新教材高一数学必修第一册
基本不等式素养提升训练
1.若a＞0，b＞0，且a≠b，则（
）
A．＜＜
B．＜＜
C．＜＜
D．＜＜
2.
下列结论正确的是（
）
A．有最小值2
B．有最小值2
C．时，有最大值-2
D．时，有最小值2
3.已知，，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
4.已知，则取最大值时的值为(
)
A．
B．
C．
D．
5.玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(
)
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
6.
已知，，，则的最小值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
7.已知，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．6
8.已知，，，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
9.若，则（
）
A．有最小值，且最小值为
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为
D．有最大值，且最大值为
10.若，则的最小值等于（
）
A．6
B．9
C．4
D．1
11.已知则的最大值是_______.
已知，，且，则
（1）的最小值为________；（2）的最小值为________．
13.已知，，，则的最小值为______．
14.若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．
15.已知，则的最小值为__________.
16.已知，，且，则的最小值为______.
17.若?都是正数，且，则的最大值是_________.
18.若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__.
19．（1）已知是正数，且满足，求的最小值．
（2），，且，不等式恒成立，求的范围
20．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数
的最小值为？新教材高一数学必修第一册
基本不等式素养提升训练
1.若a＞0，b＞0，且a≠b，则（
）
A．＜＜
B．＜＜
C．＜＜
D．＜＜
【答案】B
【分析】
利用基本不等式或作差法判断选项.
【解析】
∵a，b∈R+，且a≠b，
∴a+b＞2，∴＜，
而＝＞0，
∴＜，
2.
下列结论正确的是（
）
A．有最小值2
B．有最小值2
C．时，有最大值-2
D．时，有最小值2
【解析】C
对于A，没有说是正数，所以可以取到负值，故A错误；
对于B，要取到最小值2，需满足，此时，不可能成立，故B错误；
对于C，，，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，，故D错误。
3.已知，，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由基本不等式即可求解.
【解析】
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，即，即最小值为.
故选：D.
4.已知，则取最大值时的值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
当且仅当即时，等号成立.
5.玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(
)
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
【答案】B
确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【解析】
根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为
（为正整数）
由基本不等式，得≥
当且仅当，即时，取得最小值20，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
6.
已知，，，则的最小值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
利用均值不等式，根据题意，即可求得目标函数的最小值.
【解析】
因为，故可得
因为，，故可得
即，令z=2x+y,则
解得或，因为，故
当且仅当
时，即时取得最小值.
故选：A.
【点睛】
本题考查均值不等式的直接使用，属基础题；需要注意取等得条件.
7.已知，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．6
【答案】B
【分析】
利用“1”的代换，结合基本不等式求的最小值即可，注意等号成立的条件.
【解析】
由已知得：，且，
∴当且仅当时等号成立.
故选：B.
8.已知，，，则的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】
B
【解析】
由，，，所以，结合“1”的代换，结合基本不等式，即可求解.
详解：因为，，，所以，
则，
当且仅当且，即时取等号，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，结合“1”的代换技巧是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
9.若，则（
）
A．有最小值，且最小值为
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为
D．有最大值，且最大值为
【答案】D
【分析】
由基本不等式，即可得出结果.
【解析】,当且仅当取“=”
所以
故选：D
10.若，则的最小值等于（
）
A．6
B．9
C．4
D．1
【答案】
B
【解析】
配凑出基本不等式的结构求解即可.
,当且仅当,时取等号.
故答案为：9
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题型.
11.已知则的最大值是_______.
【答案】
【解析】依题意，当且仅当时等号成立.
故的最大值为.
12.已知，，且，则（1）的最小值为________；（2）的最小值为________．
【答案】
分析：由已知条件得出，利用基本不等式可求得的最小值，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【解析】，且，，
由基本不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
.
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故答案为：；.
13.已知，，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
依题意.
当且仅当时等号成立.
故答案为：
14.若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】，，当且仅当，即时等号成立，
.故答案为：.
15.已知，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
16.已知，，且，则的最小值为______.
【答案】4
【解析】
，，，
可得，当且仅当时取等号．
，
或（舍去），
．
故的最小值为4.
故答案为：4．
17.若?都是正数，且，则的最大值是_________.
【答案】
【解析】因为?都是正数，且，所以，
当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.
18.若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】因为两个正实数，满足，
所以，
则，
当且仅当时取得等号，
所以不等式恒成立，等价为，即，
解得，所以实数的取值范围是，.
故答案为：，.
19．（1）已知是正数，且满足，求的最小值．
（2），，且，不等式恒成立，求的范围
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）由基本不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.
（2）解：因为，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以，
故答案为：
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题．
20．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数
的最小值为？
【答案】（1）；（2）1；（3）
【分析】
（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【解析】（1），
当且仅当，即时，取等号.
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）
.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
