2021-2022学年湘教版数学八年级上册2.2第2课时定理、基本事实---同步课件（23张PPT）

第二章 三角形
2.2 第2课时　定理、基本事实
情景引入
下列命题哪些正确？哪些错误？
（1），（2）（3）是错的，
（4）是正确的.
（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数， 那么a是整数.
（3）同位角相等； （4）同角的补角相等.
我们把正确的命题称为真命题
把错误的命题称为假命题
获取新知
判断下列命题是真命题还是假命题
(1)相等的角是对顶角
(2)内错角相等
(3)大于90度的角是平角
(4)如果a>b，b>c，那么a>c
真命题
假命题
假命题
假命题
例题讲解
1、同旁内角互补，两直线平行.
2、如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
假
3、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.
假
说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.
获取新知
像此例那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
解 如果a是整数，根据有理数的定义：
“整数和分数统称为有理数”，得出a是实数.
因此命题(1)为真．
像此例那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.
（2）如果a是有理数，那么a是整数
解 0.5是有理数，
因此命题(2)为假．
但是0.5不是整数.
判断下列命题为真命题是根据什么呢？
说一说
是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断．
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
（2）如果三角形ABCD是等边三角形，那么它是等腰三角形．
获取新知
从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.
对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。
有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
欧几里得
结论
小知识
欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫《原本》.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系．
（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.)
举例： 本书中常用的基本事实：
过两点有且只有一条直线.
（2）
两点之间，线段最短.
（1）
（3）
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
举例： 定理：
同角或等角的补角相等.
（2）余角的性质：
同角或等角的余角相等.
（4）垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（1）补角的性质：
（3）对顶角的性质：
对顶角相等
②垂线段最短.
内错角相等，两直线平行.
（5）平行线的判定定理：
定理也可以作为判断其他命题真假的依据,由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
在图2-15 中， 外角∠ACD 和与它不相邻的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？
根据三角形内角和定理：
∠ACD +∠ACB = 180°，∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0 （等量减等量， 差相等）.
于是∠ACD =∠A +∠B.
平行线的性质定理Ｉ
两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线 平行，那么同位角相等．
平行线的基本事实Ｉ
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
上述这两个定理是不是互逆的命题？
1
2
1
2
结论
如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.
例如：
平行线的基本事实Ｉ是平行线的性质定理Ⅰ的逆定理．
下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来．
两条直线被第三条直线所截，如果这两直线平行，那么内错角相等；
答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行；
1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？ 请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0；
答：真命题
（2）相等的角是对顶角；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，
那么a∥b.
答：假命题
答：假命题
答：真命题
随堂演练
2. 举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；
（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.
答：直角三角形的两个锐角和不是钝角
答：-1和-3的积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数.
答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截，它们的同位角不相等
3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，
而且都是真命题.
答：两直线平行，内错角相等。
内错角相等，两直线平行。
① 题同位角相等是在两直线平行的前提下才有，
所以它是错的；
解
4.下列四个命题中是真命题的有（ ）.
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
C
② 题相等的角并不一定是对顶角；
③ 题正确；
④ 题正确.
课堂小结
证明
1. 说明一个命题是真命题的方法：
举反例
2. 说明一个命题是假命题的方法：
3. 基本事实、定理、互逆定理.