2021—2022学年人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角 同步专题优生辅导训练 （word版有答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角 同步专题优生辅导训练 （word版有答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 277.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-25 10:26:29 | ||
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文档简介
2021年人教版八年级数学上册《11.2与三角形有关的角》同步专题优生辅导训练（附答案）
1．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C
2．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
4．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内 B．三角形的三条中线相交于三角形内一点
C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
6．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC的度数为（ ）
A．36° B．46° C．54° D．64°
8．如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．110°
9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点A作AE⊥CD交BC于点E，交CD于点F，若∠BAE＝20°，则∠CAF的大小为 ．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，△ABC的一个外角的平分线AE交边BC的延长线于点E，且∠BAD＝20°，∠E＝30°，则∠B的度数为 ．
11．如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝68°，则∠BOC＝ ．
12．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE＝24°，则∠CAB＝ ．
14．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．请写出∠C、∠D、∠P的数量关系 ．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为 ．
16．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝ 度．
17．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠ACB的度数是 °．
18．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 ．
19．如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝ ．
20．综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝20°，∠C＝70°，则∠CAD＝ °，∠DAE＝ °；
②若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAE＝ °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
22．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
23．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
参考答案
1．解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项B：∵∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°．
∴∠C＝60°．
∴∠A+∠B＝120°．
∴无法确定△ABC是直角三角形．
故选：D．
2．解：设∠A＝α°，则∠B＝2α°，∠C＝3α°，
依题意得：α+2α+3α＝180，
解得：α＝30，
∴∠C＝3α°＝3×30°＝90°．
∴△ABC为直角三角形．
故选：A．
3．解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
4．解：根据三角板的度数知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，
∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故选：C．
5．解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，故本选项错误；
B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确；
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误；
D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误；
故选：B．
6．解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝40°，
故选：B．
7．解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
故选：A．
8．解：∵∠B＝70°，
∴∠BEF+∠BFE＝110°，
∵翻折，
∴∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，
∴∠BED+∠BFD＝2（∠BEF+∠BFE）＝2×110°＝220°，
∴∠1+∠2＝180°×2﹣220°＝140°，
故选：C．
9．解：∵AE⊥CD交CD于点F，
∴∠AFC＝∠EFC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠ECF，
∵∠AFC+∠CAF+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，
∴∠CAF＝∠CEA，
∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝45°，∠BAE＝20°，
∴∠CAE＝65°，
∴∠CAF＝65°，
故答案为：65°．
10．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAD＝20°，
∴∠BAC＝40°，
∴∠FAC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AE平分∠CAF，
∴∠CAE＝70°，
∴∠BAE＝40°+70°＝110°，
∵∠AED＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
故答案为：40°．
11．解：∵∠A＝68°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝112°，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠BPC＝124°．
故答案为：124°．
12．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……
则∠A2021＝∠A1＝．
故答案为：．
13．解：∵BE⊥AE，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAD＝∠DBE＝24°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD＝2×24°＝48°，
故答案为48°．
14．解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，
∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，
∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，
∴∠PAC＝∠CAD，∠PBC＝∠CBD，
∴∠CAD+∠P＝∠CBD+∠C①，
同理：∠CAD+∠D＝∠CBD+∠P②，
①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠D+∠C，
故答案为：2∠P＝∠D+∠C．
15．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
16．解：如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．
在△ABC′中，∠AC′B＝180°﹣72°﹣75°＝33°，
∵∠ECF＝∠AC′B＝33°，∠1＝∠ECC′+∠EC′C，∠2＝∠FCC′+∠FC′C，
∴∠1+∠2＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝2∠AC′B＝66°，
∵∠1＝32°，
∴∠2＝34°，
故答案为：34．
17．解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝×90°＝45°．
故答案为：45．
18．解：∵△ABC中，∠C＝50°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
19．解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，
∴∠BAP+∠2＝65°，
∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
20．解：（1）探究与发现：
①在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝20°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝25°，
故答案为：45，25；
②∵∠B＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣80°＝10°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝20°，
故答案为：20；
③∠DAE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
在△AEC中，∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣∠C＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠EAC＝×（180°﹣∠B﹣∠C）＝（90°﹣∠B﹣∠C）﹣（ 90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；
（2）判断与思考；∠DFE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝＝90°﹣（∠C+∠B），
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠DFE＝（∠C﹣∠B）．
21．解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
故答案为：3，4；
②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP，
∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B．
∴3∠P＝∠B+2∠C．
22．解：（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
23．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
1．已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C
