人教A版（2019）数学必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直

人教A版（2019）数学必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直
一、单选题
1．（2018高二上·汕头期中）已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（　　）
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB
【答案】B
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】画出图象如下图所示，由于 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .
故答案为：B.
【分析】作出图形，结合面面垂直的判定定理即可说明平面 平面 .
2．（2018高二下·磁县期末）如图，在三棱锥 中，侧面 底面BCD， ， ， ， ，直线AC与底面BCD所成角的大小为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】取BD中点，
由 ， ，又侧面 底面BCD，所以 。
所以 为直线AC与底面BCD所成角。
，所以 。
故答案为：A.
【分析】取BD的中点E，则为直线AC与底面BCD所成的角，利用题目条件，解三角形，即可得出答案。
3．（2019高一上·延边月考）已知三棱锥 中,若PA,PB,PC两两互相垂直,作 面ABC,垂足为O，则点O是 的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为PA,PB,PC两两互相垂直,所以由线面垂直的判定定理可知： 平面 ,
而 平面 ,因此 ,又因为 面ABC, 平面 ,所以
,又 平面 ,所以 平面 ,
平面 ,所以 ,同理 ,故点O是 的垂心.
故答案为：D
【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可以判断出则点O是 垂心.
4．（2018高一下·黄冈期末）下列命题中错误的是（　　）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】由题意可知：
A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；
B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；
C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；
D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．
故答案为：D．
【分析】由面面垂直性质定理排除A，由面面垂直的判定定理可排除B，由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可排除C。
5．（人教A版高中数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质课时训练2）如图，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为PA⊥☉O所在的平面，BC ☉O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC，故①正确；又因为AF 平面PAC，所以AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C，所以AF⊥平面PCB，故②正确；而PB 平面PCB，所以AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，而EF 平面AEF，所以EF⊥PB，故③正确；因为AF⊥平面PCB，假设AE⊥平面PBC，所以AF∥AE，显然不成立，故④不正确；故选C.
【分析】利用线面垂直的判定与性质分别进行判断，即可得出结论。
6．（高中数学人教新课标A版必修2第二章2.3.4平面与平面垂直的性质同步练习）如图，在长方体 中， ， ，则下列结论中正确的是（　　）
A． ∥ B． ∥平面
C． D． 平面
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接BD，∵ 为长方体，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥ ，∵BD∩ =D，∴AC⊥平面 ，∵ 平面 ，∴AC⊥ . 故答案为：C
【分析】利用长方体的特性可得证AC⊥平面 B D D1，再由线面垂直的性质定理可得出AC⊥ B D1即可。
7．（高中数学人教新课标A版必修2第二章2.3.4平面与平面垂直的性质同步练习）如图所示，平面四边形 中， ， ，将其沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，则下列说法中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】取BD中点M，连接 ，显然 ，又 ，所以 ，所以 ， .因为 ， ，所以 ，所以 . 故答案为：D
【分析】利用折叠问题可得出A M ⊥ C D 进而得到 C D ⊥ 面 A B D ，然后得出面面垂直再由此得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得出结果。
8．（2017·成都模拟）如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（　　）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：①若直线SA⊥平面SBC，
则直线SA与平面SBC均垂直，则SA⊥BC，
又由AD∥BC，则SA⊥AD，这与∠SAD为锐角矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA=S，
故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③取AB的中点F，则CF∥AE，由线面平行的判定定理，可得CF∥SAE平行，故③正确；④若SE⊥BA，由EC∥AB，可得SE⊥EC，这与∠SEC为钝角矛盾，故④错误；
故选A．
【分析】由已知中点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，我们可得∠SAD为锐角，∠SEC为钝角，逐一分析题目中的四个结论，分别分析出它们的真假，即可得到答案．
9．（人教A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质 同步练习）在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．4
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM= ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4× =2 ，所以PM的最小值为2 .
故答案为：B.
