第五章测评-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案）

1131570011607800第五章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(每小题5分,共40分)
1.函数y=x2-3x+2的零点为(　　)
A.(1,0),(2,0) B.1,2
C.1 D.2
2.某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻t时的距离,下列图象中能大致表示s=f(t)的函数关系的为(　　)

3.定义在R上的奇函数y=f(x),当x>0时,y=f(x)是增加的,且f(1)·f(2)<0,则函数y=f(x)的零点个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.条件不足无法判断
4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　　,第二次应计算　　　　　.以上横线上应填的内容为(　　)?
A.(0,0.5)　f(0.25) B.(0,1)　f(0.25)
C.(0.5,1)　f(0.75) D.(0,0.5)　f(0.125)
5.若函数f(x)=x2+ax+b有两个不同的零点x1,x2,且1 A.只有一个小于1 B.至少有一个小于1
C.都小于1 D.可能都大于1
6.(2020北京101中学高三开学考试)所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1 000 Hz声音的声强(约10-12 W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lg II0,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔),简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140 dB.一个士兵大喝一声的响度为90 dB,如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度,那么这群士兵的人数约为(　　)
A.1万 B.2万 C.5万 D.10万
7.已知函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)
8.(2020北京北师大实验中学高三月考)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则1m+1n的取值范围是(　　)
A.72,+∞ B.[1,+∞)
C.(4,+∞) D.92,+∞
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
9.(2019辽宁大连高一期末)函数f(x)=x3+3x-2的一个正零点所在的区间不可能是(　　)
A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
10.下列函数中,能用二分法求函数零点的有(　　)
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-2
11.

某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)
A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=14x+52
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
12.(2020福建厦门双十中学高一月考)已知函数f(x)=2x+log2x,且实数a>b>c>0,满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,那么下列不等式中可能成立的是(　　)
A.x0a C.x0 三、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2020北京朝阳高考模拟)能说明“函数f(x)的图象在区间[0,2]上是一条连续的曲线.若f(0)·f(2)>0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是　　　　.?
14.某方程ln x-6+2x=0的解为x0,则不等式x≤x0的最大整数解是　　　　　.?
15.(2020广东揭阳高一期末)12523+12-2-4(3-π)4+3(-3)3=　　　　.?
16.已知函数f(x)=-x+k,x<0,x2-1,x≥0,其中k≥0.①若k=2,则f(x)的最小值为　　　　;②关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点,则实数k的取值范围是　　　　.?

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设f(x)和g(x)的图象在[a,b]上是连续不断的,且f(a)g(b),证明:在(a,b)内存在一点x0,使f(x0)=g(x0).






18.(12分)已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a满足下列条件,分别求实数a的值或范围.
(1)有2个零点;
(2)有3个零点;
(3)有4个零点.











19.(12分)求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点(精确到0.1).






20.(12分)(2019西安第一中学模拟)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?









21.(12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个交点,且只有一个交点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.







22.

(12分)(2019福建龙岩期末)某工厂拟建一座平面图为矩形且占地面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池子四周围墙建造单价为400元/米,中间两道墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所用墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.







1131570011607800第五章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(每小题5分,共40分)
1.函数y=x2-3x+2的零点为(　　)
A.(1,0),(2,0) B.1,2
C.1 D.2
解析因为方程x2-3x+2=0的根为1,2,所以选B.
答案B
2.某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻t时的距离,下列图象中能大致表示s=f(t)的函数关系的为(　　)

解析由题中所述,只有C符合题意.
答案C
3.定义在R上的奇函数y=f(x),当x>0时,y=f(x)是增加的,且f(1)·f(2)<0,则函数y=f(x)的零点个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.条件不足无法判断
解析由y=f(x)在(0,+∞)上是增加的,且f(1)·f(2)<0,函数y=f(x)在(0,+∞)上有一个零点,由奇函数关于原点对称的性质知函数y=f(x)在(-∞,0)上也只有一个零点.又x=0时,f(0)=0,故函数y=f(x)在R上有三个零点.故选C.
答案C
4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　　,第二次应计算　　　　　.以上横线上应填的内容为(　　)?
A.(0,0.5)　f(0.25) B.(0,1)　f(0.25)
C.(0.5,1)　f(0.75) D.(0,0.5)　f(0.125)
解析因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以函数f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),第二次计算f0+0.52=f(0.25).
答案A
5.若函数f(x)=x2+ax+b有两个不同的零点x1,x2,且1 A.只有一个小于1 B.至少有一个小于1
C.都小于1 D.可能都大于1
解析当函数图象关于直线x=2对称时,a=-4,所以Δ=16-4b>0,b<4.f(1)-1=f(3)-1=b-4<0,故f(1),f(3)两个函数值都小于1;当函数图象不关于直线x=2对称时,f(1),f(3)两个函数值中至少有一个小于1.
答案B
6.(2020北京101中学高三开学考试)所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1 000 Hz声音的声强(约10-12 W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lg II0,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔),简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140 dB.一个士兵大喝一声的响度为90 dB,如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度,那么这群士兵的人数约为(　　)
A.1万 B.2万 C.5万 D.10万
解析设张飞的声强为I1,一个士兵的声强为I2,根据题意可知:140=10lg I110-12,90=10lg I210-12,所以I1=102,I2=10-3,所以I1I2=105,所以这群士兵的人数约为10万.
答案D
7.已知函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)
解析函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2,作出函数f(x)的图象,如图所示.

