5.3 三角形

(共29张PPT)
新课引言
观察下面图形，有你熟悉的几何形状吗？
这些图形中都有三角形，什么叫三角形呢？三角形中的三条边有什么关系呢？
5.3 三角形
主题一、三角形的有关概念
1 、什么叫三角形？
（1）用线段连结不在同一直线上的三个点组成的图形叫三角形。
如图的三角形记作：△ABC，
点A、点B、点C叫
△ABC的顶点，
∠A,∠B,∠C叫三角形
的内角，简称三角形的角。

顶点
角
2、什么叫三角形的高、中线、角平分线？

如图， 在图（ａ）中，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ；
在图（ｂ）中， 有ＢＥ＝ＥＣ；
在图（ｃ）中， ∠ＢＨＡ＝∠ＣＨＡ＝９０°．
请根据不同的已知条件， 试着为三角形的
三条线段ＡＤ， ＡＥ， ＡＨ 命名．

角平
分线
中线
高
在一个三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
如图，∠BAC的平分线交BC于点D，线段AD叫△ABC的角平分线。
∵AD是△ABC的角平分线， ∴__________________。
∠1=∠2
从三角形一个顶点向对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
如图，三角形ABC中，AH⊥BC于H，那么线段AH叫三角形ABC的高。
∵AH是△ABC的高， ∴__________________
∠AHB=∠AHC=90°
连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。

如图：点E是BC的中点，那么线段AE叫三角形的中线。
如果AE是△ABC的中线
则：_________________.
BE=EC
一个三角形有几条中线？几条高？几条角平分线？它们的共同特征是什么？
高、中线、角平分线都是线段
如图，画出三角形ABC中高AD、中线AD和角平分线AF吗？
请你任意拿出三根牙签（没有折断的）首尾相接，放到书上，能摆出一个三角形吗？
（2）把其中一个折断一点再将这三根首尾相接，还能组成一个三角形吗？
主题二、三角形三边的关系
（3）拿两根牙签（没有折断的），将其中一根折断，用这两段与没有折断的那根能首尾相接组成一个三角形吗？
（4）拿两根牙签（没有折断的），将其中一根折断一点放到盒子里，把剩下的一段折成两段，与那根没有折断的首尾相接，能组成一个三角形吗？
这是为什么呢？
用三根不同长度的牙签拼三角形，这三根牙签的长度有什么要求？
两根短的之和大于长的，
就可以拼成一个三角形。
如图：△ABC中，三边长分别为a、b、c，设a>b>c.
因为连结两点的所有线中，线段最短。因此有：
(1)a+b>c, (2) b+c>a, (3) a+c>b
这个关系用
语言怎样表达呢？
a
b
c
三角形任何两边之和大于第三边。
思考：三角形任何两边之差与第三边有什么关系呢？
你能用语言表达这个关系吗？
b+c>a
a-ca-ba+c>b
b-c三角形任何两边之差小于第三边。
考考你：
a、b、c是△ABC∠A,∠B，∠C的对边，比较大小：
（1）c-b、a、c+b；
（2）a-c、b、a+c;
(3)a-b、c、a+b
因为三角形任何两边之和大于第三边，任何两边只差小于第三边，所以有：
（1）c-b（2）a-c(3)a-b三角形任何一边大于其他两边
之差，小于其它两边之和。
现在你知道为什么两根短的的之和大于长的，就可以拼成一个三角形了吗？
因为三角形任何两边之和大于第三边
，而最长的牙签加上任何一根牙签会比另一
根长，所以当两根短的之和大于长的的时候
，三根牙签就能组成一个三角形。
应用迁移
1、三角形的有关概念
【例1】下列说法正确的是（ ）
A 、三角形的角平分线是射线，
B 、三角形的高是垂线，
C、三角形的三条中线交于一点，
D 、三角形的中线、角平分线和高都在三角形内。
【解】三角形的角平分线和高都是线段，所以A、B错，钝角三角形的高在三角形的外面，所以D错。选C。
【变式练习】
如图，三角形ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，画出三角形ABC的高BE，正确的是（ ）
C
2、三角形三边的关系
【例2】例一个等腰三角形的周长为18 cm.
（1） 已知腰长是底边长的2 倍， 求各边的长.
（2） 已知其中一边长为4 cm， 求其他两边长.
【解】（1） 设底边长为x cm， 则腰长为2x cm.
x + 2x + 2x = 18 ，
所以x=3.6.
所以三边长分别是3.6 cm， 7.2 cm， 7.2 cm.
【例2】【例2】例一个等腰三角形的周长为18 cm..
（2） 已知其中一边长为4 cm， 求其他两边长.
【解】（2） 因为长为4 cm 的边可能是腰， 也可能是底， 所以要分两种情况计算.
第一种情况， 4 cm 长的边为底. 设腰长为x cm， 由已知条件， 有 2x+4=18， 所以x=7.
所以两条腰长均为7 cm.
第二种情况， 4 cm 长的边为腰. 设底边长为x cm， 由已知条件， 有 x+2×4=18，所以x=10.
因为4+4＜10， 即发生两边之和小于第三边的情况， 所以以4 cm 长为腰不能组成三角形.
【变式练习】
小明同学有3分米、和5分米的两根钢管，要做一个三脚架，第三根钢管的长度应在什么范围？
他到店里去买，发现店里有几根余料，长度分别是：1分米，2分米，6分米，8分米，9分米，如果不考虑费用，他有几种选择？
【解】：（1） 设第三个钢管的长度为x分米，则：5-3(2) 由上问知：满足条件只用一根6分米的，所以小明只有一种选择。
课堂练习
1、下列长度的三条线段能组成三角形的有
（ ）
(1) 4cm， 5cm， 10cm；
(2) 5cm， 6cm，11cm；
(3) 6cm,7cm,12cm．
（4）1cm,1cm,1cm
A 1个， B 2个 C 3个，D 4个。
B
2 若三角形三条边的长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是（ ）
A 0C 0【解】根据三角形任何一边在其他两边之差与其它两边之和之间，得：4-3解得：2B
3 已知三角形三条边的长分别是3,8,x,若x的值是偶数，则x的值有( )。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
【解】因为8-3由于X是偶数，所以X=6,8,10，
有3个。
C
4、小明在一次体育课上，沿着矩形跑道跑到转角处抄近道，沿着AB跑，被老师批评了。他为什么要沿着AB跑呢？这里有什么数学道理吗？

