第五章　1.2　利用二分法求方程的近似解-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案）

1162050011887200第五章函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.2　利用二分法求方程的近似解
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(　　)
A.(1,1.25)
B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)
D.不能确定
2.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　　)
A.[1,4] B.[-2,1]
C.[-2,2.5] D.[-0.5,1]
3.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是(　　)
A.(4,+∞) B.(-∞,4)
C.{4} D.[4,+∞)
4.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表:
x
0
0.5
0.531 25
0.562 5
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099

由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是(　　)
A.0.625 B.-0.009
C.0.562 5 D.0.066
5.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2,0,a4,0,a8,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间0,a16内一定有零点
B.函数f(x)在区间0,a16或a16,a8内有零点
C.函数f(x)在a16,a内无零点
D.函数f(x)在区间0,a16或a16,a8内有零点,或零点是a16
6.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:
f(2)≈-1.307
f(3)≈1.099
f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512
f(2.625)≈0.215
f(2.562 5)≈0.066

则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.01)可取为(　　)
A.2.52 B.2.56
C.2.66 D.2.75
7.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为　　　　　.?
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5

8.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测　　　　　次.?

9.求33的近似值(确度0.1).




10.求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(精确度0.1).







能力提升练
1.某方程在区间(2,4)内有一个实数根,若用二分法求此解的精确度为0.1的近似值,则应将此区间二等分的次数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(多选题)已知函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是(　　)
A.f54 B.f(2)
C.f(1) D.f32
3.工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起,从其外形无法分辨,仅仅知道假纪念币的质量要比真纪念币稍轻一点点,现用一台天平,通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币,则最多只需称量(　　)
A.4次 B.5次 C.6次 D.7次
4.求方程3x+xx+1=0的近似解(精确度0.1).









5.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).
参考数值:
x
1.187 5
1.125
1.25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83

6.某公司生产A种型号的电脑,2013年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2014年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2017年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2013年的80%,实现了纯利润50%.
(1)求2017年每台A种型号电脑的生产成本;
(2)以2013年的生产成本为基数,用二分法求2013~2017年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).








素养培优练
　某校办工厂请了30名木工制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7,问30名工人如何分组(一组制作课桌,另一组制作椅子)能使任务完成最快?请利用二分法的知识解答.





1162050011887200第五章函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.2　利用二分法求方程的近似解
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(　　)
A.(1,1.25)
B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)
D.不能确定
解析∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,
∴f(1.25)·f(1.5)<0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.
答案B
2.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　　)
A.[1,4] B.[-2,1]
C.[-2,2.5] D.[-0.5,1]
解析第二次取区间的中点x1=-2+42=1,故零点所在区间为[-2,1]或[1,4];第三次取中点x1=-2+12=-0.5,或x2=1+42=2.5.所以零点所在区间为[-2,-0.5]或[-0.5,1]或[1,2.5]或[2.5,4],故选D.
答案D
3.若函数f(x)=x2-4x+m存在零点,且不能用二分法求该函数的零点,则m的取值范围是(　　)
A.(4,+∞) B.(-∞,4)
C.{4} D.[4,+∞)
解析易知方程x2-4x+m=0有实数根,且Δ=16-4m=0,知m=4.
答案C
4.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表:
x
0
0.5
0.531 25
0.562 5
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099

由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是(　　)
A.0.625 B.-0.009
C.0.562 5 D.0.066
解析设近似解为x0,
因为f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0,
所以x0∈(0.531 25,0.562 5).
因为0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.05,
所以方程的近似解可取为0.562 5,故选C.
答案C
5.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2,0,a4,0,a8,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间0,a16内一定有零点
B.函数f(x)在区间0,a16或a16,a8内有零点
C.函数f(x)在a16,a内无零点
D.函数f(x)在区间0,a16或a16,a8内有零点,或零点是a16
解析根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在0,a16或a16,a8中,或fa16=0,故选D.
答案D
6.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:
f(2)≈-1.307
f(3)≈1.099
f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512
f(2.625)≈0.215
f(2.562 5)≈0.066

则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.01)可取为(　　)
A.2.52 B.2.56
C.2.66 D.2.75
解析由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f(2.5)≈-0.084,f(2.562 5)≈0.066可知方程ln x+2x-6=0的近似根在(2.5,2.562 5)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合,故选AB.
答案AB
7.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为　　　　　.?
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5

解析记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)·f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
答案1
8.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测　　　　　次.?

解析第1次取中点把焊点数减半为642=32,第2次取中点把焊点数减半为322=16,第3次取中点把焊点数减半为162=8,第4次取中点把焊点数减半为82=4,第5次取中点把焊点数减半为42=2,第6次取中点把焊点数减半为22=1,所以至多需要检测的次数是6.
答案6
9.求33的近似值(确度0.1).
解设x=33,则x3-3=0.令f(x)=x3-3,则函数f(x)零点的近似值就是33的近似值.由于f(1)=-2<0,f(2)=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算,见表如下:
次数
左端点
左端点函数值(近似值)
右端点
右端点函数值
第1次
1
-2
2
5
第2次
1
-2
1.5
0.375
第3次
1.25
-1.046 9
1.5
0.375
第4次
1.375
-0.400 4
1.5
0.375
第5次
1.437 5
-0.029 5
1.5
0.375

因为区间(1.437 5,1.5)的长度为0.062 5<0.1,所以33的近似值可以取1.437 5.
10.求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(精确度0.1).
解由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间[-3,-2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数值(近似值)
(-3,-2)
-2.5
1.25
(-2.5,-2)
-2.25
0.062 5
(-2.25,-2)
-2.125
-0.484 4
(-2.25,-2.125)
-2.187 5
-0.214 8
(-2.25,-2.187 5)
-2.218 75
-0.077 1

