2021-2022学年湘教版数学九年级上册2.2.3第一课时 因式分解法解一元二次方程 同步课件（17张PPT）

第二章 一元二次方程
2.2一元二次方程的解法
第一课时 因式分解法解一元二次方程
一元二次方程
????????2+????????+????=0
?
（a≠0）
在b2-4ac≥0时，它的根为
?????=?????±????2?4????????2????
?
(b2-4ac≥0)
我们通常把这个式子叫作一元二次方程

的求根公式.
????????2+????????+????=0
?
（a≠0）
1.变形:化已知方程为一般形式，（ ax2+bx+c=0(a≠0) ）
包括移项、合并同类项等;
3.计算: ?=b2-4ac的值;
?>0，?两个不相等的实根；
?=0，?两个相等的实根；
?<0，?无实根
?
4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
?????=?????±????2?4????????2????
?
(b2-4ac≥0)
问题1：什么叫做分解因式？因式分解的方法有哪些？
因式分解主要方法:
(1)提取公因式法
(2)公式法: 平方差公式 a2－b2=(a + b) (a－b)
完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
问题2：
请你试利用因式分解的方法解下列方程，
并说明你的解法的依据是什么？
例1 解方程：
????2?3????=0
?
例1 解方程：
????2?3????=0
?
上面这样的方程可以用什么方法来解呢？
这个方程可以用公式法来解，也可以用配方法来解。
1、用配方法时，一次项系数的一半是个分数，计算比较麻烦。
再想一想还有没有更简单的方法呢？
2、公式法相对简单些，而且c等于0。
像上面这样， 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
例1 解方程：
????2?3????=0
?
观察这个方程的左侧，发现可以因式分解为x(x-3)，所以原方程可化为：x(x-3)=0
x(x-3)=0
若a·b=0，则a=0或b=0
x=0 或 x-3=0
即 x1=0， x2=3.
利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.
练习 用因式分解法解下列方程：
（1） x (x – 5 ) = 3x ；
（2） 2x( 5x – 1) = 3( 5x – 1)；
（3） (35－2x )2 – 900 = 0.
解：把方程因式分解， 得
x （ x - 8 ） = 0，
由此得 x = 0 或 x - 8 = 0.
解得 x1 = 0 ， x2 = 8.
（1） x (x – 5 ) = 3x
（2） 2x( 5x – 1) = 3( 5x – 1)
解：原方程可化为
2x (5x – 1) – 3( 5x – 1) = 0，
把方程左边因式分解， 得
(5x – 1)( 2x – 3) = 0，
由此得 5x - 1 = 0或2x - 3 = 0.
解得 x1 = , x2 =
15
?
32
?
（3） (35－2x )2 – 900 = 0
解: 原方程可化为
(35 - 2x )2 - 302 = 0.
把方程左边因式分解， 得
(35－2x + 30)(35 - 2x – 30) = 0.
由此得 65 - 2x = 0 或 5 - 2x = 0.
解得 x1 = 32.5， x2 = 2.5.
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1 、方程右边化为 .
2 、将方程左边分解成两个 的乘积.
3 、至少 因式为零，得到两个一元一次方程.
4 、两个 就是原方程的解.
零
一次因式
有一个
一元一次方程的解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0
( )( )=0
=0 或 =0
∴ x1= ， x2=
一次因式A
一次因式A
一次因式B
一次因式B
B解
A解

例 用因式分解法解下列方程：
x2 - 10x + 24 = 0.
解 配方， 得x2 - 10x + 52 - 52 + 24 = 0，
因而 (x - 5 )2 - 12 = 0，
把方程左边因式分解， 得
(x - 5 + 1 )( x - 5 – 1) = 0，
即 (x – 4)(x – 6) = 0，
由此得 x - 4 = 0 或 x - 6 = 0.
解得 x1 = 4， x2 = 6.
从例可以看出， 我们能把方程
x2 - 10x + 24 = 0
的左边因式分解后， 写成
x2 - 10x + 24 = (x - 4 )(x – 6)= 0，
则4和６就是原方程的两个根.
一般地， 若我们能把方程x2 + bx + c = 0的
左边进行因式分解后， 写成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0，
则 d 和 h 就是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根.
反过来，如果 d 和 h 是方程
x2 + bx + c = 0
的两个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0，
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解.
1.因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？
2. 利用因式分解法解一元二次方程的主要步骤有哪些？
3.解一元二次方程的方法：
直接开平方法　 配方法 　公式法 因式分解法