3.1勾股定理同步练习2021-2022学年苏科版八年级数学上册（word版含答案）

3.1 勾股定理
一、选择题
1.如图1所示,直角三角形中未知边x的长为 (　　)
图1
A.20 B.22
C.24 D.32
2.将一个直角三角形的两直角边长同时扩大为原来的2倍,则斜边长 (　　)
A.扩大为原来的4倍 B.扩大为原来的2倍
C.不变 D.无法确定
3.如图2,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(　　)
图2
A.5 B.6
C.8 D.10
4.如图3,已知Rt△ABC中,∠C=90°.若a+b=14 cm,c=12 cm,则△ABC的面积是 (　　)
图3
A.13 cm2 B.26 cm2
C.48 cm2 D.52 cm2
5 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,小正方形的面积为9,则大正方形的边长为 (　　)
A.9 B.6
C.5 D.4
二、填空题
6.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°,若a∶b=3∶4,c=25,则a=　　　　.?
7.直角三角形的两直角边长分别为5和12,则斜边上的中线长为　　　　,斜边上的高线长为　　　　.?
8.若图4中的阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积为　　　　.?
图4
9.图5是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大的正方形E的面积是　　　　.
图5
三、解答题
10.如图6,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,BD是△ABC的高,求BD的长.
图6
11.如图7,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,在△ABE中,DE是AB边上的高,DE=12, S△ABE=60.
(1)求BC的长;
(2)求△ABC中AB边上的高.
图7
12. 如图8,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,P是AB上的动点,求PC+PD的最小值.
图8
13.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了李明灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形按如图K-23-5摆放时,可以利用“面积法”来验证勾股定理,请写出推导过程.
14如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC上一点,且AE=BC,过点A作AD⊥CA,垂足为A,且AD=AC,AB,DE交于点F.
(1)试判断线段AB与DE的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)连接BD,BE,用四边形BEAD的面积验证勾股定理.
答案
1.C　2.B　
3.C　4.A 5.C.
6.15　[解析] 设a=3x,则b=4x.
∵在Rt△ABC中,a2+b2=c2,
∴(3x)2+(4x)2=252,
解得x=5(负值已舍去),则a=3x=15.
7.132　6013　[解析] ∵直角三角形的两条直角边长分别为5,12,∴斜边长为52+122=13,∴斜边上的中线长为12×13=132.
设斜边上的高为h,则直角三角形的面积为12×5×12=12×13·h,∴h=6013.
8.36 cm2　[解析] 由题图可知正方形的边长为102-82=6(cm),∴此正方形的面积为62=36(cm2).
9.47　[解析] SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+22+32=47.
10.解:过点A作AE⊥BC于点E,则∠AEB=90°.
又∵AB=AC,
∴BE=12BC=5.
∵在Rt△AEB中,AE2=AB2-BE2=144,
∴AE=12.
∵BD是△ABC的高,
∴S△ABC=AC·BD2=BC·AE2.
∴13BD2=10×122.∴BD=12013.
11.解:(1)∵在△ABE中,DE是AB边上的高,DE=12,S△ABE=60,
∴AB·DE2=60,
即AB×122=60,解得AB=10.
又∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,
∴BC2=AB2-AC2=102-82=36,∴BC=6.
(2)设AB边上的高为h.
∵S△ABC=12AB·h=12AC·BC,
∴12×10·h=12×8×6,解得h=4.8,
即AB边上的高是4.8.
12.解:如图,过点C作CO⊥AB于点O,延长CO到点C',使OC'=OC,连接DC',交AB于点P,连接PC.
此时PC+PD=PC'+PD=C'D的值最小.
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CBA=45°.
∵BD=3,DC=1,
∴BC=4.
连接BC',由对称性可知∠C'BA=∠CBA=45°,BC'=BC=4,
∴∠CBC'=90°.
在Rt△C'BD中,根据勾股定理,得C'D2=BC'2+BD2=42+32=25.
∴C'D=5,
即PC+PD的最小值是5.
13.解:如图,连接DB,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a.
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab.
S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b-a),
∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a),
∴a2+b2=c2.
14解:(1)AB=DE,AB⊥DE.
理由:∵AD⊥CA,∠ACB=90°,
∴∠DAE=∠ACB=90°.
在△DEA和△ABC中,
AE=CB,∠DAE=∠ACB,AD=CA,
∴△DEA≌△ABC(SAS),
∴AB=DE,∠EDA=∠BAC.
∵∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠BAD=90°,
∴∠EDA+∠BAD=90°,
∴∠AFD=90°,∴AB⊥DE.
(2)∵S四边形BEAD=S△ABE+S△ABD=12AB·EF+12AB·DF=12AB·ED=12AB2,
S四边形BEAD=S△ABE+S△ABD=12AE·BC+12AD·AC=12BC2+12AC2,
∴12AB2=12BC2+12AC2,
即AB2=BC2+AC2,
则在Rt△ABC中勾股定理得证.