【分析】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可。
10．（2019高二上·杭州期中）如图所示，在正方形 中， 分别是 的中点，现在沿 把这个正方形折成一个四面体，使 三点重合，重合后的点记为 .给出下列关系：
① 平面 ；② 平面 ；③ ；④ 上平面 .其中关系成立的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由 ，得 平面 ，排除C，D；
若 平面 ，则 ，这与 矛盾，排除A，
故答案为：B.
【分析】先由线面垂直的判定定理得到 平面 ，排除C、D，再假设 平面 ，根据题意推出矛盾，排除A，即可得出结果.
11．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】解答：作AE⊥BD，交BD于E，
∵平面ABD⊥平面BCD
∴AE⊥面BCD，BC 面BCD
∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴DA⊥BC，又∵AE∩AD=A
∴BC⊥面ABD，而AB 面ABD
∴BC⊥AB即△ABC为直角三角形
故选B．
分析：作AE⊥BD，交BD于E，根据平面与平面垂直的性质定理可知AE⊥面BCD，再根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面ABD，从而得到△ABC为直角三角形．
12．（2019高二下·富阳月考）如图，已知 是顶角为 的等腰三角形，且 ，点 是 的中点.将 沿 折起，使得 ，则此时直线 与平面 所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】作 ，垂足为 ，连接
， 平面
平面
又 平面 即为 与平面 所成角
由题意可知： ，
设 中， 边上高为 ，则
，解得：
本题正确结果；
【分析】作 ，垂足为 ，利用线面垂直判定定理可知 平面 ，得到 ，又 ，利用线面垂直判定定理得 平面 ，可知 即为 与平面 所成角；根据已知中的长度关系可求解出 ，从而得到所求正弦值.
二、填空题
13．（2018高一下·临川期末）如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为　 　．
【答案】4
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由题意AB⊥平面BCD，由直线和平面垂直的定义
∴①AB⊥BC， △ABC是直角三角形
②AB⊥BD， △ABD是直角三角形
又 ③∠BCD=90°△BCD是直角三角形
④AB⊥平面BCD AB⊥DC，又BC⊥DC，
由直线和平面垂直的判定定理，得 DC⊥面ABC，
∴DC⊥AC △ACD是直角三角形
故答案为：4．
【分析】本道题目利用了直线与平面垂直判定定理，发现CD平面ABC，由此就可以发现这个四面体每一面都是直角三角形。
14．（2018高二下·赤峰期末）在直三棱柱 中， .有下列条件：
① ；② ；③ .其中能成为 的充要条件的是　 　．（填上序号）
【答案】①③
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
若① ，
如图取 分别是 的中点，
可得 ，
由直三棱柱 中，
可得 都垂直于侧面 ，
由此知 都垂直于线 ，又 ，
所以 平面 ，
可得 ，
又由 是中点及直三棱柱的性质知 ，
故可得 ，
再结合 垂直于线 ，可得 面 ，
故有 ，故①能成为 的充要条件，
同理③也可，
对于条件②，若 ，可得 面 ，
，若 ，
由此可得 平面 形，矛盾，
故不为 的充要条件，
综上，①③符合题意，故答案为①③.
【分析】对于1和3，分别证明平面，同时垂直平面，结合直线与平面垂直性质，即可得出答案。选项2错误，即可得出答案。
15．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于　 　
【答案】2
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，
又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，
即a=2．
故答案为：2．
【分析】利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．
16．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围　 　
【答案】[，1]
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，由条件知EB，ED，EA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：
E（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），N（2，1，0），D（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）；
P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点；
∴设P（0，0，z），Q（x，0，0），x，z∈[0，2]；
∴
∵MQ⊥PN；
∴=0；
∴z=1﹣2x；
∵x，z∈[0，2]，∴0≤1﹣2x≤2；
解得；
∴
∴x=时，|PQ|取最小值，x=0时，|PQ|取最大值；
∴PQ长度的取值范围为[，1]．
故答案为：[，1]．
【分析】先画出折叠后的图形，根据已知条件可分别以EB，ED，EA三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并可求出图形上一些点的坐标，根据P，Q分别为线段AE、EB上的点，可设P（0，0，z），Q（x，0，0）．这时可由MQ⊥PN得到，从而可得到z=1﹣2x，从而可以得到PQ的长度|PQ|=，这时候，根据x，z的范围可求出x的范围，由x的范围即可求出|PQ|的取值范围．
三、解答题
17．（2019高一下·安庆期末）如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋ ，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.
