6.2.1点、线、面的位置关系_课件-湘教版必修3（42张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.2.1点、线、面的位置关系_课件-湘教版必修3（42张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-24 12:27:15 | ||
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点、线、面的位置关系
无限延展
平行四边形
2倍
虚线
平面α
平面AC
文字语言表达
数学符号表示
文字语言表达
数学符号表示
点A在直线l上
. .
点A在直线l外
. .
点A在平面α内
. .
点A在平面α外
. .
直线l在平面α内
. .
直线l在平面α外
. .
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α、β相交于直线l
α∩β＝l
A∈l
A?l
A∈α
A?α
l?α
l?α
所有点
平面α经过直线l
A∈l
B∈l
l?α
A、B、C∈α
有且只有一个
公共点
没有公共点
任何一个平面内
不同在任何一个平面内
2．空间可以确定一个平面的条件是( )．
A．两条直线 B．一个点和一条直线
C．一个三角形 D．三个点
解析 确定一个平面的条件有：①不共线三点，②直线和直线外一点，③两条平行直线，④两条相交直线．
答案 C
3．下列命题：
(1)空间不同三点确定一个平面；
(2)有三个公共点的两个平面必重合；
(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面；
(4)三角形是平面图形；
(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；
(6)垂直于同一直线的两直线平行；
(7)一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；
(8)两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是________．
平面通常用希腊字母α，β，γ等来表示，如平面α，平面β，平面γ等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如图1所示的平面可表示为平面α或平面AC等．今后一般用A，B，C，…，表示点；a，b，c，…，表示线；α，β，γ，…，表示平面．
几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图2所示中图(1)表示平面β在平面α的上面．图(2)表示平面α在平面β的前面．这样看起来立体感强一些．
3．平面的基本性质
平面的基本性质，即教科书中的二个公理及推论，它们是研究立体几何的基本理论基础，每个都必须掌握好．
公理1的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面．
公理2及推论的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题．
4．关于异面直线
(1)对异面直线概念理解须注意的问题
①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行．要注意把握异面直线的不共面性．
②不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
(2)异面直线的判定方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
②反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线．
③判定异面直线的常用结论：过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．
5．立体几何与集合之间符号语言的差异
我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数与几何中的差异，首先是运用集合知识了解规定符号的背景，找出它们的区别与联系：
(1)“∈，?，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用几何语言．例如，A∈α，读作“点A在平面α内”；a?α，读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l，读作“平面α，β相交于直线l”．
(2)在“A∈α，l?α”中视“A”为平面α(集合)上的点(元素)，直线l(集合)视为平面α(集合)的子集．明确这一点，才能正确使用集合符号．
(3)几何符号的用法必须符合有关国家标准的规定，使用时原则上与集合符号的含义一致，但为了方便起见，个别地方与集合符号略有差异．例如：不再用a∩b＝{A}来表示直线a，b相交于点A，而简记为a∩b＝A，这里的A既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合．
答案 ④
方法点评 解决此类问题的关键是深刻理解平面的性质及相关概念，搞清平面与平面图形的区别与联系．另外要注意平面具有如下特点：
(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分．
【训练1】 判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1)平面的形状是平行四边形；
(2)任何一个平面图形都可以表示平面；
(3)平面ABCD的面积为10 cm2；
(4)空间图形中，后引的辅助线都是虚线．
解 (1)(3)(4)错，(2)正确．因为平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的．另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线，目的是为了增加立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也如此，这与平面几何是有区别的．有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形如矩形、圆、正多边形等表示平面，但绝不能说它是平面．
题型二 线共面问题
【例2】 求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
答案 平行 异面 相交 异面
方法点评 (1)两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行(或重合)．
(2)两条直线相交，总可以找到它们的交点，作图时用实点标出．
(3)两条直线异面，有时看上去像平行，有时看上去像相交(如题图中的A1B与B1C)，所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其是要学会判定两条直线异面的方法．
【训练3】 已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．
错因分析 共面问题的证明，常分两步：(1)确定平面；(2)证明元素在确定的平面内．必须注意的是平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B、C、D三点不一定确定一个平面，即默认了B、C、D三点一定不共线，因而出错．
[正解] A、B、C、D、E五点不一定共面．
(1)当B、C、D三点不共线时，由公理2可知B、C、D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A、B、C、D、E五点共面于α.
(2)当B、C、D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E有且只有一点在l上，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A、B、C、D、E五点不一定共面．
纠错心得 公理2及其3个推论都是确定平面的依据，对于平面的确定问题，务必分清它们的条件；对于证明几点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．
无限延展
平行四边形
2倍
虚线
平面α
平面AC
文字语言表达
数学符号表示
文字语言表达
数学符号表示
点A在直线l上
. .
