3.4.2 相似三角形的性质-1---同步课件 2021-2022学年九年级数学湘教版上册（共20张ppt）

第三章 图形的相似
3．4．2 相似三角形的性质
第1课时 与相似三角形的三线有关的性质
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形．
判定相似方法一
判定相似方法二
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
截得的三角形与原三角形相似．
A
B
C
D
E
在△ABC中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.
D
E
A
C
B
A
B
C
D
E
判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
C
A
B
A'
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
相似三角形判定方法三
即：两角分别相等的两个三角形相似 .
判定定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
A
B
C
????′
?
????′
?
????′
?
如果 ????????????′????′=????????????′????′
∠A=∠A'，
?
那么 ΔABC ∽ ΔA'B'C'
即：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形判定方法四
判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
A
B
C
????′
?
????′
?
????′
?
如果 ????????????′????′=????????????′????′ = ????????????′????′
?
那么 ΔABC ∽ ΔA'B'C'
即：三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形判定方法五
1.所有的直角三角形不都相似；
2.所有的等腰直角三角形都相似.
1.所有的等腰三角形不都相似；
2.所有的等边三角形都相似.
两句话
全等三角形与相似三角形性质比较
全等三角形
相似三角形
对应边的比等于相似比
对应角相等
周长……?
面积……?
对应高……?
对应中线……?
对应角平分线……?
对应边相等
对应角相等
周长相等
面积相等
对应高相等
对应中线相等
对应角平分线相等
∵△A?B?C?∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B．
又∵ ∠A ′ D ′ B ′ =∠ADB =90°，
∴△ A ′ B ′ D′ ∽△ABD. (两角对应相等的两个三角形相似)
从而????′????′?????????=?????′????′????????=k
?
(相似三角形的对应边成比例)
那么 ????′????′?????????=?????′????′????????吗？
?
D′
C′
D
A
B
A′
B′
┓
┓
分别作BC，B??????上的高AD，??????????．
?
问题4 ：若△???????????????∽ △ABC，相似比为k，
那么它们的周长比是多少？面积比是多少？
?
相似三角形对应高的比等于相似比.
D'
A'
B'
C'
D
A
B
C
那么
????????????′????′=?
?
问题2：AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，设相似比为k
你能有条理地表达理由吗？
如图,△ ????′????′????′?∽△ABC， AD， ????′????′分别为角平分线.
求证:
?
????′????′?????????=?????′????′????????.
?
D'
A'
B'
C'
D
A
B
C
证明∵△ ????′????′????′?∽△ABC，
?
∴ ∠B′= ∠B， ∠ B ′ A ′ C ′ = ∠BAC ．
又AD， A ′ D ′分别为角平分线
∴△ A′B′D′∽△ABD.
从而????′????′?????????=?????′????′????????.
?
∴ ∠BAD= 12∠BAC
= 12?∠ B′A′C′= ∠B′A′D．
?
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
那么
????????????′????′=?
?
问题3：AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，设相似比为k,
你能证明吗？
D
A
B
D'
A'
B'
C'
如图,△????′????′????′∽△ABC， AD，????′????′分别为三角形的中线.
求证:????′????′?????????=?????′????′????????.
?
证明：
参考角平分线的证明过程，请同学们自己完成
D
A
B
D'
A'
B'
C'
C
相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
1.已知△ABC∽△A'B'C'，AD、A 'D '分别是对应边BC、B 'C '上的高，若BC＝8cm, B 'C '＝6cm,AD＝4cm,则A 'D ' 等于（ ）
A. 16cm B. 12 cm C. 3 cm D. 6 cm
2.两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（ ）
A . 7∶3 B. 49∶9 C. 9∶49 D. 3∶7
C
D
例1：CD是Rt△ABC斜边AB上的高， DE ⊥ AC 垂足为点E.已知CD=2，AB=833，AC=4,求DE的长.
?
A
B
D
C
E
解：在Rt△????′????′????′?与 Rt △ACD中，
?
∵ ∠A= ∠A， ∠ ACB = ∠ADC=90 ° ．
∴△ ABC∽△ACD.
又 CD=2 ， AB=833? ，AC=4，
?
又CD，DE分别为它们的斜边上的高
∴ ?????????????????=?????????????????.
?
∴ DE=3
?
如图,△ABC∽△DEF,AG,DH 分别是△ABC和△DEF的角平分线,BC=6 cm,EF=4 cm,AG=4 cm,
求DH 的长.
解 : ∵△ABC∽△DEF,BC=6cm,EF=4cm,
故????????????????=64=32,
∴ △ABC与△DEF的相似比等于32,
∴ ????????????????=32(相似三角形对应角平分线的比等于相似比).
又 ∵ AG=4 cm,
∴ DH=4×23=83(cm).
?
(1)相似三角形对应高的比等于　　　　.?
(2)相似三角形对应的角平分线的比等于　　　　.?
(3)相似三角形对应边上的中线的比等于　　　　.?
相似三角形的性质
　相似比
　相似比
　相似比