3.2勾股定理的逆定理同步练习2021-2022学年苏科版八年级数学上册（word版含答案）

3.2勾股定理的逆定理
一、选择题
1.下列各组数中,不属于勾股数的是 (　　)
链接听P28例2归纳总结
A.1.5,2,2.5 B.7,24,25
C.6,10,8 D.9,12,15
2.[2020·宜兴期中] 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是 (　　)
A.a2=1,b2=2,c2=3
B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D.∠A+∠B=∠C
3.若一个三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是 (　　)
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
4.[2019·益阳] 已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
5.如图1,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD,则CD的长为 (　　)
图1
A.3 B.4
C.4.8 D.5
二、填空题
6.如图2所示,以△ABC的三边为边分别向外作正方形,它们的面积分别是S1,S2,S3.如果S1+S2=S3,那么△ABC的形状是　　　　三角形.?
图2
7.已知a,b,c是△ABC的三边长,若|a-b|+|a2+b2-c2|=0,则△ABC的形状是　　　　　　　.?
8.[2020·老河口期末] 在△ABC中,AB=20,BC=16,AC=12,D为AB边的中点,则CD的长为　　　　.?
9.观察下列几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;….按此规律,当直角三角形的较短直角边长是11时,则较长直角边长是　　　　;当直角三角形的较短直角边长是2n+1时,则较长直角边长是　　　　.?
10.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s,当t=　　　　时,△ABP为直角三角形.?
图3
三、解答题
11.[2019·南平期末] 如图4,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,AD=13,CD=12,求四边形ABCD的面积.
图4
12.如图5,在△ABC中,AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm,则△ABC是等腰三角形吗?为什么?
图5
13.[2020·合肥肥东县期末] 如图6,已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm,D是腰AB上的一点,且BD=12 cm,CD=16 cm.
(1)求证:△BCD是直角三角形;
(2)求△ABC的周长.
图6
14.如图7所示,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且CE=14BC,求∠AFE的度数.
图7
15.如图8,P是等边三角形ABC内的一点,PA=6,PB=8,PC=10.若P'是△ABC外的一点,且△P'AB≌△PAC.求PP'的长度及∠APB的度数.
图8
16.阅读下列内容:设a,b,c是一个三角形的三边长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c之间的关系来判断这个三角形的形状:
①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形;
②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形;
③若a2例如一个三角形的三边长分别是4,5,6,则最长边长是6,由于62=36<42+52,故由上面③可知该三角形是锐角三角形.请解答以下问题:
(1)若一个三角形的三边长分别是2,3,4,则该三角形是　　　　三角形;?
(2)若一个三角形的三边长分别是m2-n22,mn,m2+n22,请判断这个三角形的形状,并说明理由.
答案
1.A　[解析] A项,1.5,2.5不是正整数,∴不是勾股数;
B项,72+242=252,且7,24,25都是正整数,∴是勾股数;
C项,62+82=102,且6,8,10都是正整数,∴是勾股数;
D项,92+122=152,且9,12,15都是正整数,
∴是勾股数.故选A.
2.C　[解析] 由a2+b2=c2可判定△ABC为直角三角形,A项不符合题意;52=32+42,即可得c2=a2+b2,能够判定△ABC为直角三角形,B项不符合题意;∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,
那么∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°,△ABC不是直角三角形,C项符合题意;
∵∠A+∠B=∠C,∴∠C=90°,能够判定△ABC为直角三角形,D项不符合题意.故选C.
3.D　[解析] 因为(a+b)2=c2+2ab,即a2+b2+2ab=c2+2ab,所以a2+b2=c2,所以这个三角形为直角三角形.故选D.
4.B　[解析] 如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.故选B.
5.D　[解析] ∵AB=10,AC=8,BC=6,
∴BC2+AC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形且∠ACB=90°.
∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD.
∴∠CAD=∠ACD.
∵∠CAD+∠B=∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠B=∠BCD.
∴CD=BD.
∴CD=12AB=5.故选D.
6.直角　[解析] ∵S1+S2=S3且S1=AB2,S2=BC2,S3=AC2,∴AB2+BC2=AC2.∴△ABC是直角三角形.