（1）求证：BC⊥面CDE；
（2）在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由已知得： ， ，
面 ．
，又 ，
面
（2）解：分析可知， 点满足 时，面 面 ．
理由如下：取 中点 ，连接 、 、 、 、
容易计算 ，
在 中
，
由平行四边形性质得 ，
所以
可知 ，
在 中， ，
．
又在 中， ， 为 中点
，
因为
面 ，因为 ，
面 面 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用折叠的方法结合直角梯形的结构特征，用线线垂直证出线面垂直。
（2）利用面面垂直的性质定理结合空间向量的方法求出在线段AE上存在一点R，且点 满足 ， 使得面BDR⊥面DCB。
18．（2019高二下·南充月考）如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，以 为折痕将 向上折起， 变为 ，且平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
取 的中点 ，连结 ，则 ，
∵ 平面 平面 ，
∴ 平面 ，∴
从而 平面 ，∴
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
，从而 =（4，0，0）， ， .
设 为平面 的法向量，
则 可以取
设 为平面 的法向量，
则 可以取
因此， ，有 ，即平面 平面 ，
故二面角 的大小为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，由平面 平面 得到 平面 ，即可证明 ；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，根据平面向量的数量积运算求出二面角的平面角即可.
19．（2018·宁德模拟）如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点．现将矩形 沿着对角线 折成二面角 ，使得 ．
（Ⅰ）求证：当 时， ；
（Ⅱ）试求 的长，使得二面角 的大小为 ．
【答案】解：（Ⅰ）连结 ， ．
在矩形 中， ，
， ．
在 中，∵ ，
，
∵ ，
，即 ．
又在 中，
，
∴在 中， ，
，
又 ，
∴ 平面 ．
∴ ．
（Ⅱ）解：在矩形 中，过 作 于 ，并延长交 于 . 沿着对角线 翻折后，
由（Ⅰ）可知， 两两垂直，
以 为原点， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，则
，
平面 ，
为平面 的一个法向量．
设平面 的法向量为
， ，
由 得
取 则 ， ．
即 ，
．
当 时，二面角 的大小是
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，连结DF，BF．通过计算推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，然后证明D'F⊥平面ABC．推出利用线面垂直的性质得到D'F⊥BC．
（Ⅱ）先说明OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，建立适当的空间直角坐标系O-xyz，求出平面AD'F的一个法向量．以及平面BD'F的法向量，通过用空间向量求平面间的夹角的方法，利用向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．
20．（2018·栖霞模拟）如图，在多面体 中， 是平行四边形， ， ， 两两垂直.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明：∵ ， ， ，∴ 平面 ，
∵ 是平行四边形，∴ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）解：连接 ．
∵ ， ， 两两互相垂直， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，∴ ．
又由（Ⅰ）知 平面 ，
∴ ，∴ ．
设 到平面 的距离为 ，所以由 ，得 ，
所以 ，即 到平面 的距离为 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由已知条件可得线面垂直，进而得面面垂直.
（2）利用等体积转换可得所求的高.
21．（2018高三上·鹤岗月考）在直三棱柱 中， 平面 ，其垂足 落在直线 上.
