苏科版数学九年级上册自主学习优生提升训练第1章 一元二次方程1.2一元二次方程的解法（word版含答案）

2021年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》自主学习优生提升训练（附答案）
1．已知m，n是方程x2﹣2020x+2021＝0的两个根，则（m2﹣2021m+2020）（n2﹣2021n+2020）的值是（　　）
A．1 B．2 C．4041 D．4042
2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）
A． B． C． D．0
3．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（　　）
A．﹣4 B．8 C．6 D．0
4．已知方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝4k﹣1，则实数k的值为（　　）
A．1，0 B．﹣3，0 C．1，﹣ D．1，﹣
5．已知α，β是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0的两根，且a＜b，α＜β，实数a，b，α，β的大小关系可能是（　　）
A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜β D．α＜a＜β＜b
6．当整数m＝　 　时，关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0与mx2﹣6x+9＝0的根都是整数．
7．若m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则代数式m2﹣mn+3m+2n＝　 　．
8．已知关于x的一元二次方程x2+mx+1＝0的一个根为2，则另一个根是　 　．
9．如果α，β（α≠β）是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则α2+α﹣β的值是　 　．
10．已知a、b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式a3﹣a2+3b﹣2的值为　 　．
11．已知a、b是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，则+的值是　 　．
12．已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝　 　．
13．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　．
14．若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝　 　．
15．使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是　 　．
16．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2＝0的两实根，那么m+n的最大值是　 　．
17．若实数a、b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是　 　．
18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2|＝x1?x2﹣1，求k的值．
19．关于x的方程mx2+（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．
21．已知平行四边形ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
22．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2＝﹣x1x2，求k的值．
参考答案
1．解：∵m，n是方程x2﹣2020x+2021＝0的两个根，
∴m+n＝2020，mn＝2021，m2﹣2020m+2021＝0，n2﹣2020n+2021＝0，
∴m2﹣2021m+2020＝﹣m﹣1，n2﹣2021n+2020＝﹣n﹣1，
∴（m2﹣2021m+2020）（n2﹣2021n+2020）
＝（﹣m﹣1）（﹣n﹣1）
＝mn+m+n+1
＝2021+2020+1
＝4042，
故选：D．
2．解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
3．解：由题意有x12+x1﹣3＝0，x22+x2﹣3＝0，
即x12＝3﹣x1，x22＝3﹣x2，
所以x13﹣4x22+19
＝x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19
＝3x1﹣x12+4x2+7
＝3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7
＝4（x1+x2）+4，
又根据根与系数的关系知道x1+x2＝﹣1，
所以原式＝4×（﹣1）+4＝0．
故选：D．
4．解：方程x2+（2k+1）x+k﹣1＝0的两个实数根为x1，x2；
则x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k﹣1．
∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2
∴（4k﹣1）2＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k﹣1），
∴（4k﹣1）2﹣（2k+1）2+4（k﹣1）＝0，
即（4k﹣1+2k+1）（4k﹣1﹣2k﹣1）＝﹣4（k﹣1），
∴6k（2k﹣2）+4（k﹣1）＝0，
∴（k﹣1）（12k+4）＝0，
解得k＝1或﹣．
故选：D．
5．解：依题意，画出函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2＝0
转化为（x﹣a）（x﹣b）＝2，
方程的两根是抛物线y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线y＝2的两个交点．
设交点的横坐标，分别为m，n．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故选：A．
6．解：若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+9＝0，
则△＝36﹣36m≥0，
解得m≤1，
若关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，
则△＝16m+20≥0，
m≥﹣，
故﹣≤m≤1，
∵m为整数，m＝﹣1，0，1，
m＝0时方程mx2﹣6x+9＝0不是一元二次方程，故应舍去，
