第3章　勾股定理　单元测试题 2021—2022学年苏科版八年级数学上册（Word版 含答案）

第3章　勾股定理　
一、选择题(每小题4分,共24分)
1.在△ABC中,∠C=90°,AB=2,则AC2+BC2+AB2的值是 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
2.如果一个三角形的三边长分别为6,8,10,那么最长边上的高为 (　　)
A.2.4 B.4.8
C.6 D.8
3.下列四组数中,是勾股数的是 (　　)
A.0.3,0.4,0.5 B.32,42,52
C.3,4,5 D.13,14,15
4.如图1,在△ABC中,D为AB的中点,E在AC上,且BE⊥AC,若DE=5,AE=8,则BE的长度是 (　　)
图1
A.6.5 B.6
C.5.5 D.5
5.如图2,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于 (　　)
图2
A.1.5 B.2.4
C.2.5 D.3.5
6.如图3,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,若小正方形的边长为1,大正方形的边长为5,则一个直角三角形的周长是 (　　)
图3
A.6 B.7
C.12 D.15
二、填空题(每小题4分,共24分)
7.如图4,在△ABC中,∠ACB=90°,以它的三边为边分别向外作正方形,面积分别为S1,S2,S3,已知S1=6,S2=8,则S3=　　　　.?
图4
8.如果△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足关系式(a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0,那么△ABC是　　　　　三角形.?
9.将一根长12厘米的筷子置于底面圆半径为3厘米,高为8厘米的圆柱形杯子中,则筷子露在杯子外面的长度至少为　　　　厘米.?
10.如图5,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A'与点A重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则B'C2的值为　　　　.?
图5
11.在△ABC中,AB=25,AC=26,BC边上的高AD=24,则△ABC的周长为　　　　.?
12.如图6,△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,动点P在边AB上运动(不与端点重合),点P关于直线AC,BC对称的点分别为P1,P2,则在点P的运动过程中,线段P1P2的长的最小值是　　　　.?
图6
三、解答题(共52分)
13.(8分)如图7,在四边形ABCD中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AD=3,E为AB上一点,AE=4,ED=5,求CD的长.
图7
14.(8分)如图8,在△ABC中,AC=21,BC=13,D是AC边上一点,BD=12,AD=16.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)若E是AB边上的动点,连接DE,求线段DE的最小值.
图8
15.(8分)如图9所示,将长方形ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E,AD=16,AB=8,求DE的长.
图9
16.(8分)高速公路的同一侧有A,B两城镇,如图10所示,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA'=2 km,BB'=4 km,且A'B'=8 km,要在高速公路上A',B'之间建一个出口P,使A,B两城镇到出口P的距离之和最短,求这个最短距离.
图10
17.(10分)若以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,则称3,4,5为勾股数组,记为(3,4,5),类似地,还可得到下列勾股数组:(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.
(1)根据上述四组勾股数的规律,写出第六组勾股数组;
(2)用含n(n≥2,且n为整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律,并证明.
18.(10分)如图11,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=7 cm,AC=25 cm.点P从点A出发沿射线AB方向以1 cm/s的速度运动至点B,点Q从点B出发沿射线BC方向以6 cm/s的速度运动至点C,P,Q两点同时出发.
(1)求BC的长;
(2)当点P,Q运动2 s时,求P,Q两点之间的距离;
(3)当P,Q两点运动几秒时,AP=CQ?
图11
答案
1.D　[解析] ∵∠C=90°,AB=2,
∴AC2+BC2=AB2=4.
∴AC2+BC2+AB2=4+4=8.
故选D.
2.B　[解析] 因为62+82=102,由勾股定理的逆定理可以判断此三角形是直角三角形,利用直角三角形面积的两种表达形式可得ab=ch(其中a,b为直角边长,c为斜边长,h为斜边上的高).
3.C　[解析] 0.32+0.42=0.52,能构成直角三角形,但不是整数,所以不是勾股数,故A选项不符合题意;(32)2+(42)2≠(52)2,不是勾股数,故B选项不符合题意;32+42=52,是勾股数,故C选项符合题意;142+152≠132,不是勾股数,故本选项不符合题意.故选C.
4.B　[解析] ∵BE⊥AC,∴∠BEA=90°.∵DE=5,D为AB的中点,∴AB=2DE=10.∵AE=8,∴由勾股定理,得BE2=AB2-AE2=36,即BE=6.故选B.
5.B　[解析] 连接AM,如图所示.
∵AB=AC,M为BC的中点,
∴AM⊥CM,BM=CM.
∵BC=6,
∴BM=CM=3.
在Rt△ABM中,AB=5,BM=3,
∴根据勾股定理,得AM2=AB2-BM2=52-32=16,即AM=4.
又S△AMC=12MN·AC=12AM·CM,
∴MN=AM·CMAC=125=2.4.故选B.