解析由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似负零点可取-2.25.
能力提升练
1.某方程在区间(2,4)内有一个实数根,若用二分法求此解的精确度为0.1的近似值,则应将此区间二等分的次数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;…;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.062 5<0.1,符合题意,故选D.
答案D
2.(多选题)已知函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是(　　)
A.f54 B.f(2)
C.f(1) D.f32
解析由二分法的步骤可知:①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点32;④零点在1,32内,则有f(1)·f32<0,则f(1)>0,f32<0,则取中点54;⑤零点在54,32内,则有f54·f32<0,则f54>0,f32<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f32.
答案BD
3.工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起,从其外形无法分辨,仅仅知道假纪念币的质量要比真纪念币稍轻一点点,现用一台天平,通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币,则最多只需称量(　　)
A.4次 B.5次 C.6次 D.7次
解析利用二分法的思想将这些纪念币不断地分成两组,根据这两组的质量确定出假的在哪里,直至找出那枚假的为止.求解时需将64枚纪念币均分为两组,分别称其质量,假的一定在轻的那一组,再将这一组(共32枚)均分为两组,称其质量,这样一直均分下去,6次就能找出那枚假的,即最多只需称量6次.
答案C
4.求方程3x+xx+1=0的近似解(精确度0.1).
解原方程可化为3x-1x+1+1=0,即3x=1x+1-1.令g(x)=3x,h(x)=1x+1-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=1x+1-1的简图.

g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一交点,∴原方程只有一个解x=x0.
令f(x)=3x+xx+1=3x-1x+1+1,
∵f(0)=1-1+1=1>0,
f(-0.5)=13-2+1=1-33<0,
∴x0∈(-0.5,0).
用二分法求解列表如下:

中点值
中点(端点)函数值及符号
选取区间

f(-0.5)<0,f(0)>0
(-0.5,0)
-0.25
f(-0.25)≈0.426 5>0
(-0.5,-0.25)
-0.375
f(-0.375)≈0.062 3>0
(-0.5,-0.375)
-0.437 5
f(-0.437 5)≈-0.159 3<0
(-0.437 5,-0.375)

∵|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 5<0.1,
∴原方程的近似解可取为-0.437 5.
5.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).
参考数值:
x
1.187 5
1.125
1.25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83

解(1)令f(x)=2x+2x-5.
因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.
因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)>0
(1.25,1.312 5)



因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1,
所以函数的零点近似值为1.312 5,
即方程2x+2x=5的近似解为1.312 5.
6.某公司生产A种型号的电脑,2013年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2014年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2017年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2013年的80%,实现了纯利润50%.
(1)求2017年每台A种型号电脑的生产成本;
(2)以2013年的生产成本为基数,用二分法求2013~2017年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).
解(1)设2017年每台A种型号电脑的生产成本为p元,根据题意,得(1+50%)p=5 000×(1+20%)×80%,解得p=3 200.
故2017年每台A种型号电脑的生产成本为3 200元.
(2)设2013~2017年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0 令f(x)=5 000(1-x)4-3 200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:
x
0
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1
f(x)
1 800
-590
-2 000
-2 742
-3 072
-3 180
-3 200
-3 200

通过观察,可知f(0)·f(0.15)<0,说明此函数在区间(0,0.15)内有零点x0.取区间(0,0.15)的中点x1=0.075,可算得f(0.075)≈460.
因为f(0.075)·f(0.15)<0,
所以x0∈(0.075,0.15).
再取区间(0.075,0.15)的中点x2=0.112 5,
可算得f(0.112 5)≈-98.
因为f(0.075)·f(0.112 5)<0,
∴x0∈(0.075,0.112 5).
同理,可得x0∈(0.093 75,0.112 5).
x0∈(0.103 125,0.112 5),
由于|0.103 125-0.112 5|=0.009 375<0.01,
所以原方程的近似解可取0.112 5.
故平均每年生产成本降低的百分率约为11.25%.
素养培优练
　某校办工厂请了30名木工制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7,问30名工人如何分组(一组制作课桌,另一组制作椅子)能使任务完成最快?请利用二分法的知识解答.
解设x名工人制作课桌(1≤x≤29,x∈N),则有(30-x)名工人制作椅子,因为一名工人在单位时间内可制作7张课桌或10把椅子,
所以制作100张课桌所需的时间P(x)=1007x,制作200把椅子所需的时间Q(x)=20010(30-x).
若要想任务完成得最快,则应求y=max{P(x),Q(x)}的最小值.
该函数图象如图所示,

由图可知x0即为y取最小值时x的值,此时P(x)=Q(x).
下面用二分法的知识求x0的整数值.
令f(x)=P(x)-Q(x)=1007x+20x-30,
则f(1)=1007?2029>0,f(29)=10029×7-20<0,
所以x0∈(1,29).
取中点x1=1+292=15,f(15)≈-0.38<0,
所以x0∈(1,15).
同理可得x0∈(8,15),x0∈(11.5,15),x0∈(11.5,13.25),x0∈(12.375,13.25),x0∈(12.375,12.812 5),x0∈(12.375,12.593 75).
因为x0∈N,
所以x0=12或x0=13.
当x0=12时,y=max{P(x),Q(x)}≈1.19;
当x0=13时,y=max{P(x),Q(x)}≈1.18<1.19,
所以取x0=13.即13名工人制作课桌,17名工人制作椅子,可使任务完成得最快.