第四章　2.1　对数的运算性质　2.2　换底公式-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案）

1187450012649200第四章对数运算与对数函数
§2　对数的运算
2.1　对数的运算性质　2.2　换底公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.2log510+log50.25=(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
2.若log23=a,则log49=(　　)
A.a B.a C.2a D.a2
3.1log1419+1log1513等于(　　)
A.lg 3 B.-lg 3
C.1lg3 D.-1lg3
4.(多选题)(2020山东临沂高三期末)若10a=4,10b=25,则(　　)
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab>8lg22 D.b-a>lg 6
5.已知log325=q,log43=p,则lg 2=(　　)
A.pqp+q B.11+pq
C.1+pqp+q D.pq1+pq
6.log35log46log57log68log79=　　　　　.?
7.若2x=3,log483=y,则x+2y=　　　　　.?
8.计算:
(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40;
(2)lg12-lg58+lg54-log92·log43;
(3)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144.






9.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求x·y34的值.







能力提升练
1.若lg x-lg y=a,则lgx23-lgy23=(　　)
A.3a B.32a
C.a D.a2
2.若2loga(P-2Q)=logaP+logaQ(a>0,且a≠1),则PQ的值为(　　)
A.14 B.4
C.1 D.4或1
3.(多选题)(2019山东宁阳高一月考)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　)
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C.2c=2a+1b D.1c=2b?1a
4.已知0 A.x>y>z B.z>y>x
C.z>x>y D.y>x>z
5.某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t,若细菌繁殖到3个,6个,18个所经过的时间分别为t1,t2,t3,则有(　　)
A.t1·t2=t3 B.t1+t2>t3
C.t1+t2=t3 D.t1+t2 6.2x=5y=m(m>0),且1x+1y=2,则m的值为　　　　　.?
7.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,则a=　　　　　,b=　　　　　.?
8.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8yx的值.









素养培优练
设正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log21+b+ca+log21+a-cb=1.










