河北省张家口市宣化县2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

11404600103759002020-2021学年下学期宣化高二数学
期中试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1．设false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢与不喜欢两种态度）与性别的关系，运用false列联表进行独立性检验，计算得false，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关”的把握约为（ ）
false
0.10
0.05
0.25
0.010
0.005
0.0013
false
2.706
3.8413
5.024
6.635
7.879
10.828
A．0.1% B．1% C．99.5% D．99.9%
3．若6把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知两变量false和false的一组观测值如表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为false，则false（ ）
false
2
3
4
false
5
4
6
A．false B．false C．false D．false
5．由2，3，5，0组成的没有重复数字的四位偶数的个数是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．14
6．false在false处有极小值，则常数false的值为（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．1
7．已知false是定义在false上的奇函数，且对任意false总有false，则false的值为（ ）
A．3 B．0 C．false D．false
8．若函数false与函数false两条公切线，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A．false与false B．false与false
C．false与false D．false与false
10．若false，则下列不等式中正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为false
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为false
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为false
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为false
12．函数false，下列结论正确的是（ ）
A．false时，false有两个零点
B．false时，false极小值点为2
C．false时，false恒成立
D．若false只有一个零点，则false
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．false的展开式中项false的系数为______．
14．甲、乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为false和false，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为______．
15．在曲线false的所有切线中，切线斜率的最小值为______．
16．已知函数false在区间false上有四个不同的零点，则实数false的取值范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17．已知集合false，集合false．
（1）当false时，求false，false；
（2）设false，若“false”是“false”的必要不充分条件，求实数false的取值范围．
18．盒子中放有大小形状完全相同的10个球，其中4个红球，6个白球．
（1）某人从这盒子中有放回地随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率；
（2）某人从这盒子中不放回地随机抽取3个球，每抽到1个红球得红包奖励20元，每抽到1个白球得到红包奖励10元，求该人所得奖励false的分布列．
19．已知函数false．
（1）当false时，求false的单调增区间；
（2）若false在false上是增函数，求false得取值范围．
20．已知函数false．
（1）判断并证明函数false的奇偶性；
（2）判断当false时函数false的单调性，并用定义证明；
（3）若false定义域为false，解不等式false．
21．某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线false的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点false、false，交曲线于点false，设false．
（1）将false（false为坐标原点）的面积false表示成false的函数false；
（2）若在false处，false取得最小值，求此时false的值及false的最小值．

22．函数false，其中false，false为常数．
（1）若false时，讨论函数false的单调性；
（2）若false时，不等式false在false上恒成立，求实数false的取值范围；
（3）若false，当false时，试比较false与false的大小．

2020-2021学年下学期宣化高二数学
期中试卷答案和解析
1．【答案】A
【解析】解：解不等式false，得false；解不等式false，得false或false．设集合false，集合false或false．
充分性：因为false，故充分性成立；
必要性：当false或false时，false不一定成立，故必要性不成立；
综上“false”是“false”的充分不必要条件．
故选：A．
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对不等式的正确求解是解决本题的关键．
2．【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题．
根据观测值false，对照临界值表即可得出结论．
【解答】根据观测值false，
所以在犯错误的概率不超过0．005的前提下，
认为喜欢乡村音乐与性别有关，
即有99.5%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关．
故选：C．
3．【答案】A
【解析】解：若6把钥匙中只有2把能打开某锁，
从中任取2把包含的基本事件个数false，
从中任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数false，
∴任取2把能将该锁打开的概率为false．
故选：A．
从中任取2把包含的基本事件个数false，任取2把能将该锁打开包含的基本事件个数false，由此能求出任取2把能将该锁打开的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．【答案】D
【解析】解：false，false，
因为回归直线经过样本中心，所以false，
解得false，
故选：D．
