22.1.2二次函数y=ax2 的图像和性质 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
22.1.2二次函数
的图像和性质
人教版
九年级上
教学目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax?的图象，概括图象的特点.（难点）
3.掌握二次函数y=ax?的图象和性质，并会应用.（难点）
回顾旧知
1、什么是二次函数？
一般地，形如y=ax?+bx+c(a，b，c是常数，a≠
0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2、如何用描点法画一个函数的图象？
①_______②______③用平滑的______连接起来.
列表
描点
曲线
下面我们类比研究一次函数的图象、正比例函数的图象特征来探究二次函数的图象何特征?
情境导入
如此优美的弧度怎样用数学规律来描述呢?
它与二次函数有何联系？下面我们一起来研究。
合作探究
画二次函数y=x2的图象
x
…
0
…
y
…
…
-1
-3
-2
1
2
3
①列表：
1
9
4
1
4
9
0
②描点：
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
③连线：
对称轴是y轴
这是抛物线的顶点
轴对称图形
这是一条抛物线
探究一：二次函数y=ax2(a
＞
0)的图象和性质
合作探究
议一议：
1、请同学们观察y=x2的图象的性质，然后分组探讨。
1.y＝x2是一条抛物线；
5.图象有最低点．
4.顶点（
0
，0
）；
3.图象关于y轴对称；
2.图象开口向上；
y=x2
x
O
y
合作探究
议一议：
2、观察二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化？
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
O
典例精析
解：列表如下.
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
例1
在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
典例精析
-2
2
2
4
6
4
-4
8
描点、连线，如图所示：
合作探究
-2
2
2
4
6
4
-4
8
思考1：（1）函数
的图象与函数
的图象
相比，有什么共同点和不同点？
（2）当a＞0时，二次函数y
=
ax2的图象有什么特点？
合作探究
对于抛物线
y
=
ax2
（a＞0）
抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小;当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
要点归纳：
相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是
y
轴；当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
不同点：a
要越大，抛物线的开口越小。
合作探究
探究二：二次函数y=ax2(a
＜
0)的图象和性质
在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
解：列表如下.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
　
　
　
　
　
　
…　
-9
-4
-1
0　
-1
-9
-4
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
合作探究
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
描点、连线，如图所示：
合作探究
思考2：（1）从函数
的图象，考虑这
些抛物线有什么相同点和不同点.
（2）当a＜0时，二次函数y
=
ax2的图象有什么特点？
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
合作探究
对于抛物线
y
=
ax2
（a
＜
0）
抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小;当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
要点归纳：
相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是
y
轴；当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
不同点：a
要越小，抛物线的开口越小。
归纳总结
y＝ax2
a>0
a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
小试牛刀
③.函数y=
x2的图象的开口
，对称轴是
，
顶点是
，顶点是抛物线的最
点；
②.函数y=－2x2的图象的开口
，对称轴是
，顶点是
，顶点是抛物线的最
点；
①.函数y=6x2的图象的开口
，对称轴是
，顶点是
；
向上
向下
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
④.函数y=
－
x2的图象的开口
，对称轴是____，顶点是
.
向上
y轴
(0，0)
向下
y轴
(0，0)
高
低
1、填空：
合作探究
思考3：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，
开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
y=-ax2
小试牛刀
　2、
抛物线　　　
，其对称轴左侧，y
随
x
的增大而
；
在对称轴的右侧，y
随
x
的增大而
．
增大
减小
3、如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②
y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为
______________。
a＞b＞d＞c
综合演练
1.抛物线y=
x2，y=-3x2，y=-4x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　）
A．y=
x2
B．y=-3x2
C．y=-4x2
D．y=2x2
A
2.如图，函数y=﹣ax2和y=ax+b在同一直角坐标系中的图象可能为（　）
A．
B．
C．
D．
D
综合演练
3.二次函数y=（k-2）x2的图象如图所示，则k的取值范围为_
_____________．
K＞2
x
y
O
4.若抛物线y=ax2
(a
≠
0)，过点(-2，4).
（1）则a的值是
；
（2）对称轴是
，开口
.
（3）顶点坐标是
，顶点是抛物线上的最
点
.
抛物线在x轴的
方（除顶点外）.
（4）若A(x1
,
y1)，B(x2
,
y2)在这条抛物线上，且x1则y1
y2.
1
y轴
向上
（0，0）
低
上
>
综合演练
5、已知二次函数y=-x2．
（1）判断点A（2，-4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（3）点B、C、D在二次函数y=-x2的图象上吗？在二次函数y=x2的图象上吗？
解：（1）当x=2时，y=-x2=-4，所以A（2，-4）在二次函数图象
上；
综合演练
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，4），点A关于y轴的对
称点C的坐标为（-2，-4），点A关于原点O的对称点D的坐标
为（-2，4）；
（3）当x=2时，y=-x2=-4，所以点B不在二次函数y=-x2的图象上；
当x=-2时，y=-x2=-4，所以点C在二次函数y=-x2的图象上；
当x=-2时，y=-x2=-4，所以点D不在二次函数y=-x2的图象上．
当x=2时，y=x2=4，所以点B在二次函数y=x2的图象上；
当x=-2时，y=x2=4，所以点C不在二次函数y=x2的图象上；
当x=-2时，y=x2=4，所以点D在二次函数y=x2的图象上．
综合演练
6.已知二次函数y=3x2，若x≥a时，y最小值为0，求实数a的取值范围．
解：∵二次函数y=3x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥a时，y最小值=0，
∴a≤0．
能力提升
7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得
解得
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝
·CO·4＝8，S△BOC＝
×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
B
课堂总结
分别从函数的开口方向、开口大小、顶点、对称轴、最值、增减性这六方面谈谈你对函数y=ax2的收获。
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题22.1
P41页：3、4
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