＝102，
则a2＋b2＝（a＋b）2?2ab＝102，
即142?2ab＝102，
∴ab＝48．
故答案为：48．
18．．
解：由题意可得
在中，
∴
同理可得：
∴故答案为：
19．
解:∵直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，
∴BC=，
∵将△DBC沿着直线BD对折，使得点C刚好落在直线AB上的点E处，
∴CD=ED，BC=BE，
∴AE=BE-AB=5-3=2，
设AD=，则CD=DE=，
∵，
∴，
解得：．
∴AD．
故答案为：．
20．12米
解：设AD为x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，
∵BC=15-10=5（米），
则列方程：，
解得：x=2，
∴AB=10+2=12（米），
答：树高AB是12米．
21．（1）米；（2）米．
解：（1）





为米．
（2）




为米．
22．10千米
解：设，则，
∵、两村到站的距离相等，
∴．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
站应建在距点A10千米处．
23．（1）9；（2）△CEF为等腰直角三角形；（3）y＝180﹣2x．
解:（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝＝＝8，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AD＝AE＝6，BE＝4，
令CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x，
∵DE2+BE2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴DE＝3，
∴S△ACD＝AC?CD＝×6×3＝9．
（2）解：△CEF为等腰直角三角形．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵∠ACB＝90°，F为AD的中点，
∴CF＝AF＝DF＝EF＝AD，
∴∠CAF＝∠ACF，∠FAE＝∠AEF，
∵∠B＝45°，AD平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠EAF＝22.5°，
∴∠CFD＝∠ACF+∠CAF＝2∠CAF＝45°，
∠EFD＝∠EAF+∠AEF＝2∠EAF＝45°，
∵∠CFE＝∠CFD+∠EFD＝2∠CAF+2∠CAF＝90°，
∴△CEF为等腰直角三角形．
（3）由（2）知∠CFE＝2∠CAF+2∠CAF＝2∠CAB＝2（90°﹣x），
∴y＝2（90﹣x）＝180﹣2x．
24．（1）①；②；（2）
解：（1）①过点D作交于点F，如图，
则，
由题意可知，．
∵∠ADF+∠EDF=90°，∠EDB+∠EDF=90°
∴，
∵，，
∴，
∴．
在和中

∴．
∴．
在等腰直角中，，
∴．
②∵∴BD=1，∴BF=
由①得，
在等腰直角中，
∴，
∴．
（2）过点E作于G，如图所示，
∵
∴∠，
∴∠
∵
∴△
∴，
∴
∴
∴△EGB为等腰直角三角形，
∴
∴
25．解:模型应用：作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点P，则点P即为所求的水厂位置，作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，则四边形CA′ED为矩形，
∴DE＝A′C＝AC＝1，A′E＝CD＝3，
∴BE＝BD+DE＝4，
由勾股定理得，A′B＝＝＝5，
则PA+PB＝A′B＝5，
∴最省的铺设水管的费用W＝200×5＝1000（元）；
拓展延伸：延长ED至E′，连接AE′交BC于点P，则点P即为所求，连接EP，
∵点E与点E′关于BC对称，
∴∠E′PD=∠EPD，
∵∠E′PD=∠APC，
∴∠APC=∠EPD，A正确；
∵唯一选项正确，∴其余选项均错误,故选：A．
26．（1）DM⊥EM，DM＝EM；（2）DM⊥EM，DM＝EM；见解析；（3）DE＝＋
解：（1）如图1，延长EM到点F，使得MF＝ME，
∵点M为BC的中点，
∴BM＝CM，
又∵∠BMF＝∠CME，
∴△ECM≌△FBM（SAS），
∴BF＝CE，∠FBM＝∠ECM，
∵∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴DF∥EC，
∴∠DBC＋∠ECM＝180°，
∴∠DBC＋∠FBM＝180°，
∴点D，点B，点F共线，
∵AE＝CE，
∴BF＝AE，
∵AD＝DB，
∴DF＝DE，
∴△DEF是等腰直角三角形，
又∵EM＝FM，
∴DM⊥EM，DM＝EM；
（2）如图2，延长EM到F，使FM＝EM，连接BF，DF，
∵点 M 为 BC 的中点，
∴BM＝CM，
在△EMC和△FMB中，
，
∴△EMC≌△FMB（SAS），
∴BF＝CE，FM＝ME，
∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴DA＝DB，EA＝EC，∠ABD＝∠BAD＝∠ACE＝∠CAE＝45°，
∴FB＝EA．
∴∠DAE＝∠BAD＋∠CAE＋∠BAC＝90°＋∠BAC，
又∠FBM＝∠ECM，
∴∠DBF＝360°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠FBM＝360°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣（∠ACB＋∠ACE）＝90°＋∠BAC，
∴∠DAE＝∠DBF，
在△DAE和△DBF中，
，
∴△DAE≌△DBF（SAS），
∴DF＝DE，∠BDF＝∠ADE，
∵∠ADE＋∠BDE＝90°，
∴∠BDF＋∠BDE＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
又∵EM＝FM，
∴DM⊥EM，DM＝EM；
（3）如图3，取BC中点M，连EM，BE，设AB与ED交于点N，
∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，AB＝2，AC＝4，
∴AB＝AD，AC＝AE，
∴AB＝2，AE＝CE＝2，
在（2）的结论可得，BM＝CM，EM⊥BC，
∴BE＝CE＝AE＝2，
∴DE为AB的垂直平分线，
∴DN＝AB＝，
∴NE＝＝＝，
∴DE＝＋．