求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．
本题考查回归直线方程的求法与应用，是基础题．
5．【答案】B
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，0在个位，将2、3、5安排在千位、百位、十位，有false个四位偶数，
②，2在个位，千位不能为0，可以为3或5，有2种选择，剩下2个数字安排在百位、十位，有false个四位偶数，
则有false个四位偶数，
故选：B．
根据题意，个位数字为0或2，据此分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6．【答案】A
【解析】
【分析】根据函数在false处有极小值，得到false，解出关于false的方程，再验证是否为极小值即可．本题考查了函数在某一点取得极值的条件，属于中等题．
【解答】解：∵函数false，
∴false，
又false在false处有极值，
∴false，
解得false或6，
又由函数在false处有极小值，故false，
false时，函数false在false处有极大值，
故选A．
7．【答案】B
【解析】解：根据题意，对任意false总有false，
则false，即函数是周期为6的周期函数，
则false，
又由false是定义在false上的奇函数，则false，
故false，
故选：B．
根据题意，分析可得false，即函数是周期为6的周期函数，则有false，由奇函数的性质可得答案．
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的分析，属于基础题．
8．【答案】D
【解析】解：false，false，
设与false相切的切点为false，
与曲线false相切的切点为false，false，
则有公共切线斜率为false，
又false，false，
可得false，且false，
化为false，false，
设false，false，
false，
当false时，false递增，
当false时，false递减，
则false在false处取得最小值，且为false，
由题意可得false，
解得false，即false．
故选：D．
分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到false的范围．
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9．【答案】BC
【解析】解：对于A，函数false与false的解析式不同，表示相同函数；
对于B，函数false的定义域为false，false的定义域为false，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于C，函数false的定义域为false，false的定义域为false，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于D，函数false的定义域为false，false的定义域为R，定义域不同，不是相同函数．
故选：BC．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．
本题考查了函数的定义，判断两函数是否相同的方法是看解析式和定义域是否都相同．
10．【答案】BD
【解析】解：false，则下列不等式中：false不正确；false正确；false不正确；false正确．因此BD正确．
故选：BD．
利用不等式的基本性质即可判断出正误．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．【答案】ABD
【解析】解：对于A．若任意选择三门课程，选法总数为false种，故A错误；
对于B．若物理和化学选一门，有false种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有false种选法，
若物理和化学选两门，有false种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有false种选法
由分步乘法计数原理知，总数为false种选法，故B错误；
对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为false种；所以C正确；
对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有false种选法；
②选化学，不选物理，有false种选法；
③物理与化学都选，有false种选法，
故总数为false种，故D错误．
故选：ABD．
A．若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为false种，可判断A错误；
B．若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为false种，可判断B错误；
C．若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为false种，可判断C正确；
D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．
本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题．
12．【答案】ABD
【解析】解：当false时，false，其定义域为false，
∵false，
∴false，或false，
∴false；false；
∴false在false上单调递增，在false上单调递减，
又因为false，故C错误；
且有当false时，false；当false时，false，
所以根据零点存在定理可得，此时函数false有两个零点，故A正确；
由上可得，false时，函数在false处取得极小值，故B正确；
若函数false只有一个零点，则方程false只有一个正解，
即false只有一个正解，
即false只有一个正解，即得函数false与直线false只有一个交点，
∵false，
∴false；false，
即得函数false在false上单调递增，在false上单调递减，
∴false，
又因为当false时，false；当false时，false，
∴当且仅当false时，函数false与直线false只有一个交点，故D正确．
故选：ABD．
根据函数零点的定义，借助函数导数判断函数单调性结合零点存在性定理，从而确定最后结论．
本题考查函数单调性与函数导数的关系，以及函数零点存在性定理的使用，属于中档题．
13．【答案】14
【解析】解：false，
所以展开式中含false的项的系数为：false．
故答案为：14．
把false按照二项式定理展开，可得false展开式中含false项的系数
本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用二项展开式的通项公式，是基础题目．
14．【答案】false
【解析】解：甲、乙两人参加歌唱比赛晋级的概率分别为false和false，且两人是否晋级相互独立，
则两人中恰有一人晋级的概率为：
false．
故答案为：false．
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出两人中恰有一人晋级的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
15．【答案】4
【解析】
【分析】本题考查导数的几何意义和基本不等式，要注意转化思想在解题中的应用，属于基础题．
