2021-2022学年湘教版数学九年级上册2.2.1一元二次方程的解法：配方法 同步课件（含2课时，共23张PPT）

第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法：配方法
第一课时 利用平方根的意义直接开平方法解一元二次方程
因式分解的完全平方公式
1
4
它们之间有什么关系？
都加了一次项系数一半的平方
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如果一个方程通过整理可以使右边为0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程。
其中a， b， c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
它的一般形式是
ax 2＋ bx＋ c＝ ０ （a ，b，c 是已知数， a ≠０），
在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项。
一元二次方程概念
如何解本章2.1节“动脑筋” 中的方程①呢？
x2- 2500 = 0
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
把方程①写成
x2 = 2500.
这表明x是2500的平方根， 根据平方根的意义， 得
????=2500
?
或
????=?2500
?
因此， 原方程的解为
x1 = 50， x2 = -50.
对于实际问题中的方程①而言， x2 = -50 不合题意， 应当舍去．
而x1 = 50符合题意， 因此该圆的半径为50 cm.
例1 解方程： 4x 2 -25= 0.
解 原方程可化为：
根据平方根的意义，得
因此，原方程的根为：
如何解方程(1 + x)2＝ 81？
是否可以把(1 + x)2看作一个整体呢？
若把1 + x看作一个整体，
则由(1 + x)2 ＝ 81，
得1 + x＝81或1 + x＝ －81 ，
即1 + x＝ 9或1 + x＝ －9．
解得x1＝ 8， x2＝ - 10 .
例2 解方程： (2x + 1 )2 = 2.
解 根据平方根的意义， 得
2x + 1 =
2
?
或
2x + 1 =
?2
?
因此， 原方程的根为
????=2?12
?
????=?2+12
?
，
通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.
解方程：
9x2 - 49 = 0
(x + 3)2- 36 = 0
36 - x2 = 0
9(1 - 2x )2 - 16 = 0
1、本节课主要学习了利用平方根的意义直接开平方法解一元二次方程
2、解一元二次方程的本质就是——“降次”，把二次方程分解为两个一次方程
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法：配方法
第二课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
根据平方根的意义， 来解一元二次方程。
通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.
解方程 (x +1)2＝ 81
把(1 + x)2看作一个整体
解得x1＝ 8， x2＝ - 10 .
（1） ( a ± b )2＝ ；
（2） 把完全平方公式从右到左地使用， 在下列各题中， 填上适当的数，使等式成立：
① x2 + 6x + ＝ ( x+ )2；
② x2 - 6x + ＝ ( x - )2；
③ x2 + 6x +5 = x2 + 6x + - + 5 = (x + )2- .
a 2＋ 2ab＋b2
9
3
3
9
9
9
3
4
③式就是把式子写成(x + n)2 +d的形式，其中n等于一次项系数的一半
解方程： x2+ 4x = 12. ①
我们已经知道， 如果能把方程①写成
(x + n)2 = d（d≥0）的形式，
那么就可以根据平方根的意义来求解.
x2 + 4x
= x2 + 4x + -
= (x + )2 - 4
22
22
2
可以将“2”换成其他数的平方吗？
x2 + 4x + 22 - 22 = 12，
目的是把左边化成(x + n)2的形式
因此， 有
x2 + 4x + 22 = 22 + 12.
即 (x + 2 )2 = 16.
根据平方根的意义， 得
x + 2 = 4 或 x + 2 = -4.
解得
x1 =2， x2 = -6
一般地， 像上面这样， 在方程x2 + 4x = 12 的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．
配方法是为了直接使用平方根的意义，从而把一元二次方程转换成两个一元一次方程来求解。
配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．
例3 用配方法解下列方程
（1） x2 + 10x + 9 = 0；
（2） x2 - 12x - 13 = 0；
（1） x2 + 10x + 9 = 0；
解：
配方，得
（2） x2 - 12x - 13 = 0；
解：
配方，得
1、填空：
1、 x2 + 4x +1 = x2 + 4x + - + 1 = (x + )2- .
2、 x2 - 8x - 9 = x2 - 8x + - - 9 = (x - )2- .
3、 x2 + 3x - 4 = x2 + 3x + - - 4 = (x + )2- .
4
4
2
3
16
16
4
25
?
?
?
?
2、用配方法解下列方程
（1） x2 + 4x + 3= 0；
（2） x2 + 8x - 9 = 0；
（3） x2 + 8x - 2 = 0；
（4） x2 - 5x - 6 = 0；
x1＝ -1，或 x2＝ - 3 .
x1＝ 1，或 x2＝ -9 .
?
x1＝ 6，或 x2＝ - 1 .
1、本节课主要学习了如何进行二次方程的配方
2、利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程