当m＝﹣1时方程mx2﹣6x+9＝0即x2+6x﹣9＝0，解得：x＝﹣3±3，方程的解不是整数，
当m＝1时，x2﹣6x+9＝0解得：x1＝x2＝3，两方程的解都为整数，
故答案为：m＝1．
7．解：∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，m2+m﹣3＝0即m2+m＝3，
则原式＝m2+m+2（m+n）﹣mn＝3+2×（﹣1）﹣（﹣3）＝3﹣2+3＝4，
故答案为：4．
8．解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2?t＝1，
解得t＝．
故答案为：．
9．解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴α2+2α﹣1＝0，α+β＝﹣2，
∴α2+α＝1﹣α，
∴α2+α﹣β＝1﹣α﹣β＝1+2＝3，
故答案为3
10．解：∵a、b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，
∴a2﹣a＝3，a+b＝1，
∴a3﹣a2+3b﹣2＝a（a2﹣a）+3b﹣2＝3a+3b﹣2＝3（a+b）﹣2＝1．
故答案为：1．
11．解：∵a，b是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，ab＝5，
∴+＝＝．
故答案为：．
12．解：∵m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，m2+2m＝2021，
∴m2+mn+3m+n＝m2+2m+mn+（m+n）＝2021﹣2021﹣2＝﹣2．
故答案是：﹣2．
13．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3
14．解：∵方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0，
2ax2﹣（a+4）x+2＝0，
（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，
解得x1＝，x2＝，
∵关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，
∴正整数a＝1或2．
故答案为：1或2．
15．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0有实数根，
∴△＝16﹣16m≥0，且m≠0，∴m≤1且m≠0，
∵关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0有实数根，
∴△＝16m2﹣4（4m2﹣4m﹣5）＝16m+20≥0，
∴m≥﹣，
∴﹣≤m≤1且m≠0，
∵m为整数，
∴m＝﹣1或m＝1，
当m＝1时，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即为x2﹣4x+4＝0，解得，x1＝x2＝2，
一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，即为x2﹣4x﹣5＝0，解得，x1＝5，x2＝﹣1，
两方程的解都为整数，符号题意，
当m＝﹣1时，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即为x2+4x﹣4＝0，解得，x＝＝﹣2±2，方程的解不是整数，不符合题意，
即满足条件的整数m的值为1，
故答案为1．
16．解：根据题意得△＝4a2﹣4（a2+a﹣2）≥0，解得a≤2，
因为m+n＝2a，
所以m+n≤4，
所以m+n的最大值为4．
故答案为4．
17．解：∵，
∴解得：ab＝，
∵a2+b2＝，
∴（a+b）2＝≥0，
∴﹣3≤t，
假设a，b是关于x的一元二次方程的两个根，
∴x2+（a+b）x+ab＝0，
∴x2+x+＝0，
∵b2﹣4ac≥0，
﹣2（t+1）≥0，
解得：t≤．
则t的取值范围是：﹣3≤t≤．
故答案为：﹣3≤t≤．
18．解：（1）由方程有两个实数根，可得
△＝b2﹣4ac＝4（k﹣1）2﹣4k2＝4k2﹣8k+4﹣4k2＝﹣8k+4≥0，
解得k≤；
答：k的取值范围是k≤；
（2）依据题意可得，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，
由（1）可知k≤，
∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，
∴﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝x1?x2﹣1，
∴﹣2（k﹣1）＝k2﹣1，
解得k1＝1（舍去），k2＝﹣3，
∴k的值是﹣3．
答：k的值是﹣3．
19．解：（1）∵关于x的方程mx2+（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
（2）假设存在，设方程的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
∵+＝＝﹣＝0，
∴m＝﹣2．
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m＝﹣2不符合题意，舍去．
∴假设不成立，即不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0．
20．解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝6，
∵x1+2x2＝14，
∴x2＝8，x1＝﹣2．
将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，
解得：k＝±4．
答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．
21．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1．
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）将x＝2代入x2﹣mx+﹣＝0中，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴AB+AD＝m＝，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×＝5．
22．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0，
解得：k＞．
∴实数k的取值范围为k＞．
（2）由根与系数的关系，得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1?x2＝k2+1，
∵x1+x2＝﹣x1?x2，
∴2k+1＝k2+1，
解得：k＝0或k＝2，
又∵k＞，
∴k＝2．