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湘教版
八年级上
第1章分式小结与复习
教学目标
1.
掌握分式的概念，分式有意义、分式值为0的条件；
2.
掌握分式的基本性质，能正确地约分、通分；
3.
掌握整数指数幂的运算法则，能熟练计算和应用；
4.
掌握分式乘除法、加减法法则，能正确地进行运算；
5.
掌握分式方程、增根概念，能熟练地解分式方程；
6.
熟悉考试题型，拓宽知识视野，提升知识应用能力。
要点回顾
1.
整式除以
整式(中含有
)所得的商
，
叫做分式。
2.
分式的值存在(有意义)的条件：
。
3.
分式值为0的条件：
。
知识点1
分式的概念
字母
分母不为0
分子等于0但分母不为0
非零
要点回顾
1.
分式的分子、分母都乘
，所得分式与原分式相等。分式的分子、分母都除以它们的一个
，所得分式与原分式相等。
知识点2
分式的基本性质
即
同一个非零整式
公因式
要点回顾
2.
分式的符号法则：分式及其分子、分母三处的符号，任意改变两处的符号，或者把负号移到另一处，分式的值不变。
知识点2
分式的基本性质
即
要点回顾
1.
根据分式的基本性质，把分子、分母的公因式约去，叫做把这个分式
。
分子、分母没有公因式的分式叫做
。
知识点3
分式的约分和通分
约分
最简分式
2.
约分时，要注意把分子、分母的多项式
。
约分的最后结果一般要化简成
。
因式分解
最简分式
要点回顾
3.
根据分式的基本性质，把几个分式化成同分母分式，叫做分式的
。通分的关键是确定
。
知识点3
分式的约分和通分
通分
最简公分母
4.
最简公分母是指各分母的
的最高次幂的积。即取系数的
、相同字母的
、不同字母的积作为最简公分母。
所有因式
最小公倍数
最高次幂
5.
通分时，每个分式的分子、分母需同乘一个恰当的整式是
得到的。
最简公分母约去这个分式的分母
要点回顾
1.
零次幂：任何非零数的0次幂等于
.
知识点4
整数指数幂的运算
1
2.
负整数指数幂：任何非零数的负n次幂等于它的n次幂的
，也等于这个非零数的
.
倒数
倒数的n次幂
用公式表示零次幂和负整数指数幂是：
要点回顾
3.
整数指数幂的运算法则：
=
(a≠0，m，n都是整数)
(a≠0，m，n都是整数)
=
(a≠0，b≠0，n都是整数)
=
(a≠0，b≠0，m，n都是整数)
(a≠0，b≠0，n都是整数)
①
②
③
④
⑤
要点回顾
在幂的指数为整数时，上述法则中，
同底数幂的除法法则可以归纳到同底数幂的乘法法则中，分式（商）的乘方法则可以归纳到积的乘方法则中，因此整数指数幂的运算法则可以归纳为：
=
(a≠0，m，n都是整数)
(a≠0，m，n都是整数)
=
(a≠0，b≠0，n都是整数)
=
注意：
整数指数幂的运算结果不能含有负整数指数幂.
要点回顾
1.
分式乘分式把分子相乘的积作分子，把分母相乘的积
作分母。最后结果约分成
.
知识点5
分式的乘、除法的运算
2.
分式除法把除式的分子、分母
，与被除式
相乘.
颠倒位置
分别乘方
3.
分式的乘方是把分子、分母
.在含有分式乘
方的乘除法运算中，应先算
，再算乘除法。
最简分式
乘方
要点回顾
1.
同分母分式相加减，分母
，把分子
.注意：分母各项符号都相反的分母，可提取负号并把负号移到分式前面，再按同分母分式加减法法则运算。
知识点6
分式的加、减法的运算
2.
异分母分式相加减，先通分化成
，然后再加减。
同分母的分式
不变
相加减
要点回顾
1.
分式混合运算的顺序与整式混合运算的顺序相同.要先算
，再算
，最后算
.
如果有括号，要先算括号里面的。
知识点7
分式的混合运算
2.
求分式的值，一般先把分式
，再把字母表示的
数代入求值。字母的取值必须使最简公分母
。
乘方
乘除
加减
化简
不为0
要点回顾
1.
分母中含有
的方程叫做分式方程.
知识点8
分式方程的解法
2.
解分式方程的基本思路是去掉分母，把分式方程化成
来解。去分母的方法是：方程两边同
乘
，注意不要漏乘单独的数.