2．在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．45° D．50°
4．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内 B．三角形的三条中线相交于三角形内一点
C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
6．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC的度数为（ ）
A．36° B．46° C．54° D．64°
8．如图，在△ABC中，∠B＝70°，沿图中虚线EF翻折，使得点B落在AC上的点D处，则∠1+∠2等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．110°
9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点A作AE⊥CD交BC于点E，交CD于点F，若∠BAE＝20°，则∠CAF的大小为 ．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，△ABC的一个外角的平分线AE交边BC的延长线于点E，且∠BAD＝20°，∠E＝30°，则∠B的度数为 ．
11．如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝68°，则∠BOC＝ ．
12．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE＝24°，则∠CAB＝ ．
14．如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．请写出∠C、∠D、∠P的数量关系 ．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为 ．
16．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝ 度．
17．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠ACB的度数是 °．
18．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 ．
19．如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝ ．
20．综合与探究：
如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AD是∠BAC角平分线．
（1）探究与发现：如图①，AE⊥BC于点E，
①若∠B＝20°，∠C＝70°，则∠CAD＝ °，∠DAE＝ °；
②若∠B＝40°，∠C＝80°，则∠DAE＝ °；
③试探究∠DAE与∠B、∠C的数量关系，并说明理由．
（2）判断与思考：如图②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B、∠C又有怎样的数量关系？
如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
22．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
23．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
参考答案
1．解：选项A：∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项B：∵∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
选项C：∵∠A+B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是直角三角形．
选项D：∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°．
∴∠C＝60°．
∴∠A+∠B＝120°．
∴无法确定△ABC是直角三角形．
故选：D．
2．解：设∠A＝α°，则∠B＝2α°，∠C＝3α°，
依题意得：α+2α+3α＝180，
解得：α＝30，
∴∠C＝3α°＝3×30°＝90°．
∴△ABC为直角三角形．
故选：A．
3．解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
4．解：根据三角板的度数知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，
∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故选：C．
5．解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，故本选项错误；
B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确；
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误；
D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误；
故选：B．
6．解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝40°，
故选：B．
7．解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，
故选：A．
8．解：∵∠B＝70°，
∴∠BEF+∠BFE＝110°，
∵翻折，
∴∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，
∴∠BED+∠BFD＝2（∠BEF+∠BFE）＝2×110°＝220°，
∴∠1+∠2＝180°×2﹣220°＝140°，
故选：C．
9．解：∵AE⊥CD交CD于点F，
∴∠AFC＝∠EFC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠ECF，
∵∠AFC+∠CAF+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，
∴∠CAF＝∠CEA，
∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝45°，∠BAE＝20°，
∴∠CAE＝65°，
∴∠CAF＝65°，
故答案为：65°．
10．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAD＝20°，
∴∠BAC＝40°，
∴∠FAC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AE平分∠CAF，
∴∠CAE＝70°，
∴∠BAE＝40°+70°＝110°，
∵∠AED＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
故答案为：40°．
11．解：∵∠A＝68°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝112°，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠BPC＝124°．
故答案为：124°．
12．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……
则∠A2021＝∠A1＝．
故答案为：．
13．解：∵BE⊥AE，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAD＝∠DBE＝24°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD＝2×24°＝48°，
故答案为48°．
14．解：∵∠BFA＝∠PAC+∠P，∠BFA＝∠PBC+∠C，
∴∠PAC+∠P＝∠PBC+∠C，
∵∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，
∴∠PAC＝∠CAD，∠PBC＝∠CBD，
∴∠CAD+∠P＝∠CBD+∠C①，
同理：∠CAD+∠D＝∠CBD+∠P②，
①﹣②，得∠P﹣∠D＝∠C﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠D+∠C，
故答案为：2∠P＝∠D+∠C．
15．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
16．解：如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．
在△ABC′中，∠AC′B＝180°﹣72°﹣75°＝33°，
∵∠ECF＝∠AC′B＝33°，∠1＝∠ECC′+∠EC′C，∠2＝∠FCC′+∠FC′C，
∴∠1+∠2＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝2∠AC′B＝66°，
∵∠1＝32°，
∴∠2＝34°，
故答案为：34．
17．解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝×90°＝45°．
故答案为：45．
18．解：∵△ABC中，∠C＝50°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
19．解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，
∴∠BAP+∠2＝65°，
∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
20．解：（1）探究与发现：
①在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝20°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝25°，
故答案为：45，25；
②∵∠B＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是∠BAC角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣80°＝10°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝20°，
故答案为：20；
③∠DAE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
在△AEC中，∠AEC+∠C+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣∠C＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠EAC＝×（180°﹣∠B﹣∠C）＝（90°﹣∠B﹣∠C）﹣（ 90°﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；
（2）判断与思考；∠DFE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝＝90°﹣（∠C+∠B），
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C），
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣[90°+（∠B﹣∠C）]＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠DFE＝（∠C﹣∠B）．
21．解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）解：①3；4；
故答案为：3，4；
②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP，
∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B．
∴3∠P＝∠B+2∠C．
22．解：（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
23．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．