方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,等价于函数y=f(x)的图象与y=a有三个不同的交点.根据图象可知,当0 答案A
8.(2020北京北师大实验中学高三月考)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则1m+1n的取值范围是(　　)
A.72,+∞ B.[1,+∞)
C.(4,+∞) D.92,+∞
解析函数f(x)=ax+x-4的零点是函数y=ax与函数y=4-x图象交点A的横坐标,函数g(x)=logax+x-4的零点是函数y=logax与函数y=4-x图象交点B的横坐标,由于指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y=x对称,直线y=4-x与直线y=x垂直,故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即是A,B的中点,∴m+n=4,∴1m+1n=14(m+n)1m+1n=142+mn+nm≥1,当m=n=2等号成立,而m+n=4,故1m+1n≥1,故所求的取值范围是[1,+∞).
答案B
二、多项选择题(每小题5分,共20分)
9.(2019辽宁大连高一期末)函数f(x)=x3+3x-2的一个正零点所在的区间不可能是(　　)
A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
解析因为f(x)=x3+3x-2在R上是增函数,所以f(x)至多有一个零点,又因为f(0)=-2<0,f(1)=2>0,所以f(x)有且仅有一个零点且零点在(0,1)内,所以f(x)的正零点不可能在(3,4),(2,3),(1,2)内.
答案ABC
10.下列函数中,能用二分法求函数零点的有(　　)
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log4x D.f(x)=ex-2
解析f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,f(1)=0,当x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)>0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.
答案ACD
11.

某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)
A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=14x+52
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
解析甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1=0.5x+1,故A正确;当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5元,故B正确;易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=14x+52,故C正确;当x=8时,y1=0.5×8+1=5,y2=14×8+52=92,因为y1>y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D不正确.
答案ABC
12.(2020福建厦门双十中学高一月考)已知函数f(x)=2x+log2x,且实数a>b>c>0,满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,那么下列不等式中可能成立的是(　　)
A.x0a C.x0 解析由函数的单调性可得,函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)为增函数,由f(a)f(b)f(c)<0,则f(a),f(b),f(c)为负数的个数为奇数,对于选项A,B,C,选项可能成立;对于选项D,当x00,f(b)>0,f(c)>0,即不满足f(a)f(b)f(c)<0,故选项不可能成立.
答案ABC
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.(2020北京朝阳高考模拟)能说明“函数f(x)的图象在区间[0,2]上是一条连续的曲线.若f(0)·f(2)>0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是　　　　.?
解析

考查函数y=(x-1)2,绘制函数图象如图所示,该函数f(x)的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线,f(0)·f(2)>0,但是函数f(x)在(0,2)内存在零点x=1,故该函数使得原命题为假命题.
答案y=(x-1)2(开放题,答案不唯一)
14.某方程ln x-6+2x=0的解为x0,则不等式x≤x0的最大整数解是　　　　　.?
解析令f(x)=ln x-6+2x,则
f(1)=ln 1-6+2=-4<0,
f(2)=ln 2-6+4=ln 2-2<0,
f(3)=ln 3>0,
∴2 答案2
15.(2020广东揭阳高一期末)12523+12-2-4(3-π)4+3(-3)3=　　　　.?
解析12523+12-2-4(3-π)4+3(-3)3=53×23+2(-1)×(-2)-|3-π|+(-3)=25+4-π+3-3=29-π.
答案29-π
16.已知函数f(x)=-x+k,x<0,x2-1,x≥0,其中k≥0.①若k=2,则f(x)的最小值为　　　　;②关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点,则实数k的取值范围是　　　　.?
解析①当x<0时,f(x)=-x+2在区间(-∞,0)上单调递减,则f(x)>2.
当x≥0时,f(x)=x2-1在区间(0,+∞)上单调递增,则f(x)≥f(0)=-1,故f(x)的最小值为-1.
②令f(x)=t,则y=f(t),
当k∈[0,1)时,函数f(x)的图象如图所示.