（1）求证： ；
（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，又BC 平面ABC，
∴A1A⊥BC
∵AD⊥平面A1BC，且BC 平面A1BC，
∴AD⊥BC．又AA1 平面A1AB，
AD 平面A1AB，A1A∩AD=A，
∴BC⊥平面A1AB，
又A1B 平面A1BC，
∴BC⊥A1B
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．
∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，
∴AD⊥A1B．
在Rt△ABD中， ，AB=BC=2，
= ，∠ABD=60°，
在Rt△ABA1中，AA =AB tan60 =2
由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB 平面A1AB，
从而BC⊥AB， = AB BC= 2 2=2．
∵P为AC的中点， = S =1
= =
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）本题利用三棱柱中线面垂直的性质证出线线垂直。
（2）本题根据直三棱柱的结构特征由线面垂直的性质证出线线垂直，在结合直角三角形的结构特征利用正弦值和正切值求出相关的边和角的值最后利用等体积法结合三棱锥体积公式求出三棱锥 的体积.
22．（2018高一下·西城期末）如图，已知正方体 的棱长为1，点 是棱 上的动点， 是棱 上一点， .
（1）求证： ；
（2）若直线 平面 ，试确定点 的位置，并证明你的结论；
（3）设点 在正方体的上底面 上运动，求总能使 与 垂直的点 所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）
【答案】（1）证明：连结 ， 是正方形，所以 ，
在正方体 中， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以
（2）解：当 时，直线 平面 .证明如下：过点 在平面 作 交 于点 ，连结 ，交 于点 ，因为 ，所以 ，在 与 中， ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
在正方体 中， 面 ，所以 面 ，所以 ，又 ，所以 面 ，所以 ，又 ， ，所以直线 平面
（3）解：
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证得 B1D1⊥ 平面 A1C1C，再由线面垂直性质定理得到答案。
（2）过点 F 在平面 BCC1B1作 F G / / BC，由全等三角形的判定得到 ΔA1B1G Δ B1BE，由角之间的计算得到A1G ⊥ B1E ，最后由线面垂直的判定定理证得答案。
（3）简单计算直接得到答案。
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一、单选题
1．（2018高二上·汕头期中）已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（　　）
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB
2．（2018高二下·磁县期末）如图，在三棱锥 中，侧面 底面BCD， ， ， ， ，直线AC与底面BCD所成角的大小为
A． B． C． D．
3．（2019高一上·延边月考）已知三棱锥 中,若PA,PB,PC两两互相垂直,作 面ABC,垂足为O，则点O是 的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．（2018高一下·黄冈期末）下列命题中错误的是（　　）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5．（人教A版高中数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质课时训练2）如图，PA⊥☉O所在的平面，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（高中数学人教新课标A版必修2第二章2.3.4平面与平面垂直的性质同步练习）如图，在长方体 中， ， ，则下列结论中正确的是（　　）
A． ∥ B． ∥平面
C． D． 平面
7．（高中数学人教新课标A版必修2第二章2.3.4平面与平面垂直的性质同步练习）如图所示，平面四边形 中， ， ，将其沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，则下列说法中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2017·成都模拟）如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（　　）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（人教A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质 同步练习）在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．4
10．（2019高二上·杭州期中）如图所示，在正方形 中， 分别是 的中点，现在沿 把这个正方形折成一个四面体，使 三点重合，重合后的点记为 .给出下列关系：
① 平面 ；② 平面 ；③ ；④ 上平面 .其中关系成立的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
11．（人教新课标A版必修2数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
12．（2019高二下·富阳月考）如图，已知 是顶角为 的等腰三角形，且 ，点 是 的中点.将 沿 折起，使得 ，则此时直线 与平面 所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018高一下·临川期末）如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为　 　．
14．（2018高二下·赤峰期末）在直三棱柱 中， .有下列条件：
① ；② ；③ .其中能成为 的充要条件的是　 　．（填上序号）
15．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于　 　
16．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围　 　
三、解答题
17．（2019高一下·安庆期末）如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋ ，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.
（1）求证：BC⊥面CDE；
（2）在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.
18．（2019高二下·南充月考）如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，以 为折痕将 向上折起， 变为 ，且平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小.