未知数
一元一次方程
最简公分母
3.
使最简公分母的值为0的一元一次方程的解叫做分式方程的
，此时分式方程
.
解分式方程时必须
方程的解是否为增根。
增根
无解
检验
要点回顾
1.
利用分式方程解决实际问题步骤：理解题意→分析数量关系和等量关系→设未知数→列分式方程→解方程并验根→检验是否符合题意并写答。与利用一元一次方程解决实际问题基本相同.
知识点8
利用分式方程解决实际问题
2.
注意事项
①关键是分析等量关系，设一个恰当的未知数；
②所设未知数，能表示等量关系中的所有未知量；
③注意对求得的未知数进行方程和实际意义双检验.
例题精析
例1
下列代数式中，分式是
（
）
解析：一个整式除以一个含有字母的非零整式所得的商记作分数形式，叫做分式。根据分式的概念，分式的分母必须含有字母。选项A的分母中含有字母x，故A是分式。注意：C中的π是一个数，不是字母。
类型一、分式的概念
例2
若分式
的值存在，则x的取值是
（
）
解析：分式值存在（即分式有意义）的条件是分母不为0，所以x+4≠0，即
x≠-4。故选D.
A.
x=4
B.
x=-4
C.
x≠4
D.
x≠-4
D
例题精析
例3
若分式
的值为0，则x的取值是
（
）
B
A.
B.
C.
D.
分式值为0的条件是分子为0但分母不为0，所以4x?-1=(2x+1)(2x-1)=0，且2x-1≠0。所以2x+1=0，即，故选B.
解析：
例题精析
例题精析
1.分式形式类似于分数，分母中含有字母是其特征.
2.类似于分数，分式值存在的条件是分母不等于0；
分式的值为0必须同时具备两个条件：分子为0，但同
时分母不等于0。
方
法
小
结
例4
下列分式的变形，正确的是
（
）
类型二、分式的性质
解析：将分子或分母前面的负号移到分式前面，必须先把负号提到括号外面，而分子或分母的各项都要改变符号。
C
例题精析
例5
下列分式中，是最简分式的
（
）
C
A中分子、分母含公因式3，B中分子、分母含公因式，D中分子、分母含公因式，故均不是最简分式.
C中分子、分母没有公因式，符合题意。
【解析】
C.
D.
A.
B.
例题精析
例题精析
1.分式的基本性质与分数的基本性质类似。
2.分式的符号法则：对于分式中的分子、分母和分式本
身，任意改变其中两处，分式的值不变；把负号从一处
移到另一处，就是改变其中两处的符号。
3.约分时多项式要因式分解，结果一般化成最简分式。
4.通分的关键是确定最简公分母，各分式的分子、分母
同乘的整式.
方
法
小
结
例6
计算：
类型三、整数指数幂的运算
解：
例题精析
例7
计算：
例题精析
解：
例8
(岳阳模考)生物学家发现一种病毒，其长度约为0.000
000
32nm，数据0.000
000
32用科学记数法表示是
(
)
C
解析：用科学记数法把一个小于1的数表示成|a|×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于小数从左边数起第1个非零数字前面的0的个数，故选C.
例题精析
例题精析
1.记住零次幂和负整数指数幂公式，及其条件——底数
为任意非零数。
2.记住整数指数幂的运算法则，不能混淆。注意运算的
结果中不能含有负整数指数幂；整数指数幂的底数不能
为0。
方
法
小
结
例9
化简分式
的结果为
（
）
类型四、分式的化简与计算
解析：
B
例题精析
例10
(白银中考)计算：
解：
例题精析
例题精析
1.分式的乘除法、加减法的运算法则与分数类似，但通
分和约分要注意多项式的因式分解。
2.要正确运用分式的符号法则，注意在分子或分母前添
加（去掉）负号，分子或分母的每一项都要变号。分
子、分母、分式本身三处的符号，任意改变两处，分
式的值不变。
3.分式混合运算的顺序与有理数、整式混合运算相同.
方
法
小
结
类型五、分式方程的解法
解析：方程两边同乘x-1，得：x+x-1=3，即2x=4。解得
x=2。经检验x=2是原方程的解，故选D.
例11
(2021?恩施州)分式方程
的解为
（ ）
D
A.
x=1
B.
x=-2
C.
x=
D.
x=2
例题精析
解析：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得
例12
解方程：
x?-4x+x?-1=2x(x-1).