点A在直线l外
. .
点A在平面α内
. .
点A在平面α外
. .
直线l在平面α内
. .
直线l在平面α外
. .
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α、β相交于直线l
α∩β＝l
A∈l
A?l
A∈α
A?α
l?α
l?α
所有点
平面α经过直线l
A∈l
B∈l
l?α
A、B、C∈α
有且只有一个
公共点
没有公共点
任何一个平面内
不同在任何一个平面内
2．空间可以确定一个平面的条件是( )．
A．两条直线 B．一个点和一条直线
C．一个三角形 D．三个点
解析 确定一个平面的条件有：①不共线三点，②直线和直线外一点，③两条平行直线，④两条相交直线．
答案 C
3．下列命题：
(1)空间不同三点确定一个平面；
(2)有三个公共点的两个平面必重合；
(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面；
(4)三角形是平面图形；
(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；
(6)垂直于同一直线的两直线平行；
(7)一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；
(8)两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是________．
平面通常用希腊字母α，β，γ等来表示，如平面α，平面β，平面γ等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如图1所示的平面可表示为平面α或平面AC等．今后一般用A，B，C，…，表示点；a，b，c，…，表示线；α，β，γ，…，表示平面．
几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图2所示中图(1)表示平面β在平面α的上面．图(2)表示平面α在平面β的前面．这样看起来立体感强一些．
3．平面的基本性质
平面的基本性质，即教科书中的二个公理及推论，它们是研究立体几何的基本理论基础，每个都必须掌握好．
公理1的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又可用直线检验平面．
公理2及推论的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题．
4．关于异面直线
(1)对异面直线概念理解须注意的问题
①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行．要注意把握异面直线的不共面性．
②不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
(2)异面直线的判定方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．
②反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线．
③判定异面直线的常用结论：过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．
5．立体几何与集合之间符号语言的差异
我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数与几何中的差异，首先是运用集合知识了解规定符号的背景，找出它们的区别与联系：
(1)“∈，?，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用几何语言．例如，A∈α，读作“点A在平面α内”；a?α，读作“直线a在平面α内”；α∩β＝l，读作“平面α，β相交于直线l”．
(2)在“A∈α，l?α”中视“A”为平面α(集合)上的点(元素)，直线l(集合)视为平面α(集合)的子集．明确这一点，才能正确使用集合符号．
(3)几何符号的用法必须符合有关国家标准的规定，使用时原则上与集合符号的含义一致，但为了方便起见，个别地方与集合符号略有差异．例如：不再用a∩b＝{A}来表示直线a，b相交于点A，而简记为a∩b＝A，这里的A既是一个点，又可以理解为只含一个元素(点)的集合．
答案 ④
方法点评 解决此类问题的关键是深刻理解平面的性质及相关概念，搞清平面与平面图形的区别与联系．另外要注意平面具有如下特点：
(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分．
【训练1】 判断下列说法是否正确，并说明理由：
(1)平面的形状是平行四边形；
(2)任何一个平面图形都可以表示平面；
(3)平面ABCD的面积为10 cm2；
(4)空间图形中，后引的辅助线都是虚线．
解 (1)(3)(4)错，(2)正确．因为平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的．另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线，目的是为了增加立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也如此，这与平面几何是有区别的．有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形如矩形、圆、正多边形等表示平面，但绝不能说它是平面．
题型二 线共面问题
【例2】 求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
答案 平行 异面 相交 异面
方法点评 (1)两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行(或重合)．
(2)两条直线相交，总可以找到它们的交点，作图时用实点标出．
(3)两条直线异面，有时看上去像平行，有时看上去像相交(如题图中的A1B与B1C)，所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其是要学会判定两条直线异面的方法．
【训练3】 已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．
错因分析 共面问题的证明，常分两步：(1)确定平面；(2)证明元素在确定的平面内．必须注意的是平面是确定的．上述错解中，由于没有注意到B、C、D三点不一定确定一个平面，即默认了B、C、D三点一定不共线，因而出错．
[正解] A、B、C、D、E五点不一定共面．
(1)当B、C、D三点不共线时，由公理2可知B、C、D三点确定一个平面α，由题设知A∈α，E∈α，故A、B、C、D、E五点共面于α.
(2)当B、C、D三点共线时，设共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E有且只有一点在l上，则A、B、C、D、E五点共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面．
综上所述，在题设条件下，A、B、C、D、E五点不一定共面．
纠错心得 公理2及其3个推论都是确定平面的依据，对于平面的确定问题，务必分清它们的条件；对于证明几点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可．