2021年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元综合能力提升训练(附答案)
1.下列方程中,属于一元二次方程的是( )
A.x2﹣3x+2=0 B.x2﹣xy=2 C.x2+=2 D.2(x﹣1)=x
2.第七次全国人口普查结果发布:全国人口数超14.1亿,人口老龄化严重,2019年60岁及以上人口24949万人,2021年60岁及以上人口达到26402万人,设2019年到2021年60岁及以上人口的年平均增长率为x,则根据题意列出方程( )
A.24949(1+x)2=26402 B.26402(1+x)2=24949
C.24949(1﹣x)2=26402 D.26402(1﹣x)2=24949
3.关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,则m等于( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
4.已知x=1是一元二次方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0的一个根,则m的值为( )
A.﹣1或2 B.﹣1 C.2 D.0
5.已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个实数根,则实数m的值是( )
A.0 B.1 C.﹣3 D.﹣1
6.已知α,β是方程x2+2017x+1=0的两个根,则(1+2020α+α2)(1+2020β+β2)的值为( )A.4 B.9 C.12 D.15
7.定义运算:a*b=a(1﹣b),若a、b是方程x2﹣x+m=0(m<0)的两根,则b*b﹣a*a的值为( )A.﹣1 B.0 C.1 D.与m有关
8.一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了(x+m)2=n的形式,则m、n的值应为( )
A.m=﹣2,n=7 B.m=2.n=7 C.m=﹣2,n=1 D.m=2.n=﹣7
9.新冠肺炎传染性很强,曾有2人同时患上新冠肺炎,在一天内一人平均能传染x人,经过两天传染后128人患上新冠肺炎,则x的值为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
10.如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,各彩条的宽度相等,如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一.设彩条的宽为xcm,根据题意可列方程( )
A.(20﹣2x)(30﹣2x)=20×30× B.(20﹣2x)(30﹣2x)=20×30×(1﹣)
C.(20﹣x)(30﹣x)=20×30× D.(20﹣x)(30﹣x)=20×30×(1﹣)
11.如果两个不同的方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0只有一个公共根,那么a,b满足的关系式为 .
12.若m是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一个根,则2020﹣m2+3m= .
13.用公式法解方程:2x2﹣4x﹣1=0.
14.解方程:
(1)x2+6x+4=0;
(2)x(x﹣2)+x﹣2=0.
15.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当x12﹣x22=0时,求m的值.
16.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5=0有两个实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若方程的一个实数根为4,求k的值和另一个实数根.
(3)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.
17.圆圆想买一个蓝牙耳机,家边上数码城售卖的某款蓝牙耳机,原来每只售价400元,经过连续两次降价后,现在每只售价256元.
(1)求平均每次降价的百分率;
(2)某电商平台“618”搞活动,同款蓝牙耳机原价是300元,现在7折优惠,包邮到家.同时,数码城按照前两次的平均降价率进行第三次降价.请问:圆圆选择哪种方式购买比较合算?请通过计算说明.
18.受今年疫情的影响,原材料价格上涨,为提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为60元时,每天可售出100个;若销售单价每提高10元,每天就少售出20个.已知每个电子产品的固定成本为50元.
(1)若销售单价提高20元,则平均每天可售出多少个?
(2)既要考虑公司的利润,保证公司每天可获利1600元,又要让利于消费者,这种电子产品的销售单价定为多少元合适?
19.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.
(1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元?
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?
20.2020年1月底,武汉爆发“新冠”疫情后,口罩成为家庭必需品,某口罩经销商批发了一批口罩,进货单价为每盒50元,若按每盒60元出售,则可销售80盒.现准备提价销售,经市场调研发现:每盒每提价1元,销量就会减少2盒,为保护消费者利益,物价部门规定,销售利润不能超过50%,设该口罩售价为每盒x(x>60)元.
(1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 盒;
(2)现在预算要获得1200元利润,应按每盒多少元销售?
参考答案
1.解:A、它是一元二次方程,故此选项符合题意;
B、含有两个未知数,不是一元二次方程,故此选项不合题意;
C、它是分式方程,不是整式方程,故此选项不合题意;
D、未知数次数为1,不是一元二次方程,故此选项不合题意;
故选:A.
2.解:设2019年到2021年60岁及以上人口的年平均增长率为x,根据题意,得
24949(1+x)2=26402,
故选:A.
3.解:根据题意,知,
,
解方程得:m=2.
故选:B.
4.解:把x=1代入(m﹣2)x2+4x﹣m2=0得:
m﹣2+4﹣m2=0,
﹣m2+m+2=0,
解得:m1=2,m2=﹣1,
∵(m﹣2)x2+4x﹣m2=0是一元二次方程,
∴m﹣2≠0,
∴m≠2,
∴m=﹣1,
故选:B.
5.解:根据题意,得
(2+)2﹣4×(2+)+m=0,
解得m=1;
解法二:对方程变形得:x(x﹣4)+m=0,再代入x=2+√3,得到:(+2)(﹣2)+m=0,
即m﹣1=0,m=1
故选:B.