即
-2x=1.
解得
经检验：
是原方程的解。
例题精析
解：方程两边同乘x-5，得
例13
若分式方程
无解，求k的值.
k+x-5=2x.
解得
x=k-5.
因为分式方程无解，所以分式方程有增根，则x-5=0，x=5，于是有
例题精析
5=k-5.
解得
k=10.
因此k的值为10.
例题精析
1.解分式方程的关键是去掉分式中的分母，把分式方程
转化为一元一次方程，方法是方程两边同乘最简公分
母，即把方程中的每一个式子或数同乘最简公分母后
约去分式或分数中的分母。
2.增根就是使最简公分母为的解。解分式方程必须验根.
方
法
小
结
类型六、建立分式方程解决实际问题
例14
甲、乙两个工程队承包某村农田改造工程，完工验收合格后，县农业局支付工程队工资7.2万元。甲、乙两队单独完成这项工程所需时间的比是5∶4，两队共同施工20天可以完成任务。
(1)求两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)按完成的工程量分配工资，完工验收合格后，问甲、乙两队各能分到工资多少万元？
分析：上面画线部分是第(1)小题的条件和问题。第(2)小题是根据工资总量和两队的工作量计算两队的工资.
例题精析
甲、乙两队单独完成这项工程所需时间的比是5∶4，两队共同施工20天可以完成任务。
(1)求两队单独完成这项工程各需多少天？
第(1)小题涉及的等量关系是什么呢？
甲队工作效率+乙队工作效率=两队共同施工的工作效率.
例题精析
甲、乙两队单独完成这项工程所需时间的比是5∶4，两队共同施工20天可以完成任务。
(1)求两队单独完成这项工程各需多少天？
解：(1)设甲、乙两队单独完成这项工程分别需要5x天，4x天，工程总量用单位“1”表示，则单独施工时每天的工作效率分别为
、
，共同施工的工作效率为
，根据上述等量关系，列出分式方程：
例题精析
例题精析
方程两边同乘20x，得
4+5=x
解得
x=9.
经检验：x=9是原方程的解。
因此，甲单独完成这项工程需要
天，乙单独完成这项工程需要
天.
45
36
例题精析
因此，甲队应得工资：
(2)共同施工中，甲队完成工程量的乙队完成工程量的
.
（万元）
因此，乙队应得工资：
（万元）
例题精析
1.利用分式方程解决问题的步骤与利用一元一次方程解
决实际问题的步骤基本相同；
2.只设一个未知数，但能表示其他所有未知量；
3.关键是分析等量关系，正确列出分式方程，解方程；
4.注意进行根和实际意义的双检验.
方
法
小
结
课堂总结
分式
概念和性质
运算
可化为一元一次方程的分式方程
乘、除法运算
整数指数幂的运算
加、减法运算
作业布置
课本复习题1
一、书面练习：
A组：第3、4、6、7题；
B组：第10、11题.
二、合作探究：
C组：第12题.
作业布置
2.
一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km所需时间与逆水航行48km所需时间相同.已知水流的速度是2km/h，求该轮船在静水中航行的速度.
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第1章分式小结与复习教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：13
课
题
分式小结与复习
课型
复习课
教学目标
1.
掌握分式的概念，分式有意义、分式值为0的条件；2.
掌握分式的基本性质，能正确地约分、通分；3.
掌握整数指数幂的运算法则，能熟练计算和应用；4.
掌握分式乘除法、加减法法则，能正确地进行运算；5.
掌握分式方程、增根概念，能熟练地解分式方程；6.
熟悉考试题型，拓宽知识视野，提升知识应用能力。
教学重点
1.
整数指数幂的运算法则；2.
分式的加减法、分式的乘除法运算；3.
解分式方程，利用分式方程解决问题4.
梳理知识要点，熟悉考试题型，提高解题能力；
教学难点
1.
包含分式加减法与分式乘除法的分式运算；2.
运用分式方程解决世纪问题；3.
