必修第一册
夯实基础篇
03全称量词与存在量词
第一章集合与常用逻辑用语
夯实基础篇---03全称量词与存在量词
知识构建
知识点1：全称量词命题和存在量词命题的判断
1．全称量词与全称量词命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
（2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
2．存在量词与存在量词命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
（2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
知识点2：含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
小结：对全称量词命题与存在量词命题的否定有两个方面
（1）改变量词：把全称（存在）量词换为存在（全称）量词．
（2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
类型剖析
三、类型应用
类型一：全称、存在量词命题真假的判断
【例1】判断下列全称量词命题的真假:
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3)对任意负数是正数;
(4)梯形的对角线相等
【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.
【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.
(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.
(3)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题
(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.
【例2】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
（1）?x∈N,2x＋1是奇数；
（2）存在一个x∈R，使＝0；
（3）对任意实数a，|a|＞0；
（4）有一个角α，使sin
α＝.
【答案】见解析
【解析】(1)是全称量词命题．因为?x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．
(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin
α＝，所以该命题是真命题．
【例3】有下列四个命题：
①，；
②；
③，；
④.其中真命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】对于①，，，故命题成立；
对于②，显然当时满足，但，故命题为假；
对于③，显然时满足，成立，故命题为真；
对于④，的实数根为，是无理数，故命题为假.
综上，真命题的个数为2.
故选：B.
【跟踪训练】
1.
判断下列命题的真假．
（1）任意两个面积相等的三角形一定相似；
（2）?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
（4）?x∈N，x2>0.
【答案】
【解析】 (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题．
2.
下列命题中真命题有( )
①p：?x∈R，x2－x＋≥0；
②q：所有的正方形都是矩形；
③r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
④s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
【解析】x2－x＋＝2≥0，故①是真命题；x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，故③是假命题；易知②是真命题，④是假命题．
3.下列命题中是命真题的是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】取，，所以选项A，C不正确；
由得是无理数，所以选项B正确，选项D不正确，
故选：B
考点二
全称量词命题与存在量词命题的否定
【例4】写出下列全称量词命题的否定.
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
【解析】
(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
(3)该命题的否定：
x∈Z，x2的个位数字等于3.
【跟踪训练4】写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)?x∈R，|x|≥x；
(3)?x∈R＋，为正数．
【解析】
(1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题．
(2)原命题的否定为“?x∈R，使|x|(3)原命题的否定为“?x∈R＋，使≤0”，这个命题是假命题.
【例5】写出下列存在量词命题的否定.
(1)?n∈R，x+2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个偶数是素数.
【解析】
(1)该命题的否定：?n∈R，x+2＞0.
(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形
(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
【跟踪训练5】
写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)有的素数是偶数；
(2)?x∈R，使x2＋x＋<0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【解析】
(1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．
(2)题中命题的否定为“?x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0.
(3)题中命题的否定为“?x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.
【例6】写出下列命题的否定并判断其真假：
（1）p：?x∈R，2≥0；
（2）q：所有的正方形都是矩形；
（3）r：?x∈R，x2＋2x＋3≤0；
（4）s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【解析】(1)
￢p：?x∈R，2＜0，假命题．
因为?x∈R，2≥0恒成立，所以￢p是假命题．
(2)
￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)
￢r：?x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．
因为?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以￢r是真命题．
(4)
￢s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以￢s是假命题．
【跟踪训练6】写出下列命题的否定：
（1），；
（2）p：所有自然数的平方都是正数；
（3）p：任何实数x都是方程的根；
（4）p：有些分数不是有理数.
【答案】（1），；（2）有些自然数的平方不是正数；（3）存在实数x不是方程的根；（4）一切分数都是有理数.
【解析】（1），；
（2）有些自然数的平方不是正数；
（3）存在实数x不是方程的根；
（4）一切分数都是有理数.
考点三
求含有量词的命题中的参数问题
【例7】若命题“p：?x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(
)
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
【答案】B
【解析】
命题p：?x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.故选B
【跟踪训练7】已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】{a|a≤1}
【解析】 存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，
∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.
【例8】若“有
成立”是真命题，则实数的取值范围是____________
【答案】
【解析】（1）由题意可得，函数的最大值为1，∴.故答案为：.
【跟踪训练8】（2）（2021·黑龙江哈尔滨市）已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.
【答案】5
【解析】当时，，
因为“，使得”是真命题，所以.故答案为：
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03全称量词与存在量词
第一章集合与常用逻辑用语
夯实基础篇---03全称量词与存在量词
知识构建
知识点1：全称量词命题和存在量词命题的判断
1．全称量词与全称量词命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
（2）含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
2．存在量词与存在量词命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
（2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
知识点2：含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
小结：对全称量词命题与存在量词命题的否定有两个方面
（1）改变量词：把全称（存在）量词换为存在（全称）量词．
（2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
类型剖析
三、类型应用
类型一：全称、存在量词命题真假的判断
【例1】判断下列全称量词命题的真假:
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3)对任意负数是正数;
(4)梯形的对角线相等
【例2】 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
（1）?x∈N,2x＋1是奇数；
（2）存在一个x∈R，使＝0；
（3）对任意实数a，|a|＞0；
（4）有一个角α，使sin
α＝.
【例3】有下列四个命题：
①，；
②；
③，；
④.其中真命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【跟踪训练】
1.
判断下列命题的真假．
（1）任意两个面积相等的三角形一定相似；
（2）?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
（4）?x∈N，x2>0.
2.
下列命题中真命题有( )
①p：?x∈R，x2－x＋≥0；
②q：所有的正方形都是矩形；
③r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
④s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.下列命题中是命真题的是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
考点二
全称量词命题与存在量词命题的否定
【例4】写出下列全称量词命题的否定.
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
【跟踪训练4】写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)?x∈R，|x|≥x；
(3)?x∈R＋，为正数．
【例5】写出下列存在量词命题的否定.
(1)?n∈R，x+2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个偶数是素数.
【跟踪训练5】
写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)有的素数是偶数；
(2)?x∈R，使x2＋x＋<0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【例6】写出下列命题的否定并判断其真假：
（1）p：?x∈R，2≥0；
（2）q：所有的正方形都是矩形；
（3）r：?x∈R，x2＋2x＋3≤0；
（4）s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【跟踪训练6】写出下列命题的否定：
（1），；
（2）p：所有自然数的平方都是正数；
（3）p：任何实数x都是方程的根；
（4）p：有些分数不是有理数.
考点三
求含有一个量词的命题中的参数范围问题
【例7】若命题“p：?x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(
)
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
【跟踪训练7】已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．
【例8】若“有
成立”是真命题，则实数的取值范围是____________
【跟踪训练8】（2）（2021·黑龙江哈尔滨市）已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.
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