第四章　§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 §5　信息技术支持的函数研究-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册练习（Word含答案）

1176020011417300第四章对数运算与对数函数
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(　　)
A.一次函数 B.幂函数
C.指数型函数 D.对数型函数
2.(多选题)有一组实验数据如表所示:
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37

则下列所给函数模型较不适合的有(　　)
A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
3.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好(　　)

A.指数函数:y=2t B.对数函数:y=log2t
C.幂函数:y=t3 D.二次函数:y=2t2
4.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1　　　　　Δy2(填“>”“=”或“<”).?
5.某电脑公司六年来电脑总产量y(台)与生产时间x(年)的函数关系如图.有下列说法:①前三年产量增长速度越来越快;②前三年产量增长速度越来越慢;③后三年这种产品停止生产;④后三年产量保持不变.其中说法正确的是　　　　.(填序号)?

6.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907

关于x呈指数函数变化的变量是　　　　　.?
7.

函数f(x)=2x和g(x)=x3的部分图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1 (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,比较f(6),g(6),f(2 019),g(2 019)的大小.









能力提升练
1.当0 A.h(x) C.g(x)
2.如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有(　　)

(1)这几年人民生活水平逐年得到提高;
(2)人民生活费收入增长最快的一年是2016年;
(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2017年;
(4)虽然2018年生活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.
A.1项 B.2项 C.3项 D.4项
3.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y随利润x的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求?







4.某企业常年生产一种出口产品,根据调查可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2014年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44


若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log12x+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的函数关系式(所求a或b的值保留1位小数);
(2)受某些因素影响,预测2020年的年产量比预计减少30%,试根据所选择的函数模型,确定2020年的年产量.





5.若不等式3x2-logax<0在x∈0,13内恒成立,求实数a的取值范围.






素养培优练
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).







1176020011417300第四章对数运算与对数函数
§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(　　)
A.一次函数 B.幂函数
C.指数型函数 D.对数型函数
解析初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系.
答案D
2.(多选题)有一组实验数据如表所示:
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37

则下列所给函数模型较不适合的有(　　)
A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)
解析由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.
答案ABD
3.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好(　　)

A.指数函数:y=2t B.对数函数:y=log2t
C.幂函数:y=t3 D.二次函数:y=2t2
解析由图可知函数在第一象限内单调递增,并且增长速度较快,且图象过点(2,4),(4,16),因此利用指数函数模型拟合较好.
答案A
4.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1　　　　　Δy2(填“>”“=”或“<”).?
解析由这两个函数的图象可知,指数函数增长的快些,所以Δy1<Δy2.
答案<
5.某电脑公司六年来电脑总产量y(台)与生产时间x(年)的函数关系如图.有下列说法:①前三年产量增长速度越来越快;②前三年产量增长速度越来越慢;③后三年这种产品停止生产;④后三年产量保持不变.其中说法正确的是　　　　.(填序号)?

解析结合图象的增长趋势易得出②④正确.
答案②④
6.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907

关于x呈指数函数变化的变量是　　　　　.?
解析从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.
答案y2
7.

函数f(x)=2x和g(x)=x3的部分图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1 (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,比较f(6),g(6),f(2 019),g(2 019)的大小.
解(1)C1对应的函数为g(x)=x3,
C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f(1)>g(1),f(2)g(10),
∴1x2.
从图象上可以看出,当x1 ∴f(6) 当x>x2时,f(x)>g(x),
∴f(2 019)>g(2 019).
又g(2 019)>g(6),
∴f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).
能力提升练
1.当0 A.h(x) C.g(x) 解析在同一坐标下作出函数f(x)=x2,g(x)=x12,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.

答案D
2.如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有(　　)

(1)这几年人民生活水平逐年得到提高;
(2)人民生活费收入增长最快的一年是2016年;
(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2017年;
(4)虽然2018年生活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.
A.1项 B.2项 C.3项 D.4项
解析由题意,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是逐年增大的,故(1)正确;“生活费收入指数”在2016~2017年最陡,故(2)正确;“生活费价格指数”在2017~2018年最平缓,故(3)不正确;由于“生活费价格指数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故(4)正确.
答案C
3.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y随利润x的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求?
解在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).
观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,
只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.
4.某企业常年生产一种出口产品,根据调查可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2014年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44


若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log12x+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的函数关系式(所求a或b的值保留1位小数);
(2)受某些因素影响,预测2020年的年产量比预计减少30%,试根据所选择的函数模型,确定2020年的年产量.
解(1)符合条件的是f(x)=ax+b.
理由如下:
若模型为f(x)=log12x+a,则f(x)是减函数,与已知不符.
若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知数据相差太大,不符合.
则近似符合的模型为f(x)=ax+b.
由已知得a+b=4,3a+b=7,解得a=1.5,b=2.5,
所以f(x)=1.5x+2.5,x∈N+.
(2)2020年的预计年产量为f(7)=1.5×7+2.5=13(万件),所以13×(1-30%)=9.1(万件),即预测2020年的年产量为9.1万件.
5.若不等式3x2-logax<0在x∈0,13内恒成立,求实数a的取值范围.
解由题意,知3x2 当a>1,则函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,∴a>1不成立;
当0 ∴a≥127,∴127≤a<1.
综上,a的取值范围是127,1.
素养培优练
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=px12+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=px12+q(p>0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k>0,a>1)更合适.由题意可知,x=2时,y=24,x=3时,y=36.所以ka2=24,ka3=36,解得k=323,a=32,所以该函数模型的关系式是y=323×32x(x∈N+).
(2)当x=0时,y=323×320=323,所以元旦放入时凤眼莲的面积是323 m2.由323×32x>10×323,得32x>10,所以x>log3210=lg10lg32=1lg3-lg2.
因为1lg3-lg2≈10.477 1-0.301 0≈5.7,所以x≥6,所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时凤眼莲面积的10倍以上的最小月份是6月份.