先对函数求导数，然后利用基本不等式求最小值即可．
【解答】解：false，（当且仅当false时取等号）．
故答案为：4．
16．【答案】false
【解析】解：根据题意，要想false在false上有四个不同的零点，则
当false时和false时各自都有两个零点，
则当false时，false的两个根分别为false，false，
所以false，解得false；
同时当false时，false，则false，false，即当false，false，false单调递增，当false时，false，false单调递减，
即当false时，false在false时取得最大值false，所以false，解得false；
综上false的取值范围是false，
故答案为false．
根据题意可判断出函数在false与false时各有两个零点，分别讨论即可
本题考查根据函数零点个数求参数取值问题，涉及二次函数零点，利用导数求函数单调性等知识点，属于中档题．
17．【答案】解：（1）false时，false，集合false．
∴false，false．
（2）false时，false，false．
∵“false”是“false”的必要不充分条件，
∴false，∴false,得false．
∴实数false的取值范围是false．
【解析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（1）false时，false，集合false．利用集合运算性质即可得出．
（2）false时，false，false．根据“false”是“false”的必要不充分条件，可得false，即可得出．
18．【答案】解：（1）记至少抽到1个红球的事件为false，
法1：至少抽到1个红球的事件，分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，每次是否取得红球是相互独立的，且每次取到红球的概率均为false，
所以false．
∴至少抽到1个红球的概率为false．
法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为3次均没有取到红球（或3次均取到白球），每次取到红球的概率均为false，每次取到白球的概率均为false，
所以false，
∴至少抽到1个红球的概率为false．
（2）由题意，随机变量false可能的取值为30，40，50，60，
false，
false，
false，
false，
所以随机变量false的分布表为：
false
30
40
50
60
false
false
false
false
false
所以随机变量false的数学期望为false（元）．
【解析】（1）记至少抽到1个红球的事件为A，
法1：至少抽到1个红球的事件，分为三种情况，即抽到1个红球，抽到2个红球和抽到3个红球，利用独立重复实验概率乘法求解即可；
法2：至少抽到1个红球的事件的对立事件为3次均没有取到红球（或3次均取到白球），利用对立事件概率公式求解即可．
（2）由题意，随机变量ξ可能的取值为30，40，50，60，求出概率得到分布列，然后求解期望．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的应用，考查运算求解能力、函数与方程思想等数学核心素养，是中档题．
19．【答案】解：（1）当false时，false；
∴false，由false得，false或false，
故所求false的单调增区间为false，false；
（2）false，
∵false在false上是增函数，
∴false在false上恒成立，即false恒成立，
∵false（当且仅当false时取等号）
所以false，
当false时，易知false在false上也是增函数，
所以false．
故false的取值范围为false．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于0即可；
（2）已知false在区间false上是增函数，即false在区间false上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
20．【答案】解：（1）函数false为奇函数．
证明如下：
∵false定义域为false
又false，
∴false为奇函数
（2）函数false在false为单调递增函数．
证明如下：
任取false，
则false
false，
∵false，∴false，false，
∴false
即false
故false在false上为增函数．
（3）由（1）、（2）可得false，
∴false，
∴false，解得：false，
∴原不等式的解集为false．
【解析】（1）函数false为奇函数，利用定义法能进行证明．
（2）函数false在false为单调递增函数，利用定义法能进行证明．
（3）由false，得false，由此能求出原不等式的解集．
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
21．【答案】解：（1）∵曲线false
可得false，false．
直线false的斜率为：false，可得
false：false，
令false，可得false，可得false；
令false，可得false，可得false，
∴false；
（2）false时，false取得最小值，
false，
∴false，可得false，可得false，
此时可得false的最小值为false；
【解析】（1）求false的导函数，设出false的坐标，确定过点false的切线方程，进而可得false，false的坐标，表示出三角形的面积；
（2）把false代入false，利用导数研究false的最值问题，即可确定false（false为坐标原点）的面积的最小值；
本题考查导数知识的运用，解题的关键是确定切线方程，求出三角形的面积，利用导数法求最值，属于中档题．
22．【答案】解：（1）当false时，false，false，
∴false，
当false时，false恒成立，则false在false上单调递增，
当false时，若false，则false，函数单调递减，
若false，则false，函数单调递增，
∴false在false上单调递减，在false单调递增；
（2）∵不等式false在false上恒成立，
∴false，
设false，false，
∴false恒成立，
∴false在false上单调递增，
∴false，
∴false，即false的取值范围是false；
（3）false，false，
∴false，∴false，
设false，∴false，
当false时，false，函数false单调递增，
当false时，false，函数false单调递减，
∴false，
∴false，
∴false，
设false，
∴false，
令false，解得false，
当false时，false，函数false单调递增，
当false时，false，函数false单调递减，
∴false，
∴false．
【解析】（1）当false时，false，false，false，对false分类讨论即可得出函数的单调性；
（2）不等式false在false上恒成立，可得false，设false，false，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
（3）false，false，由false，可得false，设false，利用导数研究函数的单调性可得false，设false，利用导数研究其单调性即可判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．