2021-2022学年九年级数学湘教版上册2.5《一元二次方程的应用》第2课时图形面积问题---同步课件（19张PPT）

第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的应用
第2课时　图形面积问题
一元二次方程标准形式：
????????2+????????+????=0
?
（a≠0）
在b2-4ac≥0时，它的根为
?????=?????±????2?4????????2????
?
(b2-4ac≥0)
设一元二次方程 的两根为x1与x2.
ax2+bx+c=0
?
（a≠0）
则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，可写为a(x-x1) (x-x2)
对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ≥0时，设方程的两根为 x1与 x2，则 x1＋x2＝__________，x1·x2＝__________，这个关系定理通常被称为______________．
韦达定理
1.审题,找出问题中的等量关系
2.根据题意，设未知数
3.把等量关系转换成一元二次方程
4.选取适当的方法解方程
5.根据题意对求出的根的实际意义进行检验
6.答题
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
审
设
列
解
验
答
例3 如图2-2，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长.
底面长×宽 = 底面积
你能找出问题中涉及的等量关系吗？

若设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm，根据等量关系你能列出方程吗？
解得 x1=27，x2=7 ．
因此
原方程可以写成 x2-34x+189=0.
这里 a=1，b=-34，c=189，
b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189
= 4(172-189)=4×(289-189)=400，
(40-2x)(28-2x)=364
接下来请你解出此一元二次方程
两个根都符合题意吗？
解：
如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了矩形铁皮的长40 cm. 因此 x1=27不合题意，应当舍去．
答：截去的小正方形的边长为7 cm．
检验：
例4 如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m?，求道路的宽.
分析：虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算。
分析 ：若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新的矩形了，
问题中涉及的等量关系是什么？
矩形面积=矩形的长×矩形的宽
若设道路宽为x m，则新矩形的边长为(32-x)m，宽为(20-x)m，根据等量关系你能列出方程吗？
(32-x)(20-x)=540
整理，得 x?-52x+100=0
解得 x1=2 , x2=50
又要问自己一个问题：两个根都符合题意吗？
检验：x2=50＞32 ，不符合题意，舍去，故 x=2.
答：道路的宽为2米.
例5 如图2-6所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm? ？
问题中涉及的等量关系是什么？
两直角边的乘积的一半 = 直角三角形的面积
S△PCQ= 12 PC×CQ
?

你能根据等量关系列出方程吗？
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
若设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm?
整理，得
解得 x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm?.
解：
如图， 在长为100m、宽为80m 的矩形地面上要修建两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分进行绿化．若要使绿化面积为7644 m2，则路宽应为多少米？
100m
80m
解：
设修建的路宽应为x米，则根据题意得
化简，得
解得
（不合题意，舍去）
修建的路宽应为2m.
答：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC， BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
答：点P，Q同时出发2s后可使可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
整理， 得
????2?14????+24=0.
?
12（6?????）·（8?????）=12×12×6×8.
?
则由S△PCQ= 可得
????????????????·????????
?
解得
????1=2，?????????2=12.
?
（不合题意，舍去）
解
设点P，Q 出发x秒后，可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，则根据题意得：AP=BQ=xcm，PC=（8-x）cm，CQ=（6-x）cm.
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验