初中数学北师大版八年级下学期 第五章 5.4 分式方程
一、单选题
1．（2020·南充）若 ，则x的值是 （ ）
A．4 B． C． D．﹣4
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，去分母得 ，
∴ ，
经检验， 是原方程的解
故答案为：C．
【分析】根据解分式方程即可求得x的值．
2．（2020七上·武威月考）把方程 去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】原方程两边同时乘以6可得： ,
故答案为：A.
【分析】由题意将原方程两边同时乘以6（不能漏项）可求解.
3．（2020八下·遂宁期末）方程 的解为（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
经检验x=2是原方程的解
故答案为：B．
【分析】先去分母，再移项和合并同类项求解即可．
4．（2020·武侯模拟）甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前 h到达目的地，设甲的速度为3xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，
依题意，得： ﹣ ＝ ，
故答案为：B．
【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，根据时间=路程÷速度结合甲比乙提前 h到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
5．（2021·普定模拟）已知关于x的分式方程 的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2且k≠1 B．k＞﹣2且k≠﹣1
C．k＞﹣2 D．﹣2＜k＜0
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母得：x-2（x-1）=k，
去括号得：x-2x+2=k，
解得：x=2-k，
由分式方程的解为正数，得到2-k＞0，且2-k≠1，
解得：k＜2且k≠1，
故答案为：A.
【分析】将k作为常数，直接按照解分式方程的方法即可得到x=2-k，再根据解为正数得出x>0，且x≠1，据此列出不等式即可得到k的范围.
6．（2021八上·綦江期末）方程 的增根为（ ）
A．1 B．1和-1 C．-1 D．0
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵增根就是使分式方程无解时，未知数的值.
∴将原方程化为整式方程为
，
解得： .
故答案为：A.
【分析】分式方程的増根，即是分式方程转化为整式方程的解，然后解分式方程，即可得到答案.
7．（2021八上·哈巴河期末）为祝福祖国70周年华诞，兴义市中等职业学校全体师生开展了以“我和我的祖国、牢记初心和使命”为主题的演讲比赛，为奖励获奖学生，学校购买了一些钢笔和毛笔，钢笔单价是毛笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1200元，购买毛笔用了1500元，购买的钢笔数比毛笔少35支，钢笔、毛笔的单价分别是多少元？如果设毛笔的单价为x元/支，那么下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设毛笔单价x元/支，由题意得： ，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得：1500元购买的毛笔数量-1200元购买的钢笔数量=20支，根据等量关系列出方程即可.
8．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
二、填空题
9．（2020八上·邵阳期中）如果关于 x的方程 无解，则m的值为 ．
【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：2-x=-m，
解得：x=m+2．
根据题意得：m+2-5=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
【分析】将分式方程化为整式方程，再根据方程无解作答即可。
10．（2021八上·德江期末）若解分式方程 产生增根，则增根可能是 .
【答案】x=-4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：根据题意，分式方程 有增根，
故答案为：x=-4.
【分析】分式方程增根就是使最简公分母为0的x值，据此解题.
11．（2020八下·眉山期末）某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，设提速前列车的平均速度为x
km/h，则列方程为 .
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是 小时，
列车提速后行驶s+50km用的时间是 小时，
因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，
所以列方程是 .
【分析】根据提速前行驶skm和提速后行驶（s+50）km的时间相同即可列方程.
12．（2020八上·椒江期末）对于两个非零代数式，定义一种新的运算： .若 ，则x= .
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：据题意得：
x@(x-2)=，
∴=1，
解分式方程，去分母得：x-2+x2=x(x-2)，
解得：x=.
故答案为：.
【分析】根据题中新定义，把x@(x-2)变形为=1，解这个分式方程即可. 注意解分式方程时要检验.
13．（2021九下·北京开学考）在学校组织的登高远望活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座450米高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15分．如果设甲组的攀登速度为x米/分，则可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲组的攀登速度为x米/分，则乙组的攀登速度为 米/分，
依题意得： ．
故答案为： ．
【分析】设甲组的攀登速度为x米/分，则乙组的攀登速度为 米/分，根据时间=路程÷速度，结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少15分钟，即可得出关于 的分式方程，从而可得答案．
14．（2021八上·鄂州期末）若关于 的分式方程 的解为正数，则常数 的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵方程的解为正数，则
，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴常数 的取值范围是 且 ；
故答案为： 且 ．
【分析】先求出分式方程的解，再根据方程有解，可得到x＞0且x≠3，建立关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
15．（2020八上·红桥期末）若x＝2是关于x的分式方程 ＝1的解，则实数k的值等于 ．
【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】将x=2代入 =1，得 ，
解得k=4，
故答案为：4．
【分析】将x=2代入求解即可．
三、计算题
16．（2021八上·江津期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程两边同乘 ，得
，
解得 ，
检验：当 时 ，
∴原分式方程的解为 ；
（2）解：方程两边同乘 ，得
，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，检验解是否为原方程的解即可；
（2）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，检验解是否为原方程的解即可.