7.等腰直角三角形　[解析] ∵|a-b|+|a2+b2-c2|=0,
∴a-b=0且a2+b2-c2=0.
∴a=b且a2+b2=c2.
∴△ABC是等腰直角三角形.
8.10　[解析] ∵在△ABC中,AB=20,BC=16,AC=12,∴AB2=202=400,AC2+BC2=122+162=400,即AC2+BC2=AB2,∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形.又∵D为AB边的中点,∴CD为斜边上的中线,则CD=12AB=10.
9.60　2n2+2n　[解析] 设直角三角形的较短直角边长是a,较长直角边长是b,斜边长是c.由几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,得到规律为a2=b+c,c=b+1,∴当a=11时,b+c=121.又∵b=c-1,∴b=60,c=61;同理,当直角三角形的较短直角边长是2n+1时,较长直角边长是2n2+2n.
10.2或258　[解析] ∵∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,∴BC=4 cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,
∴t=4÷2=2;
②当∠BAP为直角时,BP=2t cm,CP=(2t-4)cm,AC=3 cm.
在Rt△ACP中,AP2=32+(2t-4)2,
在Rt△ABP中,AB2+AP2=BP2,
即52+[32+(2t-4)2]=(2t)2,解得t=258.
综上,当t=2或t=258时,△ABP为直角三角形.故答案为2或258.
11.解:∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,
∴AC=5.
在△ACD中,
∵AC2+CD2=25+144=169=AD2,
∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=12AB·BC+12AC·CD=12×3×4+12×5×12=36.
12.解:△ABC是等腰三角形.
理由:∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD=12BC=12×10=5(cm).
∵在△ABD中,AD 2+BD2=122+52=132=AB2,
∴△ABD是直角三角形,其中∠ADB=90°.∴∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,AC2=AD2+CD2=122+52=132,∴AC=13 cm.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
[点评] 此题综合运用了勾股定理及勾股定理的逆定理,充分体现了由“形”到“数”,再由“数”到“形”的数形结合思想,从中可以体会到数形结合的奥妙.
13.解:(1)证明:∵在△BCD中,BC=20 cm,BD=12 cm,CD=16 cm,
∴BD2+CD2=122+162=400=202=BC2,
∴△BCD是直角三角形.
(2)设AB=AC=x cm,则AD=(x-12) cm.
由(1),得∠BDC=90°,则∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,由勾股定理,得AD2+CD2=AC2,即(x-12)2+162=x2,
解得x=503,
即AB=AC=503 cm.
∵BC=20 cm,
∴△ABC的周长是AB+AC+BC=503+503+20=1603 (cm).
14.[解析] 连接AE,根据已知条件,运用勾股定理可以分别求出△AEF的三边长,再根据勾股定理的逆定理即可求解.
解:连接AE,设正方形ABCD的边长是4a.
∵F为DC的中点,
∴DF=CF=2a.
∵CE=14BC,
∴CE=a,BE=3a.
由勾股定理,得
AF2=(4a)2+(2a)2=20a2,EF2=(2a)2+a2=5a2,AE2=(4a)2+(3a)2=25a2.
∵AF2+EF2=20a2+5a2=25a2=AE2,
∴△AEF是直角三角形,
∴∠AFE=90°.
15.解:∵△PAC≌△P'AB,
∴PA=P'A,PC=P'B,∠PAC=∠P'AB.
∴∠P'AP=∠BAC=60°.
∴△APP'为等边三角形.
∴PP'=PA=P'A=6,∠APP'=60°.
∵PP'2+PB2=PA2+PB2=36+64=100=PC2=P'B2,
∴△BPP'为直角三角形,且∠BPP'=90°.
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=60°+90°=150°.
16.解:(1)钝角
(2)若一个三角形的三边长分别是m2-n22,mn,m2+n22,则这个三角形是直角三角形.理由如下:
∵m2-n222=m4-2m2n2+n44,(mn)2=m2n2,m2+n222=m4+2m2n2+n44,
∴m2-n222+(mn)2=m2+n222.
∴这个三角形是直角三角形.