19．（2018·宁德模拟）如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点．现将矩形 沿着对角线 折成二面角 ，使得 ．
（Ⅰ）求证：当 时， ；
（Ⅱ）试求 的长，使得二面角 的大小为 ．
20．（2018·栖霞模拟）如图，在多面体 中， 是平行四边形， ， ， 两两垂直.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
21．（2018高三上·鹤岗月考）在直三棱柱 中， 平面 ，其垂足 落在直线 上.
（1）求证： ；
（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积.
22．（2018高一下·西城期末）如图，已知正方体 的棱长为1，点 是棱 上的动点， 是棱 上一点， .
（1）求证： ；
（2）若直线 平面 ，试确定点 的位置，并证明你的结论；
（3）设点 在正方体的上底面 上运动，求总能使 与 垂直的点 所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】画出图象如下图所示，由于 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 .
故答案为：B.
【分析】作出图形，结合面面垂直的判定定理即可说明平面 平面 .
2．【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】取BD中点，
由 ， ，又侧面 底面BCD，所以 。
所以 为直线AC与底面BCD所成角。
，所以 。
故答案为：A.
【分析】取BD的中点E，则为直线AC与底面BCD所成的角，利用题目条件，解三角形，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为PA,PB,PC两两互相垂直,所以由线面垂直的判定定理可知： 平面 ,
而 平面 ,因此 ,又因为 面ABC, 平面 ,所以
,又 平面 ,所以 平面 ,
平面 ,所以 ,同理 ,故点O是 的垂心.
故答案为：D
【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可以判断出则点O是 垂心.
4．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】由题意可知：
A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；
B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；
C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；
D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．
故答案为：D．
【分析】由面面垂直性质定理排除A，由面面垂直的判定定理可排除B，由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可排除C。
5．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】因为PA⊥☉O所在的平面，BC ☉O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC，故①正确；又因为AF 平面PAC，所以AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C，所以AF⊥平面PCB，故②正确；而PB 平面PCB，所以AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，而EF 平面AEF，所以EF⊥PB，故③正确；因为AF⊥平面PCB，假设AE⊥平面PBC，所以AF∥AE，显然不成立，故④不正确；故选C.
【分析】利用线面垂直的判定与性质分别进行判断，即可得出结论。
6．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接BD，∵ 为长方体，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥ ，∵BD∩ =D，∴AC⊥平面 ，∵ 平面 ，∴AC⊥ . 故答案为：C
【分析】利用长方体的特性可得证AC⊥平面 B D D1，再由线面垂直的性质定理可得出AC⊥ B D1即可。
7．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】取BD中点M，连接 ，显然 ，又 ，所以 ，所以 ， .因为 ， ，所以 ，所以 . 故答案为：D
【分析】利用折叠问题可得出A M ⊥ C D 进而得到 C D ⊥ 面 A B D ，然后得出面面垂直再由此得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得出结果。
8．【答案】A
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：①若直线SA⊥平面SBC，
则直线SA与平面SBC均垂直，则SA⊥BC，
又由AD∥BC，则SA⊥AD，这与∠SAD为锐角矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA=S，
故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③取AB的中点F，则CF∥AE，由线面平行的判定定理，可得CF∥SAE平行，故③正确；④若SE⊥BA，由EC∥AB，可得SE⊥EC，这与∠SEC为钝角矛盾，故④错误；
故选A．
【分析】由已知中点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，我们可得∠SAD为锐角，∠SEC为钝角，逐一分析题目中的四个结论，分别分析出它们的真假，即可得到答案．
9．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM= ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4× =2 ，所以PM的最小值为2 .
故答案为：B.
【分析】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可。
10．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由 ，得 平面 ，排除C，D；
若 平面 ，则 ，这与 矛盾，排除A，
故答案为：B.
【分析】先由线面垂直的判定定理得到 平面 ，排除C、D，再假设 平面 ，根据题意推出矛盾，排除A，即可得出结果.