17．（2021八上·武昌期末）解分式方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：方程两边都乘以 得，
，
，
，
检验：当 时， ，
是原方程的解；
（2）解：方程两边都乘以 得，
，
，
，
检验：当 时， ，
是原分式方程的增根，
原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边都乘以 ，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程两边都乘以 ，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
四、解答题
18．（2021八上·金昌期末）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染.某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，求购进的第一批医用口罩有多少包？
【答案】解：设购进的第一批医用口罩有x包，
则 ，解得： ，
经检验 是原方程的根.
答：购进的第一批医用口罩有2000包.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设购进的第一批医用口罩有x包，根据“第二次购进的每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元”列出方程并解答.
19．（2020八上·石景山期末）关于 的分式方程 的解是负数，求满足条件的整数 的最大值．
【答案】解：
3x-m=2（x+1）
3x-m=2x+2
x=2+m，
∵方程的解是负数，且 ，
∴2+m<0且 ，
解得m<-2且m -3．
∴满足条件的整数 的最大值-4．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先解分式方程求出先，再根据题意列出不等式求出m的取值范围，最后求解即可。
20．（2021八上·铜仁期末）为了防止感染新冠病毒，小明家要购买A，B两种型号的口罩，每个A型号口罩比B型号口罩的单价少0.3元，且用45元购买的A型口罩与用60元购买的B型口罩数量相同，求两种口罩的单价.
【答案】解：设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x+0.3)元，
据题意得 ，
方程两边乘以x(x+0.3)，
去分母得45(x+0.3)=60x，
解得x=0.9，
检验：当x=0.9时，x(x+0.3)≠0，
所以原方程的解为x=0.9，
0.9+0.3=1.2.
答：A型口罩单价为0.9元，B型口罩单价为1.2元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据题意先设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x+0.3)元，再列出分式方程求解即可.
21．（2021八上·拉萨期末）扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量
【答案】解：设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本
由题意列方程，得
解得 x=20，
经检验x=20是方程的解.
答：卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本，则扎西平均每分钟清点图书的数量为（x+10）本，根据卓玛清点完200本图书所用的时间与扎西清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可.
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期 第五章 5.4 分式方程
一、单选题
1．（2020·南充）若 ，则x的值是 （ ）
A．4 B． C． D．﹣4
2．（2020七上·武威月考）把方程 去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020八下·遂宁期末）方程 的解为（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
4．（2020·武侯模拟）甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前 h到达目的地，设甲的速度为3xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·普定模拟）已知关于x的分式方程 的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2且k≠1 B．k＞﹣2且k≠﹣1
C．k＞﹣2 D．﹣2＜k＜0
6．（2021八上·綦江期末）方程 的增根为（ ）
A．1 B．1和-1 C．-1 D．0
7．（2021八上·哈巴河期末）为祝福祖国70周年华诞，兴义市中等职业学校全体师生开展了以“我和我的祖国、牢记初心和使命”为主题的演讲比赛，为奖励获奖学生，学校购买了一些钢笔和毛笔，钢笔单价是毛笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1200元，购买毛笔用了1500元，购买的钢笔数比毛笔少35支，钢笔、毛笔的单价分别是多少元？如果设毛笔的单价为x元/支，那么下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
二、填空题
9．（2020八上·邵阳期中）如果关于 x的方程 无解，则m的值为 ．
10．（2021八上·德江期末）若解分式方程 产生增根，则增根可能是 .
11．（2020八下·眉山期末）某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，设提速前列车的平均速度为x
km/h，则列方程为 .
12．（2020八上·椒江期末）对于两个非零代数式，定义一种新的运算： .若 ，则x= .
13．（2021九下·北京开学考）在学校组织的登高远望活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座450米高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15分．如果设甲组的攀登速度为x米/分，则可列方程为 ．
14．（2021八上·鄂州期末）若关于 的分式方程 的解为正数，则常数 的取值范围是 ．
15．（2020八上·红桥期末）若x＝2是关于x的分式方程 ＝1的解，则实数k的值等于 ．
三、计算题
16．（2021八上·江津期末）解方程：
（1）
（2）
17．（2021八上·武昌期末）解分式方程：
（1） ；
（2） .
四、解答题
18．（2021八上·金昌期末）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染.某药店用4000元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，求购进的第一批医用口罩有多少包？
19．（2020八上·石景山期末）关于 的分式方程 的解是负数，求满足条件的整数 的最大值．
20．（2021八上·铜仁期末）为了防止感染新冠病毒，小明家要购买A，B两种型号的口罩，每个A型号口罩比B型号口罩的单价少0.3元，且用45元购买的A型口罩与用60元购买的B型口罩数量相同，求两种口罩的单价.