【解】：∵AC+BC>AB,
∴走AB比走AC+CB 近一些。
A
B
C
反思小结
这节课你有什么收获？
这节课主要学习了三角形的一些概念和三角形三边的关系
注意：
（1）三角形的高、中线、角平分线都是线段。要会用符号表示这些概念。
（2）三角形三边的三条边的关系：
三角形任何两边之和大于第三边；
三角形任何两边之差小于第三边。
因此已知三角形的两边时，第三边的范围是：
其它两边之差<一边<其它两边之和
六 作业： P 123 A 、B




5.3 三角形
教学目标
【知识与技能】
1、 使学生了解三角形及三角形的“三线”的概念；
2、掌握三角形三边的性质。
【过程与方法】 结合具体实例，通过观察、操作、想象、推理、交流等活动发展空间观念，推理能力和有条理的表达能力。
【情感态度与价值观】 培养学生应用数学的意识、合作交流的能力，增强学习数学的信心。
重点、难点
重点：三角形的有关概念和三边的关系
难点：三边关系的应用
教具：每个学生准备牙签5根
教学过程
一 创设情景，导入新课
观察下面图形，有你熟悉的几何形状吗？
这些图形中都有三角形，什么叫三角形呢？三角形中的三条边有什么关系呢？这节课我们来学习----- 5.3 三角形
二 合作交流，探究新知
主题一、三角形的有关概念
1 、什么叫三角形？
（1）用线段连结不在同一直线上的三个点组成的图形叫三角形。
如图的三角形记作：△ABC，点A、点B、点C叫△ABC的顶点，
∠A,∠B,∠C叫三角形的内角，简称三角形的角。
2、什么叫三角形的高、中线、角平分线？
如图， 在图（ａ）中，∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ； 在图（ｂ）中， 有ＢＥ＝ＥＣ； 在
图（ｃ）中， ∠ＢＨＡ＝∠ＣＨＡ＝９０°． 请根据不同的已知条件， 试着为三角形的
三条线段ＡＤ， ＡＥ， ＡＨ 命名．
（2）在一个三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
如图，∠BAC的平分线交BC于点D，线段AD叫△ABC的角平分线。
（3）从三角形一个顶点向对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
如图，三角形ABC中，AD⊥BC于D，那么线段AD叫三角形ABC的高。
（4）连结一个顶点和它对边中点的直线叫三角形的中线。
如图：点D是BC的中点，那么线段AD叫三角形的中线。
考考你：
一个三角形有几条中线？几条高？几条角平分线？它们的共同特征是什么？（都是线段）
填空：∵AD是△ABC的中线，∴_________________.
∵AD是△ABC的高， ∴__________________
∵AD是△ABC的角平分线， ∴__________________。
试试看：
如图，画出三角形ABC中高AD、中线AD和角平分线AF吗？
变式：把三角形ABC的角B画成钝角呢？你还能画出高AD吗？
（1）请你任意拿出三根牙签（没有折断的）首尾相接，放到书上，能摆出一个三角形吗？
（2）把其中一个折断一点再将这三根首尾相接，还能组成一个三角形吗？
（3）拿两根牙签（没有折断的），将其中一根折断，用这两段与没有折断的那根能首尾相接组成一个三角形吗？
（4）拿两根牙签（没有折断的），将其中一根折断一点放到盒子里，把剩下的一段折成两段，与那根没有折断的首尾相接，能组成一个三角形吗？
想一想
用三根牙签拼三角形，这三根牙签的长度有什么要求？
两根短的的之和大于长的，就可以拼成一个三角形。这是为什么呢？
如图：△ABC中，三边长分别为a、b、c，设a>b>c，因为连结两点的所有线中，线段最短。因此有：
a+b>c, ① b+c>a, ② a+c>b ③
这个关系用语言怎样表达呢？
