2021-2022学年湘教版数学九年级上册4.4 解直角三角形的应用-2 同步课件（17张PPT）

第四章 锐角三角函数
4．4 解直角三角形的应用
第2课时 与坡度、方向角有关的实际问题
2.两锐角之间的关系呢?
∠A＋∠B＝90°
1.三边之间的关系是什么？
????2+????2=????2
?
A
B
a
b
c
C
在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
3.边角之间的关系呢？
sin????=∠????的对边斜边=????????
?
cos????=∠????的邻边斜边=????????
?
tan????=∠????的对边∠????的邻边=????????
?
A
B
a
b
c
C
在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
如图4-18， 从山脚到山顶有两条路AB与BD， 问哪条路比较陡？
右边的路BD陡些．如何用数量来刻画哪条路陡呢？
在图4-19 中， ∠BAC 叫作坡角．
坡角：坡面与地平面的夹角α叫坡角．
坡度(坡比): 如图，坡面的高度h 和 水平距离l 的比
叫坡度(或坡比)，用字母i表示， 即
????=????????????????=?????
?
（坡度通常写成1 ∶ m的形式）．
坡度越大，山坡越陡．
B
C
A
例1 如图4-20， 一山坡的坡度为i = 1∶2 . 小刚从山脚A 出发， 沿山坡向上走了240 m 到达点C. 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？ （角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m）
●
●
B
C
A
●
●
分析：在直角三角形ABC中，已知了坡度即角α的正切可求出坡角α，然后用α的正弦求出对边BC的长.
解：用α 表示坡角的大小， 由题意可得
，
因此α ≈26.57°.
在Rt△ABC中，
∠B =90°， ∠A = 26.57°， AC =240 ，
因此
从而BC = 240 ×sin 26.57°≈107.3（ｍ）．
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m．
????????????????=12=0.5
?
????????????????=????????????????=????????240.
?
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图中数据求坡角a和β;
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
解：在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan????=????????????????=????=1：1.5
?
????≈33.7?
?
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tan????=????????????????=????=1:3
?
????≈18.4?
?
B
A
D
F
E
C
6m
α
β
i=1:3
i=1:1.5
例2 如图4-21， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
分析：在两个直角三角形中，分别利用300 、 600角的正切，用同一个参量x表示出AD 、 BD的长，进而用方程思想求解.
解:作CD⊥AB， 交AB延长线于点D． 设CD = x.
在Rt△ACD中，
∵????????????∠????????????=????????????????,∴????????=????????????????????∠????????????=????????????????300.同理，在????????????????????????中，????????=????????????????????∠????????????=????????????????600.∵????????=?????????????????,∴????????????????300?????????????????600=40.解得????????=203又203≈34.64>30.
?
因此，该船能继续安全地向东航行．
100
1.什么是坡比？
2.东北方向指北偏东多少度？
3.说说利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么？
（1）将实际问题抽象为数学问题
（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案,从而得到实际问题的答案.