第一章 空间向量与立体几何 同步测试卷-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 同步测试卷-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-24 19:30:27 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学同步测试卷（人教A版（2019））
第一单元 空间向量与立体几何
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．设平面与平面的夹角为，若平面的法向量分别为，则( )
A． B． C． D．
4．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（ ）
A． B．
C． D．
5．若是空间的一个基底，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在正方体中，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与BD所成角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等
10．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则是钝角
B．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量
C．若，则可知
D．在四面体中，若，，则
11．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
12．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是（ ）.
A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A﹣BD﹣C的平面角的正切值是__．
14．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）存在实数，，使得．
则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．
15．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．
16．已知异面直线m，n的方向向量分别为＝(2，－1，1)，＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则 λ的值为 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
（1）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；
（2）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；
（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．
19．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD═BC＝2，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，M为线段AE的中点．
（1）求证：CD⊥B1D；
（2）求二面角D﹣AB1﹣E的余弦值；
（3）在线段B1C上是否存在点P，使得直线MP∥平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
21．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
（1）用向量法证明，，，四点共面；
（2）用向量法证明：平面；
（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.
22．已知三棱柱中，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1．A
【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．
根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．
故选:A．
2．D
【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，
为平面的一个法向量．
．
∴直线与平面所成角的正弦值为．
故选：D．
3．B
【解析】由题意，，
因平面与平面的夹角与其法向量的夹角相等或互补，
所以.
故选：B
4．D
【解析】设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴且为平面BDF的一个法向量.
由，，
可得平面BCF的一个法向量为
.故选：D
5．A
【解析】
∴，
由空间向量基本定理，得，即.
故选：A.
6．B
【解析】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，
∴===+=.
故选：B
7．A
【解析】因为底面，所以，又，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
，，
设异面直线与所成的角为，，
则.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.
8．C
【解析】过A作平面平面，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，
连接，
，则四边形是平行四边形，
，平面，
同理可证平面，
平面平面，则平面即为，点在线段上，
以D为坐标原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
则，，，设，，
，，
，，，
设与BD所成角为，
则
，
当时，取得最小值为0，
当或1时，取得最大值为，
，则.
故选：C.
9．BC
【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,与矛盾，所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误；
因为A1G∥D1F，A1G?平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故选项B正确．
平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，由题得该等腰梯形的上底下底,腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；
假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误．
故选：BC．
10．CD
【解析】对于A，当时，若，但，不是钝角，所以A错；
对于B，当时，，不是直线的方向向量，所以B错；
对于C，
??，所以C对；
对于D，如图，
过P作平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M，
连AO交BC于N，连BO交AC于T，，
同理为垂心，所以，
从而，所以D对；
故选：CD.
11．ABC
【解析】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；
必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；
对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；
对于D选项，假设、、共面，
可设，
由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，
假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.
故选：ABC.
12．ABC
【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、
轴、轴建立空间直角坐标系，
则由，，，，
，，所以，
，，.
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为.
假设平面，且，
则.
因为也是平面的法向量，
所以与共线，
所以成立，
但此方程关于无解.
因此不存在点，使与平面垂直，
故选：ABC.
13．-2
【解析】解：∵平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴设AB＝1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，
得下列坐标：O（0，0，0），D（，0，0），B（0，，0），C（0，，0），A（0，0，），
，显然（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量为（x，y，1）则
（x，y，1）?=（x，y，1）＝0
（x，y，1）?=（x，y，1）＝0
解得x＝1，y＝，
则
显然（0，0，1）为平面BCD的法向量．
设二面角A﹣BD﹣C大小为θ，则θ为钝角，则|cosθ|＝＝＝，
即cosθ＝﹣，
则sinθ＝＝，
则tanθ＝＝﹣＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（1）（3）
【解析】解：（1）是线段的中点，，正确；
（2）取的中点，连接，．则，因此不正确；
（3），因此正确；
（4）、分别是线段、的中点，，
与平面不平行，
不存在实数，，使得．
综上可得：只有（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
15．．
【解析】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则设，
则，设直线与所成角为
所以
解得，所以，
故答案为：．
16．
【解析】由，
两边平方，化简得6λ＝7，解得．
故答案为：．
17．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，
所以AD⊥BC．
又PA，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABC，则PA⊥BC．
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAD．
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．
∵，
∴可设E（0，t，0），则（0，t，﹣3），（，，0），
∴，∴t＝1，
则（，，0），（0，1．﹣3），
设平面PDE的法向量为（x，y，z），
则，即，
令z＝1，得（-1，3，1）．
平面PAB的一个法向量为（0，1，0），
则＝＝．
则
故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为．
18．（1）证明见解析；（2）；（3）2．
【解析】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，
PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，
AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），M（0，，），
＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），
设平面ACM的法向量，
则，取x＝2，得（2，﹣2，1），
∵4﹣4＝0，PB?平面ACM，∴PB∥平面ACM．
（2）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），
设平面CDP的法向量（a，b，c），
则，取b＝1，得（1，1，1），
平面ACD的法向量（0，0，1），
设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，
则|cosθ|＝＝，
∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．
（3）设，（0≤λ≤1），
则，
∴，
，平面CDP的法向量，
∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，
∴| |＝＝＝，
解得λ＝，
∴．
19．（1）证明见解析；（2）；（3）存在；．
【解析】（1）证明：由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以AM＝ME，故B1M⊥AE．
又因为AB＝BE，M为AE的中点，所以BM⊥AE，
即DM⊥AE．又因为AD∥BC，AD＝CE＝2．
所以四边形ADCE是平行四边形．
所以AE∥CD．
故CD⊥DM．
因为平面B1AE⊥平面AECD，平面B1AE∩平面AECD＝AE，B1M?平面AECD
所以B1M⊥平面AECD．B1M⊥AE．
因为CD?平面AECD，所以B1M⊥CD．
因为MD∩B1M＝M，MD、B1M?平面B1MD，
所以CD⊥平面B1MD．…
（2）解：以ME为x轴，MD为y轴，MB1为z轴建立空间直角坐标系，
则C（2，，0），B1（0，0，），A（﹣1，0，0），D（0，，0）．
平面AB1E的法向量为．
设平面DB1A的法向量为，
因为，，
所以，
令z＝1得，．
所以，因为二面角D﹣AB1﹣E为锐角，
所以二面角D﹣AB1﹣E的余弦值为．
（3）解：存在点P，使得MP∥平面B1AD．…
设在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，
设，（0≤λ≤1），C（2，，0），
因为．
所以，
因为MP∥平面B1AD，所以，
所以﹣2λ+λ+﹣λ＝0，解得λ＝，
又因为MP?平面B1AD，
所以在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，.
20．（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.
【解析】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC?平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM?平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，
EM?平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，令，得，
平面BEN的一个法向量为，
故，
解得：m=1，
故存在N为BC的中点.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）如图，连接，
因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，
则，，
则，
由共面向量定理的推论知，，，四点共面；
（2）因为.
所以，又平面，平面，
所以平面；
（3）连接，，，，，，，
由（2）知，同理，
所以，，，
所以?交于一点且被平分，
所以.
22．（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，.
【解析】（1）在三棱柱中，四边形为平行四边形，
，所以，四边形为菱形，
连接，则，又，且，平面，
平面，，
又，即，，平面，
平面，平面平面；
（2）以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
、、、，
设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为，则，
，
，，
设平面的一个法向量为，由，
取，可得，，得，
平面的一个法向量为，
由，
整理可得，即，
，解得.
故在线段上存在一点，满足，使二面角的余弦值为．
第一单元 空间向量与立体几何
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．设平面与平面的夹角为，若平面的法向量分别为，则( )
A． B． C． D．
4．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（ ）
A． B．
C． D．
5．若是空间的一个基底，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在正方体中，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与BD所成角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等
10．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则是钝角
B．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量
C．若，则可知
D．在四面体中，若，，则
11．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
12．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是（ ）.
A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A﹣BD﹣C的平面角的正切值是__．
14．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）存在实数，，使得．
则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．
15．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．
16．已知异面直线m，n的方向向量分别为＝(2，－1，1)，＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则 λ的值为 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
（1）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；
（2）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；
（3）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．
19．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD═BC＝2，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，M为线段AE的中点．
（1）求证：CD⊥B1D；
（2）求二面角D﹣AB1﹣E的余弦值；
（3）在线段B1C上是否存在点P，使得直线MP∥平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).
（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.
21．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.
（1）用向量法证明，，，四点共面；
（2）用向量法证明：平面；
（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.
22．已知三棱柱中，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
1．A
【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．
根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．
故选:A．
2．D
【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，
为平面的一个法向量．
．
∴直线与平面所成角的正弦值为．
故选：D．
3．B
【解析】由题意，，
因平面与平面的夹角与其法向量的夹角相等或互补，
所以.
故选：B
4．D
【解析】设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴且为平面BDF的一个法向量.
由，，
可得平面BCF的一个法向量为
.故选：D
5．A
【解析】
∴，
由空间向量基本定理，得，即.
故选：A.
6．B
【解析】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，
∴===+=.
故选：B
7．A
【解析】因为底面，所以，又，
所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，
，，
设异面直线与所成的角为，，
则.
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题.
8．C
【解析】过A作平面平面，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，
连接，
，则四边形是平行四边形，
，平面，
同理可证平面，
平面平面，则平面即为，点在线段上，
以D为坐标原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
则，，，设，，
，，
，，，
设与BD所成角为，
则
，
当时，取得最小值为0，
当或1时，取得最大值为，
，则.
故选：C.
9．BC
【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,与矛盾，所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误；
因为A1G∥D1F，A1G?平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故选项B正确．
平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，由题得该等腰梯形的上底下底,腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；
假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误．
故选：BC．
10．CD
【解析】对于A，当时，若，但，不是钝角，所以A错；
对于B，当时，，不是直线的方向向量，所以B错；
对于C，
??，所以C对；
对于D，如图，
过P作平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M，
连AO交BC于N，连BO交AC于T，，
同理为垂心，所以，
从而，所以D对；
故选：CD.
