新教材高一数学必修第一册
夯实基础篇---04基本不等式
考点一---基本不等式的直接应用
例1：已知正数,满足，则（
）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值50
D．有最小值50
【答案】C
【分析】
根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果.
【解析】
因为正数,满足，
又，则，当且仅当时，等号成立，
即有最大值50，无最小值.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求积的最大值，属于基础题型.
例2：已知正数a，b满足，则的最小值为（
）
A．8
B．10
C．9
D．6
【答案】A
【解析】因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即，时取等号，故选：A
例3：若，，且，则的最大值是______．
【答案】2
【分析】
由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值．
【解析】∵，，
∴
∴，当且仅当时取等号，即，时取等号
故答案为：2．
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题
例4：已知，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用基本不等式直接求解即可
【解析】因为，
所以，当且仅当，即取等号，
所以，所以的最小值为，
故选：C
【点睛】
此题考查基本不等式的应用，属于基础题
变式训练：
1.已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（
）
A．25
B．50
C．20
D．
【答案】B
【分析】
利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.
【解析】
由m2+n2≥2mn，得
mn≤=50，
当且仅当m=n=±时等号成立.
所以mn的最大值是.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是关键.
2.已知为正实数，且，则的最小值是（
）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
【分析】
化简，结合基本不等式，即可求解.
【解析】
由题意，正实数且，可得，
则，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
3.已知、，且，则的最大值是_________.
【答案】
【解析】因为、，由基本不等式可得，得，
当且仅当，即，时，等号成立.
因此，的最大值是.故答案为：.
4.若，则的最小值为_____．
【答案】2
【解析】由，则，
当且仅当时取“”，即的最小值为2．故答案为：2.
考点二---构造基本不等式求最值、范围
例5：已知，那么的最小值是（
）
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
，利用基本不等式即可求最值.
【解析】
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：B
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
例6：若x＞2，则函数的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】
直接由利用基本不等式求最值即可.
【解析】
∵x＞2，∴x﹣2＞0，
∴，当且仅当，即x＝4时取等号，
∴函数的最小值为6.
故选：D.
例7：设，则的最大值是（
）
A．3
B．
C．
D．0
【答案】B
【分析】
把所求的式子变形为，由大于0，利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最大值．
【解析】
当时，，
当且仅当，即时取等号，
，
则的最大值为．
故选：B
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
例8：已知，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为.
故答案为：.
变式训练：
5.已知，则的最小值为______，此时的取值为______
【答案】
2
1
【解析】因为x＞0，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：①2；②1.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值，要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6.函数的最小值是_____，此时_____.
【答案】
3
2
【分析】由题知，又由，结合基本不等式即可求解．
【解析】∵，
∴，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，函数取得最小值．
故答案为：①3；②2.
【点睛】
关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．
7.当时，的最大值为______．此时的取值为______．
【答案】
【分析】由，根据基本不等式，即可求出结果.
【解析】因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：；.:
8.函数的最小值为______．
【答案】5
【解析】．
，，
（当且仅当，即时取等号），
．
故答案为：5．
考点三---乘“1”法的应用
例9：已知，，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用换“1”法，展开后利用基本不等式求解即可.
【解析】∵，，
∴，
当且仅当，等号成立，
所以最小值为，
故选：A.
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
例10：若，，则的最小值为
【答案】3
【解析】因为，，所以同正，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为.
例11：已知，且，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．6
D．9
【答案】A
【分析】
将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【解析】
因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为3.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
例12：已知，，，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】
因为，，，所以，
则，
当且仅当且，即时取等号，
故选：B.
变式训练：
9.若正数x，y满足，则的最小值为（
）
A．4
B．
C．8
D．9
【答案】C
【解析】因为正数x，y满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，
故选：C
10.已知x，，且，则的最小值________．
【答案】4
【解析】
因为x，，且，
所以
当且仅当，,即时，取等号，
所以的最小值为4，
故答案为：4
11.若，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为，所以
所以
当且仅当，即，时取等号，
故答案为：
12.已知m，，，则的最小值为（
）
A．
B．7
C．8
D．4
【答案】A
【解析】
∵m，，，
∴，
当且仅当且，即，时取等号，
故的最小值.
故选：A.
考点四---实际生活中的基本不等式
例13：若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________
m2．
【答案】25
【解析】设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0∴y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．
例4：某人决定自驾汽车匀速自驾游，全段路程，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，则当全程运输成本最小时，汽车的行驶速度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，汽车全程运输成本
，当且仅当时，即时等号成立，
又因为，所以当汽车的行驶速度为时，全程运输成本最小.
变式训练：
13.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.
【答案】8
【解析】设仓库与车站距离为x，土地费用为，运输费用为，于是
，解得，
设总费用为，则，当且仅当即时取等号，
两项费用之和的最小值是8万元.
