2021-2022学年九年级数学湘教版上册2.1《一元二次方程》同步课件（17张PPT）

第二章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
什么是方程？什么是方程的解（或根）？
答：含有未知数的等式叫做方程。
使方程两边成立的未知数的值叫做方程的解。
曾学过哪些方程？
分式方程，一元一次方程，二元一次方程。
什么叫做一元一次方程？
（1） 如图2-1 所示， 已知一矩形的长为200 cm， 宽为150 cm. 现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 . 求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）；
要建立方程， 关键是找出问题中的等量关系.
问题（1）涉及的等量关系是：
矩形的面积-圆的面积=矩形的面积× 34 .
?
由于圆的半径为x cm， 则它的面积为3x2 cm2．
根据等量关系， 可以列出方程
200 × 150 - 3x2 ＝ 200 × 150 × 34??? ．
?
化简， 整理得
x2 - 2500 ＝ ０．
①
问题（2）涉及的等量关系分别是：
化简， 整理得
（2） 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
根据等量关系， 可以列出方程
75 (1 + x )2 = 108.
25x2 + 50x - 11 ＝ 0．
②
（2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量× (1 +年平均增长率)2.
方程①②中有几个未知数？
它们的左边是x的几次多项式？
x2 - 2500 =０
①
25x2 + 50x – 11=0．
②
回忆一元一次方程的概念，以上的方程①②是一元一次方程么？若不是那么它们又是什么方程呢？
这两个方程有什么相同的特点?
共同点:
观察所列方程
具有以上三个特点的方程称为一元二次方程
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)
x2 - 2500 =０
①
25x2 + 50x – 11=0．
②
(2)只含有一个未知数;
(3)未知数最高次数为2次
(1)两边都是整式;
如果一个方程通过整理可以使右边为0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程。
其中a， b， c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
它的一般形式是
ax 2＋ bx＋ c＝ ０ （a ，b，c 是已知数， a ≠０），
在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项。
一元二次方程概念
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9 ( ) ②2(x-1)=3x ( )
③2x2-3x-1=0 ( ) ④ 1????2?2????=0 ( )
⑤2xy-7=0 ( ) ⑥9x2=5-4x ( )
⑦4x2=5x ( ) ⑧3y2+4=5y ( )
?
√
√
√
√
×
×
×
√
( )
2?????????3=2????2+1
?
⑨
×
例 下列方程是否为一元二次方程？ 若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1） 3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2)
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.
根据一元二次方程的概念，以上的方程都需要进行整理，使右边为0，再根据左边的式子进行判断.
（1） 3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2)
去括号， 得
3x - 3x2 + 10 = 2x + 4.
移项， 合并同类项， 得
- 3x2 + x + 6 = 0，
这是一元二次方程，
二次项系数是-3，
一次项系数是1，
常数项是6.
思考：
可以写成3x2 - x -6 = 0 吗？
那么各项系数又是多少？
常数项是多少呢？
去括号， 得
移项， 合并同类项， 得
这是一元一次方程， 不是一元二次方程.
（2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4.
5x2 + 5x + 7 = 5x2 - 4.
5x + 11 = 0，
请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来：
2x2+ 5x = x2- 3
(x + 1)2- 1 = x2+ 4
3x + 5 = 2x - 1
1?????2=3????
?
一元一次方程
一元二次方程
分式方程
2
-1
-3
1 　
-7
3
3
0
2
一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数字比十位数字大3,设这个数的个位数字为x,可列出关于x的方程为　　　　　　　　　　 .

10(x-3)+x=x2
根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一元二次方程的一般形式.
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边的长相差2,求较长的直角边的长x.

解:(1)依题意,得4x2=25.化为一元二次方程的一般形式,得4x2-25=0.
(2)依题意,得x(x-2)=100.化为一元二次方程的一般形式,得x2-2x-100=0.
(3)依题意,得x2+(x-2)2=102.化为一元二次方程的一般形式,得2x2-4x-96=0.
1.回顾一元二次方程 概念的学习过程，我们更深入的理解了何为“元”、“次”。
2.一元二次方程的概念中重点强调了哪些内容？