11．ABC
【解析】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；
必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；
对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；
对于D选项，假设、、共面，
可设，
由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，
假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.
故选：ABC.
12．ABC
【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、
轴、轴建立空间直角坐标系，
则由，，，，
，，所以，
，，.
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为.
假设平面，且，
则.
因为也是平面的法向量，
所以与共线，
所以成立，
但此方程关于无解.
因此不存在点，使与平面垂直，
故选：ABC.
13．-2
【解析】解：∵平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴设AB＝1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，
得下列坐标：O（0，0，0），D（，0，0），B（0，，0），C（0，，0），A（0，0，），
，显然（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量为（x，y，1）则
（x，y，1）?=（x，y，1）＝0
（x，y，1）?=（x，y，1）＝0
解得x＝1，y＝，
则
显然（0，0，1）为平面BCD的法向量．
设二面角A﹣BD﹣C大小为θ，则θ为钝角，则|cosθ|＝＝＝，
即cosθ＝﹣，
则sinθ＝＝，
则tanθ＝＝﹣＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．（1）（3）
【解析】解：（1）是线段的中点，，正确；
（2）取的中点，连接，．则，因此不正确；
（3），因此正确；
（4）、分别是线段、的中点，，
与平面不平行，
不存在实数，，使得．
综上可得：只有（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
15．．
【解析】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则设，
则，设直线与所成角为
所以
解得，所以，
故答案为：．
16．
【解析】由，
两边平方，化简得6λ＝7，解得．
故答案为：．
17．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，
所以AD⊥BC．
又PA，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABC，则PA⊥BC．
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAD．
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．
∵，
∴可设E（0，t，0），则（0，t，﹣3），（，，0），
∴，∴t＝1，
则（，，0），（0，1．﹣3），
设平面PDE的法向量为（x，y，z），
则，即，
令z＝1，得（-1，3，1）．
平面PAB的一个法向量为（0，1，0），
则＝＝．
则
故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为．
18．（1）证明见解析；（2）；（3）2．
【解析】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，
PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，
AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．
∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），M（0，，），
＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），
设平面ACM的法向量，
则，取x＝2，得（2，﹣2，1），
∵4﹣4＝0，PB?平面ACM，∴PB∥平面ACM．
（2）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），
设平面CDP的法向量（a，b，c），
则，取b＝1，得（1，1，1），
平面ACD的法向量（0，0，1），
设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，
则|cosθ|＝＝，
∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．
（3）设，（0≤λ≤1），
则，
∴，
，平面CDP的法向量，
∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，
∴| |＝＝＝，
解得λ＝，
∴．
19．（1）证明见解析；（2）；（3）存在；．
【解析】（1）证明：由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以AM＝ME，故B1M⊥AE．
又因为AB＝BE，M为AE的中点，所以BM⊥AE，
即DM⊥AE．又因为AD∥BC，AD＝CE＝2．
所以四边形ADCE是平行四边形．
所以AE∥CD．
故CD⊥DM．
因为平面B1AE⊥平面AECD，平面B1AE∩平面AECD＝AE，B1M?平面AECD
所以B1M⊥平面AECD．B1M⊥AE．
因为CD?平面AECD，所以B1M⊥CD．
因为MD∩B1M＝M，MD、B1M?平面B1MD，
所以CD⊥平面B1MD．…
（2）解：以ME为x轴，MD为y轴，MB1为z轴建立空间直角坐标系，
则C（2，，0），B1（0，0，），A（﹣1，0，0），D（0，，0）．
平面AB1E的法向量为．
设平面DB1A的法向量为，
因为，，
所以，
令z＝1得，．
所以，因为二面角D﹣AB1﹣E为锐角，
所以二面角D﹣AB1﹣E的余弦值为．
（3）解：存在点P，使得MP∥平面B1AD．…
设在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，
设，（0≤λ≤1），C（2，，0），
因为．
所以，
因为MP∥平面B1AD，所以，
所以﹣2λ+λ+﹣λ＝0，解得λ＝，
又因为MP?平面B1AD，
所以在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，.
20．（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.
【解析】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC?平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM?平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，
BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，
EM?平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，令，得，
平面BEN的一个法向量为，
故，
解得：m=1，
故存在N为BC的中点.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）如图，连接，
因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，
则，，
则，
由共面向量定理的推论知，，，四点共面；
（2）因为.
所以，又平面，平面，
所以平面；
（3）连接，，，，，，，
由（2）知，同理，
所以，，，
所以?交于一点且被平分，
所以.
22．（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，.
【解析】（1）在三棱柱中，四边形为平行四边形，
，所以，四边形为菱形，
连接，则，又，且，平面，
平面，，
又，即，，平面，
平面，平面平面；
（2）以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
、、、，
设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为，则，
，
，，
设平面的一个法向量为，由，
取，可得，，得，
平面的一个法向量为，
由，
整理可得，即，
，解得.
故在线段上存在一点，满足，使二面角的余弦值为．