3．4．1 相似三角形的判定-4同步课件-2021-2022学年湘教版数学九年级上册（共18张ppt）

第三章 图形的相似
3．4．1 相似三角形的判定
第4课时 相似三角形的判定定理三
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形．
判定相似方法一
判定相似方法二
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的三角形与原三角形相似．
A
B
C
D
E
在△ABC中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.
D
E
A
C
B
A
B
C
D
E
判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
C
A
B
A'
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相似三角形判定方法三
即：两角分别相等的两个三角形相似 .
判定定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
A
B
C
????′
?
????′
?
????′
?
如果 ????????????′????′=????????????′????′
∠A=∠A'，
?
那么 ΔABC ∽ ΔA'B'C'
即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形判定方法四
A
B
C
C'
B'
A'
是否存在三边对应成比例，两三角形相似呢？
是否存在 ΔABC ∽ ΔA'B'C'？
????′????′????????=????′????′????????=????′????′????????
?
猜想：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形_______．
相似
A
B
C
把方格纸中的△ABC的各边放大到原来的2倍，得到△A'B'C'
A'
C'
B'
△ABC与△A'B'C'相似吗？
△ABC与△A'B'C'的三边有什么数量关系？
思考：如果三角形三条边对应成比例，请验证这两个三角形是相似的.
已知：在△ABC 和△ A'B'C' 中, ????′????′????????=????′????′????????=????′????′????????
?
求证： ΔABC∽ △ A'B'C'
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC，
????????????????=????????????????=????????????????
?
∵ ????????=????′????′,∴????????????????=????′????′????????
?
又 ?????′????′????????=????′????′????????=????′????′????????
?
∴ ????????????????=????′????′????????,????????????????=????′????′????????.
?
因此?????????=????′????′,????????=????′????′.
?
∴△ ????′????′????′∽△ABC
?
∴ △ADE≌△????′????′????′
?
那么 △ABC∽△????′????′????′
?
判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
即：三边成比例的两个三角形相似.
如果 ????????????′????′=????????????′????′=????????????′????′
?
已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24
DE＝16， EF＝20， DF＝30
(2) AB=4， BC=8， AC＝10
DE＝20， EF＝16， DF＝8
(1) AB=3， BC=4， AC＝6
DE＝6， EF＝8， DF＝9
是
否
否
（大对大，小对小，中对中）
一“排”
二“算”
三“判”
将每个三角形的三边的长度按大小顺序排列
利用三边判断两个三角形是否相似的步骤
计算最长边与最长边的比,较长边与较长边的比,最短边与最短边的比
由比值是否相等判断两个三角形是否相似
【1】两个直角三角形一定相似吗？
两个等腰直角三角形呢？为什么？
1.所有的直角三角形不都相似；
2.所有的等腰直角三角形都相似.
A
B
C
D
E
F
【2】两个等腰三角形一定相似吗？
两个等边三角形呢？为什么？
1.所有的等腰三角形不都相似；
2.所有的等边三角形都相似.
依据下面的条件,判定△ABC与△A'B'C'是否相似.若相似,请给出证明;若不相似,请说明理由.
(1)AB=1,AC=1.5,BC=2,A'B'=12,A'C'=8,C'B'=16;
(2)BC=2,AC=3,AB=4,B'C'=2,A'C'=3,A'B'=2.
?
解:(1)相似.
∵????????????′????′ = 18 , ????????????′????′ = 1.512 = 18 ,
????????????′????′ = 216 = 18 ,
∴????????????′????′ = ????????????′????′ = ????????????′????′ ,
∴△ABC∽△A'C'B'.
?
(2)不相似.
将△ABC 的三边从小到大排列为
BC=2，AC=3，AB=4，
将△A'B'C' 的三边从小到大排列为
B‘C’=2，A‘C’=3，A'B'=2.
∵????????????′????′ = 22 = 2 , ????????????′????′ = 33 = 3,
????????????′????′=42=2,∴????????????′????′ ≠ ????????????′????′ ≠ ????????????′????′.
∴△ABC与△A'B'C'不相似.
?
∵????????????????=????????????????=????????????????,
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-
∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°,∴∠CAE=20°.
?
如图,在△ABC和△ADE，ABAD=BCDE=ACAE，∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
解：
相似三角形的判定定理中,
预备定理(平行截相似)与判定定理1(两角分别相等判定相似)运用最广,
其次是判定定理2(两边成比例,夹角相等判定相似),
相比之下,判定定理3(三边成比例判定相似)用得较少.?
在找三角形相似的条件时,
优先考虑角相等或平行关系,
其次考虑边成比例.