三角形任何两边之和大于第三边。
思考：三角形任何两边之差与第三边有什么关系呢？
即： b-c___a, a-c____b, a-b____c为什么？
把式子b+c>a, ②移项得 ：a-bb ③ 移项得：b-c>a：
你能用语言表达这个关系吗？
三角形任何两边之差少于第三边。
现在你知道为什么两根短的的之和大于长的，就可以拼成一个三角形了吗？
因为三角形任何两边之和大于旳三边，而最长的牙签加上任何一根牙签会比另一根长，所以当两根短的之和大于长的的时候，三根牙签就能组成一个三角形。
应用迁移，巩固提高
1、三角形的有关概念
【例1】下列说法正确的是（ ）
A 、三角形的角平分线是射线， B 、三角形的高是垂线，
三角形的三条中线交于一点， D 、三角形的中线、角平分线和高都在三角形内。
【解】三角形的角平分线和高都是线段，所以A、B错，钝角三角形的高在三角形的外面，所以D错。选C。
【变式练习】
如图，三角形ABC为钝角三角形，且∠A为钝角，画出三角形ABC的高BE，正确的是（ ）
2、三角形三边的关系
【例2】_例一个等腰三角形的周长为18 cm.
（1） 已知腰长是底边长的2 倍， 求各边的长.
（2） 已知其中一边长为4 cm， 求其他两边长.
解（1） 设底边长为x cm， 则腰长为2x cm.
x + 2x + 2x = 18 ，
所以x=3.6.
所以三边长分别是3.6 cm， 7.2 cm， 7.2 cm.
（2） 因为长为4 cm 的边可能是腰， 也可能是底， 所以要分两种情况计算.
第一种情况， 4 cm 长的边为底. 设腰长为x cm， 由已知条件， 有
2x+4=18，
所以x=7.
所以两条腰长均为7 cm.
第二种情况， 4 cm 长的边为腰. 设底边长为x cm， 由已知条件， 有
x+2×4=18，
所以x=10.
因为4+4＜10， 即发生两边之和小于第三边的情况， 所以以4 cm 长为腰
不能组成三角形.
【变式练习】
小明同学有3分米、和5分米的两根钢管，要做一个三脚架，
第三根钢管的长度应在什么范围？
他到店里去买，发现店里有几根余料，长度分别是：1分米，2分米，6分米，8分米，9分米，如果不考虑费用，他有几种选择？
解：（1） 设第三个钢管的长度为x分米，则：5-3(2) 由上问知：满足条件只用一根6分米的，所以小明只有一种选择。
四课堂练习，巩固提高
1下列长度的三条线段能组成三角形的有（ ）
(1) 4cm， 5cm， 10cm； (2) 5cm， 6cm，11cm；
(3) 6cm,7cm,12cm． （4）1cm,1cm,1cm
A 1个， B 2个 C 3个，D 4个。
2 若三角形三条边的长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是（ ）
A 0【解】根据三角形任何一边在其他两边只差与其它两边之和之间，得：4-3解得：23 已知三角形三条边的长分别是3,8,x,若x的值是偶数，则x的值有_____个。
【解】因为8-34、小明在一次体育课上，沿着矩形跑道跑到转角处抄近道，沿着AB跑，被老师批评了。他为什么要沿着AB跑呢？这里有什么数学道理吗？
解：∵AC+BC>AB,∴走AB比走AC+CB 近一些。
五 反思小结，拓展提高
这节课你有什么收获？
这节课主要学习了三角形的一些概念和三角形三边的关系
注意：（1）三角形的高、中线、角平分线都是线段。要会用符号表示这些概念，如：已知线段AD是三角形ABC的高，你会得到什么？
（2）三角形三边的三条边的关系：三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边只差小于其它两边只差。因此已知三角形的两边时，第三边的范围是：大于其它两边之差，少于其它两边之和。
六 作业： P 123 A B