6.C　[解析] 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b(a>b).由题意可知中间小正方形的边长为a-b=1,根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知,25=4×12ab+1,所以2ab=24.根据勾股定理,得a2+b2=52,所以(a+b)2=a2+b2+2ab=25+24=49.因为a+b>0,所以a+b=7,7+5=12,所以一个直角三角形的周长是12.故选C.
7.14　[解析] ∵∠ACB=90°,S1=6,S2=8,
∴AC2=6,BC2=8.
∴AB2=AC2+BC2=6+8=14.
∴S3=14.
故答案为14.
8.直角　[解析] ∵(a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0,
∴a+2b-60=0,b-18=0,c-30=0.
∴a=24,b=18,c=30.
∵242+182=302,
∴△ABC是直角三角形.
故答案为直角.
9. 2　[解析] 如图所示,筷子在杯子内的部分、杯子的高、杯子的底面圆直径正好构成直角三角形.
∵62+82=100=102,
∴筷子在圆柱形杯子内的最大长度为10 cm.
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12-10=2(cm).
故答案为2.
10.27　[解析] ∵∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,∴AB2=18,∠CAB=45°.
∵△ABC和△A'B'C'大小、形状完全相同,
∴∠C'AB'=∠CAB=45°,AB'2=AB2=18.
∴∠CAB'=90°.
∴B'C2=AC2+AB'2=9+18=27.
11.68或54　[解析] (1)如图①,若∠B是锐角,此时高AD在三角形的内部.在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=49,即BD=7.
在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=100,
∴CD=10,∴BC=7+10=17,此时△ABC的周长=AB+AC+BC=68;
(2)如图②,∠B是钝角,在Rt△ABD中,BD=7,在Rt△ACD中,CD=10,∴BC=10-7=3,此时△ABC的周长=AB+AC+BC=54.
综上,△ABC的周长为68或54.
12.9.6　[解析] 如图,连接CP.由题意,可得点P1,C,P2在同一直线上.
∵点P关于直线AC,BC对称的点分别为P1,P2,∴P1C=PC=P2C,
∴线段P1P2的长等于2CP.
当CP⊥AB时,CP的长最小,此时线段P1P2的长最小.
∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,
∴CP=AC·BCAB=4.8,
∴线段P1P2的长的最小值是9.6.
13.解:∵AD=3,AE=4,ED=5,
∴AD2+AE2=ED2.
∴∠A=90°.∴AD⊥AB.
∵∠C=90°,∴CD⊥BC.
∵BD平分∠ABC,∴CD=AD.
∵AD=3,∴CD=3.
14.解:(1)证明:∵AC=21,AD=16,
∴CD=AC-AD=5.
∵BD2+CD2=122+52=169=BC2,
∴∠BDC=90°,
∴BD⊥AC.
(2)当DE⊥AB时,DE最短.
在Rt△ABD中,∵AB2=AD2+BD2,
∴AB=20.
∵12AD·DB=12AB·DE,
∴DE=16×1220=9.6,
∴线段DE的最小值为9.6.
15.[解析] 先根据折叠的性质得出CD=C'D,∠C=∠C'=90°,再设DE=x,则AE=16-x,由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C'DE,可得出BE=DE=x,在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值,进而得出DE的长.
解:在长方形ABCD中,CD=AB=8.
由折叠的性质,得CD=C'D=8,∠C=∠C'=90°.　
设DE=x,则AE=16-x.
在△ABE和△C'DE中,
∠AEB=∠C'ED,∠A=∠C'=90°,AB=C'D,
∴△ABE≌△C'DE.
∴BE=DE=x.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得
AB2+AE2=BE2,即82+(16-x)2=x2,
解得x=10,即DE=10.
16.解:如图所示,作点A关于直线MN的对称点C,连接CB交直线MN于点P,则点P即为出口的位置,此时A,B两城镇到出口P的距离之和最短,最短距离为AC的长.过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.
∵AA'=2 km,BB'=4 km,A'B'=8 km,
∴A'C=AA'=2 km,A'D=BB'=4 km,
则CD=6 km.
在Rt△CDB中,CB2=62+82=100,
∴CB=10(km).
故这个最短距离为10 km.
17.解:(1)第六组勾股数为(48,14,50).
(2)勾股数组为(n2-1,2n,n2+1)(n≥2,且n为整数).
证明如下:
∵(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1,
(n2+1)2=n4+2n2+1,
∴(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,
∴n2-1,2n,n2+1是勾股数组(n≥2,且n为整数).
18.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=7 cm,AC=25 cm,
∴BC2=AC2-AB2=252-72=242.
∴BC=24(cm).
(2)连接PQ.
由题意知BP=7-1×2=5(cm),BQ=6×2=12(cm).
在Rt△BPQ中,由勾股定理,得PQ2=BP2+BQ2=52+122=132,
∴PQ=13(cm).
(3)设P,Q两点运动t s时,AP=CQ,则t=24-6t,解得t=247.
答:当P,Q两点运动247 s时,AP=CQ.