第四章　§3　第2课时　习题课　对数函数图象与性质的应用-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案解析）

1016000012242800第四章对数运算与对数函数
§3　对数函数
第2课时　习题课　对数函数图象与性质的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知y=loga(2-ax)在区间[0,1]上单调递减,则a的取值范围为(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)
2.(2019江西南昌高一月考)已知函数f(x)=lg5x+45x+m的值域为R,则m的取值范围为(　　)
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,4) D.(-∞,-4]
3.已知函数f(x)=log2x,x>0,3x,x≤0,直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是　　　　　.?

4.不等式log12(x+1) 5.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f12=0,则不等式f(log4x)<0的解集是　　　　　　　　　　　　.?
6.已知loga12>1,则a的取值范围是　　　　　.?
7.求函数y=loga(a-ax)的单调区间.






8.(2019大连高一联考)已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)求不等式f(x)>1的解集.






能力提升练
1.若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,4) B.(-4,4]
C.(-∞,4)∪[2,+∞) D.[-4,4)
2.已知f(x)=log2x+a,x>0,ax+1,x≤0,若f(4)=3,则f(x)>0的解集为(　　)
A.{x|x>-1}
B.{x|-1 C.{x|x>-1,且x≠0}
D.x|-112
3.(多选题)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是(　　)
A.f(4)=-3
B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
C.函数y=f(x)的最小值为-4
D.函数y=f(x)的最大值为4
4.(多选题)(2020广东金山中学高一期末)关于函数f(x)=lgx2+1|x|(x≠0),有下列结论,其中正确的是(　　)
A.其图象关于y轴对称
B.f(x)的最小值是lg 2
C.当x>0时,f(x)单调递增;当x<0时,f(x)单调递减
D.f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞)
5.已知函数y=logax(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是　　　　　　　　　　.?
6.已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数的奇偶性和单调性.






7.已知函数f(x)=log21+axx-1(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.








素养培优练
已知函数f(x)=lga-x1+x.
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)在(m,n)上的值域为(-1,+∞),求m,n的值.




1016000012242800第四章对数运算与对数函数
§3　对数函数
第2课时　习题课　对数函数图象与性质的应用
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知y=loga(2-ax)在区间[0,1]上单调递减,则a的取值范围为(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)
解析由题设知a>0,且a≠1,则t=2-ax在区间[0,1]上单调递减.因为y=loga(2-ax)在区间[0,1]上单调递减,所以y=logat在定义域内是增函数,且tmin>0.
因此a>1,tmin=2-a>0,故1 答案B
2.(2019江西南昌高一月考)已知函数f(x)=lg5x+45x+m的值域为R,则m的取值范围为(　　)
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,4) D.(-∞,-4]
解析令t=5x+45x+m≥25x·45x+m=4+m,
则y=lg t.
∵值域为R,∴t可取(0,+∞)上的每一个正数,
∴4+m≤0,∴m≤-4,故选D.
答案D
3.已知函数f(x)=log2x,x>0,3x,x≤0,直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是　　　　　.?