1187450012649200第四章对数运算与对数函数
§2　对数的运算
2.1　对数的运算性质　2.2　换底公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.2log510+log50.25=(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
解析原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
答案C
2.若log23=a,则log49=(　　)
A.a B.a C.2a D.a2
解析log49=log29log24=2log232=log23=a,故选B.
答案B
3.1log1419+1log1513等于(　　)
A.lg 3 B.-lg 3
C.1lg3 D.-1lg3
解析原式=log1914+log1315=log94+log35=log32+log35=log310=1lg3.
答案C
4.(多选题)(2020山东临沂高三期末)若10a=4,10b=25,则(　　)
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab>8lg22 D.b-a>lg 6
解析由10a=4,10b=25,得a=lg 4,b=lg 25,
∴a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,
∴b-a=lg 25-lg 4=lg254,
∵lg 10=1>lg254>lg 6,
∴1>b-a>lg 6.
∴ab=4lg 2lg 5>4lg 2lg 4=8(lg 2)2.
答案ACD
5.已知log325=q,log43=p,则lg 2=(　　)
A.pqp+q B.11+pq
C.1+pqp+q D.pq1+pq
解析∵pq=log43·log325=lg3lg4·lg25lg3
=2lg52lg2=1-lg2lg2=1lg2-1,
∴1+pq=1lg2.
∴lg 2=11+pq.
答案B
6.log35log46log57log68log79=　　　　　.?
解析log35log46log57log68log79=lg5lg3·lg6lg4·lg7lg5·lg8lg6·lg9lg7=lg8lg9lg3lg4=3lg2·2lg3lg3·2lg2=3.
答案3
7.若2x=3,log483=y,则x+2y=　　　　　.?
解析∵2x=3,∴x=log23.
∴x+2y=log23+2log483=log23+2×log283log24=log23+log283=log28=3.
答案3
8.计算:
(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40;
(2)lg12-lg58+lg54-log92·log43;
(3)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144.
解(1)原式=lg2×58lg5040=lg54lg54=1.
(2)(方法一)原式=lg1258+lg54?lg2lg9×lg3lg4
=lg45×54?lg22lg3×lg32lg2
=lg 1-14=-14.
(方法二)原式=(lg 1-lg 2)-(lg 5-lg 8)+(lg 5-lg 4)-lg2lg9×lg3lg4=-lg 2+lg 8-lg 4-lg22lg3×lg32lg2=-(lg 2+lg 4)+lg 8-14=-lg(2×4)+lg 8-14=-14.
(3)∵log53=a,log54=b,
∴log25144=log512=log53+log54=a+b.
9.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求x·y34的值.
解∵log2(log3(log4x))=0,
∴log3(log4x)=1.
∴log4x=3.
∴x=43=64.
由log4(log2y)=1,知log2y=4,
∴y=24=16.
因此x·y34=64×1634=8×8=64.
能力提升练
1.若lg x-lg y=a,则lgx23-lgy23=(　　)
A.3a B.32a
C.a D.a2
解析lgx23-lgy23=3lgx2-lgy2=3(lg x-lg y)=3a.
答案A
2.若2loga(P-2Q)=logaP+logaQ(a>0,且a≠1),则PQ的值为(　　)
A.14 B.4
C.1 D.4或1
解析由2loga(P-2Q)=logaP+logaQ,得loga(P-2Q)2=loga(PQ).
由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ,
即P2-5PQ+4Q2=0,
所以P=Q(舍去)或P=4Q,
解得PQ=4.
答案B
3.(多选题)(2019山东宁阳高一月考)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　)
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C.2c=2a+1b D.1c=2b?1a
解析由题意,设4a=6b=9c=k(k>0,且k≠1),
则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
由ab+bc=2ac,可得bc+ba=2,
因为bc+ba=log6klog9k+log6klog4k=logk9logk6+logk4logk6=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;
2a+1b=2log4k+1log6k=2logk4+logk6=logk96,2c=2log9k=2logk9=logk81,故2c≠2a+1b,故C错误;
2b?1a=2log6k?1log4k=2logk6-logk4=logk9,1c=1log9k=logk9,故1c=2b?1a,故D正确.
答案AD
4.已知0 A.x>y>z B.z>y>x
C.z>x>y D.y>x>z
解析由题意得x=loga2+loga3=loga6,y=12loga5=loga5,z=loga21-loga3=loga7,
因为0 又5<6<7,
所以loga5>loga6>loga7,
即y>x>z,故选D.
答案D
5.某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t,若细菌繁殖到3个,6个,18个所经过的时间分别为t1,t2,t3,则有(　　)
A.t1·t2=t3 B.t1+t2>t3
C.t1+t2=t3 D.t1+t2 解析由题意,得2t1=3,2t2=6,2t3=18,
则t1=log23,t2=log26,t3=log218,
所以t1+t2=log23+log26=log218=t3.
答案C
6.2x=5y=m(m>0),且1x+1y=2,则m的值为　　　　　.?
解析由2x=5y=m(m>0,且m≠1),得x=log2m,y=log5m,
由1x+1y=2,得1log2m+1log5m=2,
即logm2+logm5=2,logm(2×5)=2.
故有m=10.
答案10
7.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,则a=　　　　　,b=　　　　　.?
解析∵logab+logba=logab+1logab=52,
∴logab=2或logab=12.
∵a>b>1,∴logab ∴logab=12,∴a=b2.
∵ab=ba,∴(b2)b=bb2,
∴b2b=bb2.
∴2b=b2,
∴b=2,∴a=4.
答案4　2
8.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8yx的值.
解由对数的运算法则,可将等式化为loga[(x2+4)·(y2+1)]=loga[5(2xy-1)],
∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).
整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,
配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,
∴xy=3,x=2y.∴yx=12.
∴log8yx=log812=log232-1=-13log22=-13.
素养培优练
设正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log21+b+ca+log21+a-cb=1.
证明log21+b+ca+log21+a-cb
=log21+b+ca1+a-cb
=log2(a+b+c)(a+b-c)ab
=log2(a+b)2-c2ab=log22=1.