11．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】解答：作AE⊥BD，交BD于E，
∵平面ABD⊥平面BCD
∴AE⊥面BCD，BC 面BCD
∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC 平面ABC
∴DA⊥BC，又∵AE∩AD=A
∴BC⊥面ABD，而AB 面ABD
∴BC⊥AB即△ABC为直角三角形
故选B．
分析：作AE⊥BD，交BD于E，根据平面与平面垂直的性质定理可知AE⊥面BCD，再根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面ABD，从而得到△ABC为直角三角形．
12．【答案】A
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】作 ，垂足为 ，连接
， 平面
平面
又 平面 即为 与平面 所成角
由题意可知： ，
设 中， 边上高为 ，则
，解得：
本题正确结果；
【分析】作 ，垂足为 ，利用线面垂直判定定理可知 平面 ，得到 ，又 ，利用线面垂直判定定理得 平面 ，可知 即为 与平面 所成角；根据已知中的长度关系可求解出 ，从而得到所求正弦值.
13．【答案】4
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】由题意AB⊥平面BCD，由直线和平面垂直的定义
∴①AB⊥BC， △ABC是直角三角形
②AB⊥BD， △ABD是直角三角形
又 ③∠BCD=90°△BCD是直角三角形
④AB⊥平面BCD AB⊥DC，又BC⊥DC，
由直线和平面垂直的判定定理，得 DC⊥面ABC，
∴DC⊥AC △ACD是直角三角形
故答案为：4．
【分析】本道题目利用了直线与平面垂直判定定理，发现CD平面ABC，由此就可以发现这个四面体每一面都是直角三角形。
14．【答案】①③
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：
若① ，
如图取 分别是 的中点，
可得 ，
由直三棱柱 中，
可得 都垂直于侧面 ，
由此知 都垂直于线 ，又 ，
所以 平面 ，
可得 ，
又由 是中点及直三棱柱的性质知 ，
故可得 ，
再结合 垂直于线 ，可得 面 ，
故有 ，故①能成为 的充要条件，
同理③也可，
对于条件②，若 ，可得 面 ，
，若 ，
由此可得 平面 形，矛盾，
故不为 的充要条件，
综上，①③符合题意，故答案为①③.
【分析】对于1和3，分别证明平面，同时垂直平面，结合直线与平面垂直性质，即可得出答案。选项2错误，即可得出答案。
15．【答案】2
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
∴由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，
又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，
即a=2．
故答案为：2．
【分析】利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．
16．【答案】[，1]
【知识点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，由条件知EB，ED，EA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：
E（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），N（2，1，0），D（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）；
P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点；
∴设P（0，0，z），Q（x，0，0），x，z∈[0，2]；
∴
∵MQ⊥PN；
∴=0；
∴z=1﹣2x；
∵x，z∈[0，2]，∴0≤1﹣2x≤2；
解得；
∴
∴x=时，|PQ|取最小值，x=0时，|PQ|取最大值；
∴PQ长度的取值范围为[，1]．
故答案为：[，1]．
【分析】先画出折叠后的图形，根据已知条件可分别以EB，ED，EA三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并可求出图形上一些点的坐标，根据P，Q分别为线段AE、EB上的点，可设P（0，0，z），Q（x，0，0）．这时可由MQ⊥PN得到，从而可得到z=1﹣2x，从而可以得到PQ的长度|PQ|=，这时候，根据x，z的范围可求出x的范围，由x的范围即可求出|PQ|的取值范围．
17．【答案】（1）解：由已知得： ， ，
面 ．
，又 ，
面
（2）解：分析可知， 点满足 时，面 面 ．
理由如下：取 中点 ，连接 、 、 、 、
容易计算 ，
在 中
，
由平行四边形性质得 ，
所以
可知 ，
在 中， ，
．
又在 中， ， 为 中点
，
因为
面 ，因为 ，
面 面 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用折叠的方法结合直角梯形的结构特征，用线线垂直证出线面垂直。
（2）利用面面垂直的性质定理结合空间向量的方法求出在线段AE上存在一点R，且点 满足 ， 使得面BDR⊥面DCB。
18．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，∴ ，
取 的中点 ，连结 ，则 ，
∵ 平面 平面 ，
∴ 平面 ，∴
从而 平面 ，∴
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
，从而 =（4，0，0）， ， .