梳理知识要点，提高解题能力，培养良好思维品质。
教
学
活
动
一、要点复习知识点1：分式的概念1、
整式f除以非零整式g（g中含有字母）所得的商，叫作分式。2、
分式的值存在(有意义)的条件：分母不为0；
3、
分式值为0的条件：分子等于0但分母不为0。.知识点2：分式的基本性质分式的基本性质：（1）分式的分子、分母都乘
非零整式
，所得分式与原分式相等。分式的分子、分母都除以它们的一个公因式，所得分式与原分式相等。即：。2、
分式的符号法则：分式及其分子、分母三处的符号，任意改变两处的符号，或者把负号移到另一处，分式的值不变。即：，。知识点3：
分式的约分和通分
1、
根据分式的基本性质，把分子、分母的公因式约去，叫做把这个分式约分。分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式。2、
约分时，要注意把分子、分母的多项式因式分解，约分的最后结果一般要化简成最简分式。3、
根据分式的基本性质，把几个分式化成同分母分式，叫做分式的通分，通分的关键是确定最简公分母。4、
最简公分母是指各分母的所有因式的最高次幂的积。即取系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、不同字母的积作为最简公分母。5、
通分时，每个分式的分子、分母需同乘一个恰当的整式是最简公分母约去这个分式的分母得到的。知识点4：
整数指数幂的运算1、
零次幂：任何非零数的0次幂等于1。2、
负整数指数幂：任何非零数的负n次幂等于它的n次幂的倒数，也等于这个非零数的倒数的n次幂。用公式表示零次幂和负整数指数幂是：
.
3、
整数指数幂的运算法则：
注意：整数指数幂的运算结果不能含有负整数指数幂.知识点5：
分式的乘、除法的运算
1、
分式乘分式把分子相乘的积作分子，把分母相乘的积作分母。最后结果约分成最简分式。2、
分式除法把除式的分子、分母颠倒位置，与被除式相乘.3、
分式的乘方是把分子、分母分别乘方，在含有分式乘方的乘除法运算中，应先算乘方，再算乘除法。知识点6
：分式的加、减法的运算
1、
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。注意：分母各项符号都相反的分母，可提取负号并把负号移到分式前面，再按同分母分式加减法法则运算。2、
异分母分式相加减，先通分化成同分母的分式，然后再加减。知识点7
：分式的混合运算1、
分式混合运算的顺序与整式混合运算的顺序相同。要先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，要先算括号里面的。
2、
求分式的值，一般先把分式化简，再把字母表示的数代入求值。字母的取值必须使最简公分母不为0。
知识点8：
分式方程的解法1、
分母中含未知数的方程叫做分式方程。
2、
解分式方程的基本思路是去掉分母，把分式方程化成一元一次方程来解。去分母的方法是：方程两边同乘最简公分母，注意不要漏乘单独的数。3、
使最简公分母的值为0的一元一次方程的解叫做分式方程的增根，此时分式方程无解.
解分式方程时必须检验方程的解是否为增根。知识点8
利用分式方程解决实际问题
1、
利用分式方程解决实际问题步骤：理解题意→分析数量关系和等量关系→设未知数→列分式方程→解方程并验根→检验是否符合题意并写答。与利用一元一次方程解决实际问题基本相同.
2、
注意事项
①关键是分析等量关系，设一个恰当的未知数；②所设未知数，能表示等量关系中的所有未知量；
③注意对求得的未知数进行方程和实际意义双检验.
二、考点突破类型一、分式的概念例1
下列代数式中，分式是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A【解析】一个整式除以一个含有字母的非零整式所得的商记作分数形式，叫做分式。根据分式的概念，分式的分母必须含有字母。选项A的分母中含有字母x，故A是分式。注意：C中的π是一个数，不是字母。例2
若分式的值存在，则x的取值是
（
）A.
x=4
B.
x=-4
C.
x≠4
D.
x≠-4
【答案】D【解析】分式值存在（即分式有意义）的条件是分母不为0，所以x+4≠0，即
x≠-4。故选D.例3
若分式，的值为0，则x的取值是
（
）A.
B.
C.
D.
【答案】B【解析】分式值为0的条件是分子为0求分母不为0，所以，但，即，。故选B.【方法小结】1、
分式形式类似于分数，分母中含有字母是其特征.2、
类似于分数，分式值存在的条件是分母不等于0；分式的值为0必须同时具备两个条件：分子为0，但同时分母不等于0。
类型二、分式的性质例4
下列分式的变形，正确的是
（
）A.
B.
C.
D.
【答案】C【解析】分数线具有括号的作用，要将分子或分母前面的负号移到分式前面，必须先把负号写到括号外面，而把分子或分母的各项改变符号后放到括号里面，然后再把负号移到分式前面。C项的符号变化正确，故选C。例5
下列分式中，是最简分式的为
（
）A.
B.
C.
D.
