2021—2022学年人教版数学八年级上册11.2与三角形有关的角 同步练习 （word版有答案）

人教版2021年八年级上册11.2与三角形有关的角 同步练习
一．选择题
1．若一个三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与它们对应的三个内角的度数之比为（　　）
A．4：3：2 B．3：2：4 C．3：1：5 D．5：3：1
2．如图，点C在AD上，CA＝CB，∠A＝20°，则∠BCD＝（　　）
A．20° B．40° C．50° D．140°
3．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（　　）
A．80° B．82° C．84° D．86°
4．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（　　）
A．40° B．60° C．80° D．140°
6．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　）
A．90° B．180° C．270° D．360°
二．填空题
7．在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为　 　．
8．如图，已知，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，则∠AEB＝　 　°．
9．如图，平移△ABC可得到△DEF，如果∠A＝50°，∠C＝60°，∠ABC＝70°，那么∠E＝　 　°，∠DOB＝　 　°．
10．在△ABC中，AD，AE分别是它的高线，角平分线，当∠B＝40°，∠ACD＝60°，则∠EAD的度数为　 　度．
11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝15°，∠B＝40°．则∠C＝　 　°．
12．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　 　．
13．如图，AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，且∠B＝31°，∠D＝39°，则∠M＝　 　．
三．解答题
14．如图，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC＝80°，∠B＝30°，求∠C的度数．
15．如图，在Rt△ABD中，∠B＝25°，点E，C在边BD上，AE平分∠BAC，∠ACD＝45°，求∠AED的度数．
16．如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
17．如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的三分线，其中，BD是邻AB的三分线，BE是邻BC的三分线．
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝73°，∠B＝42°，∠B的三分线交AC于点D，求∠BDC的度数；
（2）如图③，在△ABC中，BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻AC三分线，且BP⊥CP，垂足为P，求∠A的度数．
18．阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：设三角形的三个外角的度数为2x°、3x°、4x°，
则2x+3x+4x＝360，
解得：x＝40，
三角形的三个外角的度数为80°、120°、160°，
所以这个三角形的三个内角度数为100°，60°，20°，
比为5：3：1，
故选：D．
2．解：∵CA＝CB，∠A＝20°，
∴∠A＝∠B＝20°，
∴∠BCD＝∠A+∠B＝20°+20°＝40°．
故选：B．
3．解：∵∠BAC＝105°，
∴∠2+∠3＝75°①，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2∠2②，
把②代入①得：3∠2＝75°，
∴∠2＝25°，
∴∠DAC＝105°﹣25°＝80°．
故选：A．
4．解：∴∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°，
故选：B．
5．解：连接AA′．
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠A＝40°
∵∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠BAC＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，
故选：C．
6．解：如图，由三角形的外角性质得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故选B．
二．填空题
7．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°，
故答案是：55°．
8．解：∵BE∥AD，
∴∠ABE＝∠BAD＝20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE＝20°，
∵∠C＝90°，
∴∠BEC＝70°，
∴∠AEB＝110°，
故答案为：110．
9．解：∵平移△ABC得到△DEF，
∴∠E＝∠ABC＝70°，∠EDF＝∠A＝50°，
∴∠DOB＝180°﹣∠EDF﹣∠ABC
＝180°﹣50°﹣70°
＝60°．
故答案为：70，60．
10．解：当高AD在△ABC的内部时．
∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝50°﹣40°＝10°．
当高AD在△ABC的外部时．
同法可得∠EAD＝10°+30°＝40°
故答案为10或40．
11．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵∠EAD＝15°，
∴∠BAE＝50°﹣15°＝35°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝35°，
∴∠BAC＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣70°﹣40°＝70°；
故答案为：70．
12．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF，
∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1
∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2），
∵∠B＝58°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF＝119°
∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝61°．
故答案是：61°．
13．解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM＝∠M+∠BCM，
所以，∠BAM﹣∠BCM＝∠M﹣∠B，
同理，∠MAD﹣∠MCD＝∠D﹣∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM＝∠MAD，∠BCM＝∠MCD，
∴∠M﹣∠B＝∠D﹣∠M，
∴∠M＝（∠B+∠D），
∵∠B＝31°，∠D＝39°，
∴∠M＝（31°+39°）＝35°．
故答案为：35°．
三．解答题
14．解：∵在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝30°
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵在△ADC中，∠A＝60°，∠ADC＝80°
∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
答：∠C的度数为40°．
15．解：∵∠ACD＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝45°﹣25°＝20°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝×20°＝10°，
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝25°+10°＝35°．
16．解：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，
∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
17．解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，
∵∠A＝73°，∠B＝42°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝73°+×42°＝87°；
当BD′是“邻BC三分线”时，
∠BDC′＝∠A+∠ABD′＝73°+×42°＝101°；
（2）∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°．
18．解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A
∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC
＝∠ABC+∠A﹣∠ABC
＝∠A
＝30°
如图3，
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠BCD
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠EBC+∠BCD）
＝（∠A+∠ACB+∠BCD）
＝（∠A+180°）
＝（60°+180°）
＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，
∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC＝∠ABC，∠O2CB＝∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°
∴∠BO2O1＝∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．