7.3.1 圆的标准方程(1)课件-湘教版必修3（27张PPT）

7.3.1 圆的标准方程
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.
2.会根据已知条件求圆的标准方程.
3.能准确判断点与圆的位置关系.
重点:圆的标准方程理解及运用
难点:根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。
一、学习目标：
二、重点、难点：
知识点一　圆的定义及圆的标准方程
1.圆的定义
答案
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径.
2.圆的标准方程
知识点二　点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
点M在圆外
点M在圆内
B
C
3.圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________________.
(x－2)2＋(y＋3)2＝5
探究一：
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在直角坐标系中，圆心A(a,b) ，半径r等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离．
符合上述条件的点M(x, y)集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？
x
O
y
M
r
(x, y)
A
(a,b)
探究二：
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？
根据两点间距离公式：
则点M、A间的距离为：
即：
问：方程 一定表示圆吗？
方程有什么特点呢？
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
得：
整理得：
探究三：
怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？
可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ；
点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ．
x
y
o
M2
M1
M3
A
探究三：

点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2 例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上。
解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：
把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点
在这个圆上；
把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上．
待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
B
x
o
y
A
C
l
解:∵A(1,1),B(2,-2)
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
即：x-3y-3=0
∴圆心C(-3,-2)
方法2　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
方法3　因为圆心在直线x－y+1＝0上，
所以可设圆心C的坐标为(a，a+1).又因为|CA|＝|CB|，
解得a＝-3.
当堂检测
1
2
3
4
5
解析答案
C
解析答案
2.圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为(　　)
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25
D
解析　将O(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析答案
3.经过点(2，2)，圆心为C(1，1)的圆的方程是(　　)
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B.(x－1)2＋(y－1)2＝2
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
?
B
故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
解析答案
4.点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
D
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析答案
解析　由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1，
所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_______________.
x2＋(y－1)2＝1
题型探究 重点突破
6.已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的标准方程.
解析答案
反思与感悟
解　方法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
解析答案
反思与感悟
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2.
解析答案
反思与感悟
因此直线m的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.
又因为圆心在直线3x－y－2＝0上，
所以圆心是这两条直线的交点.
设圆心为C，所以圆心坐标为(2，4).
反思与感悟
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
方法三　设圆心为C.
因为圆心在直线3x－y－2＝0上，
所以可设圆心C的坐标为(a，3a－2).
又因为|CA|＝|CB|，
解得a＝2.
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
课堂小结
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.
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