【答案】C【解析】A的分子、分母中有公因式3，B的分母，分子、分母中有公因式，D的分母，分子、分母中有公因式，C的分子、分母中没有公因式，故选C。【方法小结】1、
分式的基本性质与分数的基本性质类似。2、
分式的符号法则：对于分式中的分子、分母和分式本身，任意改变其中两处，分式的值不变；把负号从一处移到另一处，就是改变其中两处的符号。3、
约分时多项式要因式分解，结果一般化成最简分式。4、
通分的关键是确定最简公分母，各分式的分子、分母同乘的整式.
类型三、整数指数幂的运算例6
计算：解
==。
例7
计算：解
=
（把系数、同底数幂分别相除.）
=
=。
例8
(岳阳模考)生物学家发现一种病毒，其长度约为0.000
000
32nm，数据0.000
000
32用科学记数法表示是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C【解析】用科学记数法把一个小于1的数表示成|a|×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于小数从左边数起第1个非零数字前面的0的个数，故选C.【方法小结】1、
记住零次幂和负整数指数幂公式，及其条件——底数为任意非零数。
2、
记住整数指数幂的运算法则，不能混淆。注意运算的结果中不能含有负整数指数幂；整数指数幂的底数不能为0。
类型四、分式的化简与计算例9
化简分式的结果为
（
）A.
B.
C.
D.
1【答案】B【解析】=。例10
(白银中考)计算：解：
===【方法小结】1、
分式的乘除法、加减法的运算法则与分数类似，但通分和约分要注意多项式的因式分解。
2、
要正确运用分式的符号法则，注意在分子或分母前添加（去掉）负号，分子或分母的每一项都要变号。分子、分母、分式本身三处的符号，任意改变两处，分式的值不变。
3、
分式混合运算的顺序与有理数、整式混合运算相同.类型五、分式方程的解法例11
(2021?恩施州)分式方程的解为（
）A.
B.
C.
D.
【答案】D【解析】方程两边同乘x-1，得：x+x-1=3，即2x=4。解得x=2。经检验x=2是原方程的解，故选D.
例12
解方程：解：
方程两边同乘，得
即
。解得
。经检验：是原方程的解。
例13
若分式方程无解，求k的值.
解：方程两边同乘x-5，得
k+x-5=2x.
解得
x=k-5.
因为分式方程无解，所以分式方程有增根，则
x-5=0，x=5，于是有5=k-5，
解得
k=10.
因此k的值为10.
【方法小结】1、
解分式方程的关键是去掉分式中的分母，把分式方程转化为一元一次方程，方法是方程两边同乘最简公分母，即把方程中的每一个式子或数同乘最简公分母后约去分式或分数中的分母。2、
增根就是使最简公分母为的解。解分式方程必须验根.类型六、建立分式方程解决实际问题例14
甲、乙两个工程队承包某村农田改造工程，完工验收合格后，县农业局支付工程队工资7.2万元。甲、乙两队单独完成这项工程所需时间的比是5∶4，两队共同施工20天可以完成任务。(1)求两队单独完成这项工程各需多少天？(2)按完成的工程量分配工资，完工验收合格后，问甲、乙两队各能分到工资多少万元？分析：上面画线部分是第(1)小题的条件和问题。第(1)小题涉及的等量关系是：甲队工作效率+乙队工作效率=两队共同施工的工作效率.第(2)小题是根据工资总量和两队的工作量计算两队的工资.解：（1）设甲、乙两队单独完成这项工程分别需要5x天，4x天，工程总量用单位“1”表示，则单独施工时每天的工作效率分别为、，共同施工的工作效率为，根据上述等量关系，列出分式方程：
方程两边同乘20x，得
4+5=x
解得
x=9.经检验：x=9是原方程的解。
因此，甲单独完成这项工程需要45天，乙单独完成这项工程需要36天。（2）共同施工中，甲队完成工程量的，乙队完成工程量的因此，甲队应得工资（万元），乙队应得工资（万元）。【方法小结】1、
利用分式方程解决问题的步骤与利用一元一次方程解决实际问题的步骤基本相同；2、
只设一个未知数，但能表示其他所有未知量；3、
关键是分析等量关系，正确列出分式方程，解方程；4、
注意进行根和实际意义的双检验.
四、作业布置课本复习题1一、书面练习：A组：第3、4、6、7题；B组：第10、11题.二、合作探究：C组：第12题.
板书设计
课后反思
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精品试卷·第
2
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（共
2
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