解析函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0 答案(0,1]
4.不等式log12(x+1) 解析∵y=log12x在(0,+∞)上是减函数,
∴x+1>0,2x-3>0,x+1>2x-3,∴x>-1,x>32,x<4,故32 答案32,4
5.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f12=0,则不等式f(log4x)<0的解集是　　　　　　　　　　　　.?
解析由题意可知,f(log4x)<0?-12 答案12,2
6.已知loga12>1,则a的取值范围是　　　　　.?
解析由loga12>1,得loga12>logaa.
当a>1时,有a<12,此时无解;
当0 故a的取值范围是12,1.
答案12,1
7.求函数y=loga(a-ax)的单调区间.
解令t=a-ax.
①当a>1时,y=logat在定义域内是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax 所以y=loga(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减.
②当00,即ax 所以y=loga(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递增.
综上所述,当a>1时,函数y=loga(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减;
当0 8.(2019大连高一联考)已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)求不等式f(x)>1的解集.
解(1)要使函数f(x)有意义,
则x+2>0,2-x>0,解得-2 故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),
设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),
且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
(3)因为f(x)在定义域(-2,2)上是增函数,
所以f(x)>1等价于x+22-x>10,解得x>1811.
所以不等式f(x)>1的解集是1811,2.
能力提升练
1.若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,4) B.(-4,4]
C.(-∞,4)∪[2,+∞) D.[-4,4)
解析令t(x)=x2-ax-3a,则由函数f(x)=log2t在区间(-∞,-2]上单调递减,可得函数t(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,所以t(-2)>0,且a2≥-2,解得-4≤a<4,故选D.
答案D
2.已知f(x)=log2x+a,x>0,ax+1,x≤0,若f(4)=3,则f(x)>0的解集为(　　)
A.{x|x>-1}
B.{x|-1 C.{x|x>-1,且x≠0}
D.x|-112
解析∵f(4)=log24+a=3,∴a=1,
∴f(x)=log2x+1,x>0,x+1,x≤0,
当x>0时,log2x+1>0,
∴log2x>-1=log212,∴x>12.
当x≤0时,x+1>0,∴x>-1.∴-1 综上,-112.
答案D
3.(多选题)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是(　　)
A.f(4)=-3
B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
C.函数y=f(x)的最小值为-4
D.函数y=f(x)的最大值为4
解析∵f(x)=(log2x)2-log2x2-3=(log2x)2-2log2x-3,∴f(4)=(log24)2-2log24-3=22-2×2-3=-3,故A正确.
令f(x)=0得log2x=-1或log2x=3,∴x=12或x=8,即方程f(x)=0有两个不等实根,∴函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点,故B正确.
令log2x=t,则y=t2-2t-3=(t-1)2-4(t∈R),
此函数有最小值-4,无最大值.
故函数y=f(x)有最小值-4,无最大值.
故C正确,D错误.
答案ABC
4.(多选题)(2020广东金山中学高一期末)关于函数f(x)=lgx2+1|x|(x≠0),有下列结论,其中正确的是(　　)
A.其图象关于y轴对称
B.f(x)的最小值是lg 2
C.当x>0时,f(x)单调递增;当x<0时,f(x)单调递减
D.f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞)
解析f(-x)=lg(-x)2+1|-x|=f(x),f(x)是偶函数,选项A正确;
令t=x2+1|x|=|x|+1|x|≥2,y=lg t在(0,+∞)上单调递增,y=lg t≥lg 2,所以f(x)的最小值为lg 2,选项B正确;
当x>0时,t=x2+1x=x+1x,根据对勾函数可得,t=x+1x单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),y=lg t在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,选项C错误;
根据偶函数的对称性,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,f(x)的单调递增区间是(-1,0),(1,+∞),选项D正确.
答案ABD
5.已知函数y=logax(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是　　　　　　　　　　.?
解析当a>1时,y=logax在区间(2,+∞)上单调递增,由loga2≥1,得1 当0 故a的取值范围是12,1∪(1,2].
答案12,1∪(1,2]
6.已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数的奇偶性和单调性.
解(1)要使此函数有意义,则有x+1>0,x-1>0或x+1<0,x-1<0,解得x>1或x<-1.所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.
(2)因为f(-x)=loga-x+1-x-1=logax-1x+1
=-logax+1x-1=-f(x),所以f(x)为奇函数.
f(x)=logax+1x-1=loga1+2x-1,
令u=x+1x-1,则函数u=1+2x-1在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上单调递减.
所以当a>1时,f(x)=logax+1x-1在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减;当0 7.已知函数f(x)=log21+axx-1(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)∵函数f(x)=log21+axx-1是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).∴log21-ax-x-1=-log21+axx-1.
即log2ax-1x+1=log2x-11+ax,∴a=1.
令1+xx-1>0,解得x<-1或x>1.
所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.
(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),
当x>1时,x+1>2,∴log2(1+x)>log22=1.
∵x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m恒成立,
∴m≤1.故m的取值范围是(-∞,1].
素养培优练
已知函数f(x)=lga-x1+x.
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)在(m,n)上的值域为(-1,+∞),求m,n的值.
解(1)∵f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0,
即lga-x1+x+lga+x1-x=0,∴(a-x)(a+x)1-x2=1,
解得a=1(a=-1舍去).
(2)由(1)知f(x)=lg1-x1+x,
则1-x1+x>0,即1-x>0,1+x>0或1-x<0,1+x<0,
解得-1 ∵x∈(-1,1)时,t=1-x1+x=-1+21+x单调递减,而y=lg t在定义域内为增函数,
∴f(x)=lg1-x1+x在其定义域内是减函数.
又f(x)在(m,n)上的值域为(-1,+∞),
∴f(n)=lg1-n1+n=-1,f(m)无意义,
∴n=911,m=-1,即m=-1,n=911.