故答案为：8
14.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为
（
）
A．1120元
B．1280元
C．1760元
D．1960元
【答案】C
【解析】容积是，深，
底面积为，
设长，则宽，无盖长方体水池有一个底面和四个侧面
侧面面积为
造价，
当且仅当：，即时取等号．
故选：C
考点五———利用基本不等式求参数范围
例15:若对任意的都有，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）A
【解析】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以，
故选：A
例16：当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当时，，
，
当且仅当，即时等号成立，.故选：D.
例17:若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】因为两个正实数，满足，
所以，
则，
当且仅当时取得等号，
所以不等式恒成立，等价为，即，
解得，所以实数的取值范围是，.
故答案为：，.
变式训练：
15.已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用基本不等式可求的最小值，从而可求实数的取值范围.
【解析】
因为，故，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9，故，
故选：D.
16.已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】由已知得：，
，
当且仅当时取等号；
由题意：，
即，
解得：或，
故答案为：.
17.已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为、为两个正实数，由可得，
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
考点六———综合应用
例18：(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且
＋＝1，求x＋y的最小值.
【解析】(1)当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时，取等号.
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2处取得最小值4.
(2)∵0
<
x
<
，∴3－2x
>
0，∴y＝4x
(3－2x)＝2
[2x(3－2x)]≤2＝
.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.
∵0
<
<
，
∴函数y＝4x(3－2x)
(0(3)∵x
>
2，∴x－2
>
0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2
＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立.
∴x＋的最小值为6.
(4)方法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝
＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，
当且仅当
＝，＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.
方法二 由
＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9
(定值).
由
＋＝1可知x>1，y>9，
∴
x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.
变式训练：
18(1)已知x>0，求f
(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f
(x)＝＋x的最大值;
(3)求函数的最大值.
(4)已知a>0，b>0，a＋b＝2，求y＝＋的最小值.
【解析】 (1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2＝12，
当且仅当3x＝，即x＝2时，取等号，∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<3，∴x－3<0，
∴f
(x)＝＋x＝＋x－3＋3＝－(＋3－x)＋3≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时，取等号.
∴f
(x)的最大值为－1.
（3）
当且仅当时取等号
(4)∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝(＋)()＝＋＋≥＋2
＝
当且仅当=时，等号成立，，故y＝＋的最小值为.新教材高一数学必修第一册
夯实基础篇---04基本不等式
考点一---基本不等式的直接应用
例1：已知正数,满足，则（
）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值50
D．有最小值50
例2：已知正数a，b满足，则的最小值为（
）
A．8
B．10
C．9
D．6
例3：若，，且，则的最大值是______．
例4：已知，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1.已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（
）
A．25
B．50
C．20
D．
2.已知为正实数，且，则的最小值是（
）
A．4
B．8
C．16
D．32
3.已知、，且，则的最大值是_________.
4.若，则的最小值为_____．
考点二---构造基本不等式求最值、范围
例5：已知，那么的最小值是（
）
A．1
B．2
C．4
D．5
例6：若x＞2，则函数的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
例7：设，则的最大值是（
）
A．3
B．
C．
D．0
例8：已知，则的最小值为___________.
变式训练：
5.已知，则的最小值为______，此时的取值为______
6.函数的最小值是_____，此时_____.
7.当时，的最大值为______．此时的取值为______．
8.函数的最小值为______．
考点三---乘“1”法的应用
例9：已知，，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
例10：若，，则的最小值为
例11：已知，且，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．6
D．9
例12：已知，，，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
变式训练：
9.若正数x，y满足，则的最小值为（
）
A．4
B．
C．8
D．9
10.已知x，，且，则的最小值________．
11.若，则的最小值为___________.
12.已知m，，，则的最小值为（
）
A．
B．7
C．8
D．4
考点四---实际生活中的基本不等式
例13：若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________
m2．
例14：某人决定自驾汽车匀速自驾游，全段路程，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，则当全程运输成本最小时，汽车的行驶速度为（
）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
13.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.
14.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为
（
）
A．1120元
B．1280元
C．1760元
D．1960元
考点五———利用基本不等式求参数范围
例15．若对任意的都有，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
例16：当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
例17.若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__.
变式训练：
15.已知，.且，若恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
16.已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是______.
17.已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是________．
考点六———综合应用
例18：(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；
(2)设0(3)已知x>2，求x＋的最小值；
(4)已知x>0，y>0，且
＋＝1，求x＋y的最小值.
变式训练：
18(1)已知x>0，求f
(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x<3，求f
(x)＝＋x的最大值;
(3)求函数的最大值.
(4)已知a>0，b>0，a＋b＝2，求y＝＋的最小值.