由f(t)=0得t=1,故函数f(x)与函数y=1有两个交点,所以k∈[0,1)满足题意.
当k∈[1,+∞)时,函数f(x)的图象如图所示.

由f(t)=0得t=1,则函数f(x)与函数y=1只有一个交点,所以k∈[1,+∞)不满足题意.
综上,k的取值范围是[0,1).
答案-1　[0,1)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)设f(x)和g(x)的图象在[a,b]上是连续不断的,且f(a)g(b),证明:在(a,b)内存在一点x0,使f(x0)=g(x0).
证明令F(x)=f(x)-g(x),∵f(a)g(b),
∴F(a)=f(a)-g(a)<0,F(b)=f(b)-g(b)>0.
∴函数F(x)=f(x)-g(x)在(a,b)内有零点.
∴方程f(x)-g(x)=0在(a,b)内有解.
即f(x)=g(x)在(a,b)内有解.
∴在(a,b)内存在一点x0,使f(x0)=g(x0).
18.(12分)已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a满足下列条件,分别求实数a的值或范围.
(1)有2个零点;
(2)有3个零点;
(3)有4个零点.
解

如图为y=|x2-2x-3|的图象,函数y=a与y=|x2-2x-3|的图象的交点个数即为函数f(x)的零点个数.由图知,(1)当x=1时,y=4,∴当a=0或a>4时,函数有2个零点;
(2)当a=4时,函数有3个零点;
(3)当0 19.(12分)求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点(精确到0.1).
解由于f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间[1,2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算,列表如下:
端点或
中点横坐标
计算端点或
中点的函数值
定区间
a0=1,b0=2
f(1)=-6,f(2)=4
[1,2]
x1=1+22=1.5
f(x1)=-2.625<0
[1.5,2]
x2=1.5+22=1.75
f(x2)≈0.234 4>0
[1.5,1.75]
x3=1.5+1.752=1.625
f(x3)≈-1.302 7<0
[1.625,1.75]
x4=1.625+1.752=1.687 5
f(x4)≈-0.561 8<0
[1.687 5,1.75]
x5=1.687 5+1.752=1.718 75
f(x5)≈-0.171<0
[1.718 75,1.75]
x6=1.718 75+1.752=1.734 375
f(x6)≈0.03>0
[1.718 75,
1.734 375]


至此可以看出,区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7,所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解,即为函数的一个正数零点.
20.(12分)(2019西安第一中学模拟)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
解(1)当x≤6时,y=50x-115,令50x-115>0,解得x>2.3,∵x为整数,∴3≤x≤6,x∈Z.当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,结合x为整数得6 ∴f(x)=50x-115,3≤x≤6,x∈Z,-3x2+68x-115,6 (2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),显然当x=6时,ymax=185;对于y=-3x2+68x-115=-3x-3432+8113(6185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.
21.(12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个交点,且只有一个交点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-15或a≥1.检验:(1)当f(-1)=0时,a=1,所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,解得x=0,或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.
(2)当f(3)=0时,a=-15,此时,f(x)=x2-135x-65.令f(x)=0,即x2-135x-65=0,解得x=-25或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-15.综上所述,a∈-∞,-15∪(1,+∞).
22.

(12分)(2019福建龙岩期末)某工厂拟建一座平面图为矩形且占地面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池子四周围墙建造单价为400元/米,中间两道墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所用墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
解设污水处理池的长为x米,总造价为y元,则宽为200x米,则有
(1)y=2x×400+200x×2×400+200x×2×248+80×200=800x+259 200x+16 000≥2800x·259 200x+16 000=2×14 400+16 000=44 800,当且仅当800x=259 200x,即x=18时,y取得最小值.∴当污水处理池的长为18米,宽为1009米时总造价最低,最低总造价为44 800元.
(2)∵0x2,则φ(x1)-φ(x2)=800(x1-x2)+3241x1?1x2=800(x1-x2)(x1x2-324)x1x2<0,∴φ(x1)<φ(x2),故函数φ(x)在[12.5,16]上单调递减,从而有φ(x)≥φ(16)=45 000,∴当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时总造价最低,最低总造价为45 000元.