设 为平面 的法向量，
则 可以取
设 为平面 的法向量，
则 可以取
因此， ，有 ，即平面 平面 ，
故二面角 的大小为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，由平面 平面 得到 平面 ，即可证明 ；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，根据平面向量的数量积运算求出二面角的平面角即可.
19．【答案】解：（Ⅰ）连结 ， ．
在矩形 中， ，
， ．
在 中，∵ ，
，
∵ ，
，即 ．
又在 中，
，
∴在 中， ，
，
又 ，
∴ 平面 ．
∴ ．
（Ⅱ）解：在矩形 中，过 作 于 ，并延长交 于 . 沿着对角线 翻折后，
由（Ⅰ）可知， 两两垂直，
以 为原点， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，则
，
平面 ，
为平面 的一个法向量．
设平面 的法向量为
， ，
由 得
取 则 ， ．
即 ，
．
当 时，二面角 的大小是
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，连结DF，BF．通过计算推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，然后证明D'F⊥平面ABC．推出利用线面垂直的性质得到D'F⊥BC．
（Ⅱ）先说明OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，建立适当的空间直角坐标系O-xyz，求出平面AD'F的一个法向量．以及平面BD'F的法向量，通过用空间向量求平面间的夹角的方法，利用向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．
20．【答案】（1）证明：∵ ， ， ，∴ 平面 ，
∵ 是平行四边形，∴ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）解：连接 ．
∵ ， ， 两两互相垂直， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，∴ ．
又由（Ⅰ）知 平面 ，
∴ ，∴ ．
设 到平面 的距离为 ，所以由 ，得 ，
所以 ，即 到平面 的距离为 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）由已知条件可得线面垂直，进而得面面垂直.
（2）利用等体积转换可得所求的高.
21．【答案】（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，又BC 平面ABC，
∴A1A⊥BC
∵AD⊥平面A1BC，且BC 平面A1BC，
∴AD⊥BC．又AA1 平面A1AB，
AD 平面A1AB，A1A∩AD=A，
∴BC⊥平面A1AB，
又A1B 平面A1BC，
∴BC⊥A1B
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．
∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，
∴AD⊥A1B．
在Rt△ABD中， ，AB=BC=2，
= ，∠ABD=60°，
在Rt△ABA1中，AA =AB tan60 =2
由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB 平面A1AB，
从而BC⊥AB， = AB BC= 2 2=2．
∵P为AC的中点， = S =1
= =
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）本题利用三棱柱中线面垂直的性质证出线线垂直。
（2）本题根据直三棱柱的结构特征由线面垂直的性质证出线线垂直，在结合直角三角形的结构特征利用正弦值和正切值求出相关的边和角的值最后利用等体积法结合三棱锥体积公式求出三棱锥 的体积.
22．【答案】（1）证明：连结 ， 是正方形，所以 ，
在正方体 中， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以
（2）解：当 时，直线 平面 .证明如下：过点 在平面 作 交 于点 ，连结 ，交 于点 ，因为 ，所以 ，在 与 中， ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
在正方体 中， 面 ，所以 面 ，所以 ，又 ，所以 面 ，所以 ，又 ， ，所以直线 平面
（3）解：
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）先用线面垂直的判定定理证得 B1D1⊥ 平面 A1C1C，再由线面垂直性质定理得到答案。
（2）过点 F 在平面 BCC1B1作 F G / / BC，由全等三角形的判定得到 ΔA1B1G Δ B1BE，由角之间的计算得到A1G ⊥ B1E ，最后由线面垂直的判定定理证得答案。
（3）简单计算直接得到答案。
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