6.解:∵α,β是方程x2+2017x+1=0的两个根,
∴α2+2017α+1=0,β2+2017β+1=0,α+β=﹣2017,αβ=1,
∴(1+2020α+α2)(1+2020β+β2)
=(1+2017α+α2+3α)(1+2017β+β2+3β)
=9αβ
=9,
故选:B.
7.解:∵a,b是方程x2﹣x+m=0(m<0)的两根,
∴a+b=1,
∴b*b﹣a*a=b(1﹣b)﹣a(1﹣a)=b(a+b﹣b)﹣a(a+b﹣a)=ab﹣ab=0.
故选:B.
8.解:∵(x+m)2=n可化为:x2+2mx+m2﹣n=0,
∴,解得:.
故选:A.
9.解:依题意得:2(1+x)2=128,
解得:x1=7,x2=﹣9(不合题意,舍去).
故选:D.
10.解:设彩条的宽度是xcm,则
(20﹣2x)(30﹣2x)=20×30×(1﹣),故选:B.
11.解:设公共根为t,
则t2+at+b=0,t2+bt+a=0,
∴(a﹣b)t=a﹣b,
∵t有唯一的值,
∴a﹣b≠0,
∴t=1,
把t=1代入x2+ax+b=0得a+b+1=0.
故答案为a+b+1=0(a≠b).
12.解:∵m是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一个根,
∴m2﹣3m+1=0,
∴m2=3m﹣1,
∴2020﹣m2+3m=2020﹣(3m﹣1)+3m
=2020﹣3m+1﹣3m
=2021.
故答案为2021.
13.解:∵a=2,b=﹣4,c=﹣1,
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×2×(﹣1)=24>0,
∴x===,
∴,.
14.解:(1)∵x2+6x=﹣4,
∴x2+6x+9=﹣4+9,即(x+3)2=5,
则x+3=±,
∴,;
(2)∵x(x﹣2)+x﹣2=0,
∴(x﹣2)(x+1)=0,
∴x﹣2=0或x+1=0,
解得x1=﹣1,x2=2.
15.解:(1)根据题意得△=(2m+1)2﹣4m2≥0,
解得m≥﹣;
(2)根据题意得x1+x2=﹣(2m+1),x1x2=m2,
∵x12﹣x22=0,
∴(x1+x2)(x1﹣x2)=0,
∴x1+x2=0或x1﹣x2=0,
即﹣(2m+1)=0或△=(2m+1)2﹣4m2=0,
解得m=﹣或m=﹣,
而m≥﹣,
∴m的值为﹣.
16.解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5=0有两个实数根,
∴△=22﹣4×1×(2k﹣5)=﹣8k+24≥0,解得k≤3,
即k的取值范围是k≤3;
(2)设方程的另一个根为m,则4+m=﹣2,解得m=﹣6,
∴2k﹣5=4×(﹣6),解得k=﹣
∴k的值为﹣,另一个根为﹣6,
(3)∵k为正整数,且k≤3,
∴k=1或k=2或k=3,
当k=1时,原方程为x2+2x﹣3=0,解得x1=﹣3,x2=1,
当k=2时,原方程为x2+2x﹣1=0,解得x1=﹣1+,x2=﹣1﹣,
当k=3时,原方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=﹣1,
∴k的值为1或3.
17.解:(1)设平均每次降价的百分率为x,
依题意得:400(1﹣x)2=256,
解得:x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意,舍去).
答:平均每次降价的百分率为20%.
(2)选择在数码城购买比较合算,理由如下:
在电商平台购买所需费用为300×0.7=210(元),
在数码城购买所需费用为256×(1﹣20%)=204.8(元).
∵210>204.8,
∴选择在数码城购买比较合算.
18.解:(1)根据题意,可得现在销售数量为:100﹣×20=60(个).
答:平均每天可售出60个;
(2)设销售单价提高了x元,
依题意,得:(60+x﹣50)(100﹣×20)=1600,
整理,得:x2﹣40x+300=0,
解得:x1=30,x2=10.
因为要让利于消费者,所以x=10符合题意.
所以60+x=70.
答:这种电子产品的销售单价定为70元合适.
19.解:(1)设售价应定为x元,则每件的利润为(x﹣40)元,日销售量为20+=(140﹣2x)件,
依题意,得:(x﹣40)(140﹣2x)=(60﹣40)×20,
整理,得:x2﹣110x+3000=0,
解得:x1=50,x2=60(舍去).
答:售价应定为50元;
(2)该商品需要打a折销售,
由题意,得,62.5×≤50,
解得:a≤8,
答:该商品至少需打8折销售.
20.解:(1)根据题意,提价后平均每天的销售量为:80﹣2(x﹣60)=200﹣2x.
故答案是:(200﹣2x);
(2)根据题意得:(x﹣50)(200﹣2x)=1200,
整理得:x2﹣150x+5600=0.
解得:x1=70,x2=80.
当x=70时,利润率=,符合题意;
当x=80时,利润率=,不合题意,舍去.
所以要获得1200元利润,应按70元每盒销售.