平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例
一、选择题
1.在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC( )
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
2.某人在静水中游泳的速度为 km/h,水流的速度为1 km/h,他沿着垂直于对岸的方向前进,那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
3.已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为( )
A.40 N B.10 N C.20 N D.40N
4.在直角三角形ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC内一点,点P满足=+(+),则||等于( )
A.2 B.1 C. D.4
5.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
6.一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m,若纤绳与行进方向夹角为30°,纤夫的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为________J.
7.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4.则点P的轨迹方程是________.
8.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是________.
三、解答题
9.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
10.两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从点A(25,20)移动到点B(12,5)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).求:
(1)F1,F2分别对该质点做的功;
(2)F1,F2的合力F对该质点做的功.
素养提升
1.已知△ABC所在平面内的一点P满足+2 +=0,则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=( )
A.1∶2∶3 B.1∶2∶1
C.2∶1∶1 D.1∶1∶2
2.(多选题)点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A.若++=0,则点O为△ABC的重心
B.若·=·=0,则点O为△ABC的垂心
C.若(+)·=(+)·=0,则点O为△ABC的外心
D.若·=·=·,则点O为△ABC的内心
3.如图,四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,且OB=2OD,AC=2,过点D作DE⊥AC,垂足为E,若D·D=6,则四边形ABCD的面积为________.
4.已知△ABC中,AB=2,AC=4,∠BAC=60°,P为线段AC上任意一点,则P·P的取值范围是________.
5.如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥.
(1)求y与x的关系式;
(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.
一、选择题
1.在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC( )
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
C [由条件知2=2,即||=||,即△ABC为等腰三角形.]
2.某人在静水中游泳的速度为 km/h,水流的速度为1 km/h,他沿着垂直于对岸的方向前进,那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
B [如图,表示水速,用表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度 .
则他的实际前进的方向与水流方向的夹角为∠AOC.
因为tan∠AOC==,所以∠AOC=60°.
故选:B.]
3.已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为( )
A.40 N B.10 N C.20 N D.40N
B [如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知当它们的夹角为90°时,|F|=|F1|=20 N,所以|F1|=|F2|=10 N.当它们的夹角为120°时,|F|=|F1|=10 N.]
4.在直角三角形ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC内一点,点P满足=+(+),则||等于( )
A.2 B.1 C. D.4
B [设BC边的中点为M,则(+)=,
∴=+=,
∴P与M重合,
∴||=||=1.]
5.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A [建立平面直角坐标系,如图所示.设AD=t(t>0),则A(0,0),C(1,t),B(2,0),
则=(1,t),=(-1,t).
由AC⊥BC知·=-1+t2=0,解得t=1,故AD=1.]
二、填空题
6.一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m,若纤绳与行进方向夹角为30°,纤夫的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为________J.
1 500 [所做的功W=60×50×cos 30°=1 500(J).]
7.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4.则点P的轨迹方程是________.
x+2y-4=0 [·=(x,y)·(1,2)=x+2y=4,
∴x+2y-4=0.]
8.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是________.
30 [=-=(3,6)=.
又因为·=(4,-2)·(3,6)=0,
所以四边形ABCD为矩形,
所以||==2,
||==3,
所以四边形ABCD的面积S=||||=2×3=30.]
三、解答题
9.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
[解] 设=a,=b,则=a-b,=a+b,
而||=|a-b|====2,
所以5-2a·b=4,所以a·b=,又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,
所以||=,
即AC=.
10.两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从点A(25,20)移动到点B(12,5)(其中i,j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).求:
(1)F1,F2分别对该质点做的功;
(2)F1,F2的合力F对该质点做的功.
[解] (1)F1=(1,1),F2=(4,-5),=(-13,-15).
F1做的功W1=F1·=(1,1)·(-13,-15)=-13-15=-28(J).
F2做的功W2=F2·=(4,-5)·(-13,-15)=-52+75=23(J).
(2)F=F1+F2=(5,-4),
所以F做的功W=F·=(5,-4)·(-13,-15)=-65+60=-5(J).
素养提升
1.已知△ABC所在平面内的一点P满足+2 +=0,则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=( )
A.1∶2∶3 B.1∶2∶1
C.2∶1∶1 D.1∶1∶2
B [延长PB至D,使得=2 (图略),于是有++=0,即点P是△ADC的重心,依据重心的性质,有S△PAD=S△PAC=S△PDC.由B是PD的中点,得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=1∶2∶1.]
2.(多选题)点O在△ABC所在的平面内,则以下说法正确的有( )
A.若++=0,则点O为△ABC的重心
B.若·=·=0,则点O为△ABC的垂心
C.若(+)·=(+)·=0,则点O为△ABC的外心
D.若·=·=·,则点O为△ABC的内心
AC [选项A,设D为BC的中点,
由于=-(+)=-2,
所以点O为BC边上中线的三等分点(靠近点D),
所以点O为△ABC的重心,故A正确;
选项B,向量,分别表示在边AC和AB上取单位向量和,记它们的差是向量,
则当·=0,
即OA⊥B′C′时,点O在∠BAC的平分线上,同理由·=0,
知点O在∠ABC的平分线上,故点O为△ABC的内心,故B错误;
选项C,+是以,为邻边的平行四边形的一条对角线,
而||是该平行四边形的另一条对角线,
·(+)=0表示这个平行四边形是菱形,
即||=||,同理有||=||,
于是点O为△ABC的外心,故C正确;
选项D,由·=·得·-·=0,
∴·(-)=0,即·=0,
∴⊥.同理可证⊥,⊥.
∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的垂心,故D错误.故选AC.]
3.如图,四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,且OB=2OD,AC=2,过点D作DE⊥AC,垂足为E,若D·D=6,则四边形ABCD的面积为________.
3 [如图所示,作BF⊥AC,交AC于点F,设DO=x,∠EDB=θ,DE=h,则cos θ=.因为D·D=6,所以D·D=h·3x·cos θ=h·3x·=3h2=6,得h=.因为BF⊥AC,DE⊥AC,∠DOE=∠COB,所以△DOE∽△BOF,又OB=2OD,所以BF=2h,所以S四边形ABCD=×h×2+×2h×2=3.]
4.已知△ABC中,AB=2,AC=4,∠BAC=60°,P为线段AC上任意一点,则P·P的取值范围是________.
[△ABC中,AB=2,AC=4,∠BAC=60°,设PA=x,x∈[0,4],则·=(+)·=·+·=x(4-x)cos 180°+2(4-x)cos 60°=x2-5x+4=-.由x∈[0,4],知当x=时,·取得最小值,为-;当x=0时,P·P取得最大值,为4,故P·P的取值范围是.]
5.如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥.
(1)求y与x的关系式;
(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.
[解] (1)∵=++=(4+x,y-2),
∴由∥,得x(y-2)=y(4+x),
即y=-x.
(2)由题易得,=+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3).
由⊥可得·=0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=x2+y2+4x-2y-15=0,
又∵y=-x,
∴或
∴=(8,0),=(0,-4)或=(0,4),=(-8,0),
又∵⊥,
∴四边形ABCD的面积为·||||=×8×4=16.