21．（2021八上·拉萨期末）扎西与卓玛共同清点一批图书，已知扎西清点完300本图书所用的时间与卓玛清点完200本所用的时间相同，扎西平均每分钟比卓玛多清点10本，求卓玛平均每分清点图书的数量
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，去分母得 ，
∴ ，
经检验， 是原方程的解
故答案为：C．
【分析】根据解分式方程即可求得x的值．
2．【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】原方程两边同时乘以6可得： ,
故答案为：A.
【分析】由题意将原方程两边同时乘以6（不能漏项）可求解.
3．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
经检验x=2是原方程的解
故答案为：B．
【分析】先去分母，再移项和合并同类项求解即可．
4．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，
依题意，得： ﹣ ＝ ，
故答案为：B．
【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，根据时间=路程÷速度结合甲比乙提前 h到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
5．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母得：x-2（x-1）=k，
去括号得：x-2x+2=k，
解得：x=2-k，
由分式方程的解为正数，得到2-k＞0，且2-k≠1，
解得：k＜2且k≠1，
故答案为：A.
【分析】将k作为常数，直接按照解分式方程的方法即可得到x=2-k，再根据解为正数得出x>0，且x≠1，据此列出不等式即可得到k的范围.
6．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：∵增根就是使分式方程无解时，未知数的值.
∴将原方程化为整式方程为
，
解得： .
故答案为：A.
【分析】分式方程的増根，即是分式方程转化为整式方程的解，然后解分式方程，即可得到答案.
7．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设毛笔单价x元/支，由题意得： ，
故答案为：B.
【分析】根据题意可得：1500元购买的毛笔数量-1200元购买的钢笔数量=20支，根据等量关系列出方程即可.
8．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
9．【答案】3
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：2-x=-m，
解得：x=m+2．
根据题意得：m+2-5=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
【分析】将分式方程化为整式方程，再根据方程无解作答即可。
10．【答案】x=-4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：根据题意，分式方程 有增根，
故答案为：x=-4.
【分析】分式方程增根就是使最简公分母为0的x值，据此解题.
11．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是 小时，
列车提速后行驶s+50km用的时间是 小时，
因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，
所以列方程是 .
【分析】根据提速前行驶skm和提速后行驶（s+50）km的时间相同即可列方程.
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：据题意得：
x@(x-2)=，
∴=1，
解分式方程，去分母得：x-2+x2=x(x-2)，
解得：x=.
故答案为：.
【分析】根据题中新定义，把x@(x-2)变形为=1，解这个分式方程即可. 注意解分式方程时要检验.
13．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲组的攀登速度为x米/分，则乙组的攀登速度为 米/分，
依题意得： ．
故答案为： ．
【分析】设甲组的攀登速度为x米/分，则乙组的攀登速度为 米/分，根据时间=路程÷速度，结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少15分钟，即可得出关于 的分式方程，从而可得答案．
14．【答案】 且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵方程的解为正数，则
，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴常数 的取值范围是 且 ；
故答案为： 且 ．
【分析】先求出分式方程的解，再根据方程有解，可得到x＞0且x≠3，建立关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
15．【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】将x=2代入 =1，得 ，
解得k=4，
故答案为：4．
【分析】将x=2代入求解即可．
16．【答案】（1）解：方程两边同乘 ，得
，
解得 ，
检验：当 时 ，
∴原分式方程的解为 ；
（2）解：方程两边同乘 ，得
，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 .
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，检验解是否为原方程的解即可；
（2）先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，检验解是否为原方程的解即可.
17．【答案】（1）解：方程两边都乘以 得，
，
，
，
检验：当 时， ，
是原方程的解；
（2）解：方程两边都乘以 得，
，
，
，
检验：当 时， ，
是原分式方程的增根，
原分式方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边都乘以 ，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程两边都乘以 ，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
18．【答案】解：设购进的第一批医用口罩有x包，
则 ，解得： ，
经检验 是原方程的根.
答：购进的第一批医用口罩有2000包.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设购进的第一批医用口罩有x包，根据“第二次购进的每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元”列出方程并解答.
19．【答案】解：
3x-m=2（x+1）
3x-m=2x+2
x=2+m，
∵方程的解是负数，且 ，
∴2+m<0且 ，
解得m<-2且m -3．
∴满足条件的整数 的最大值-4．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先解分式方程求出先，再根据题意列出不等式求出m的取值范围，最后求解即可。
20．【答案】解：设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x+0.3)元，
据题意得 ，
方程两边乘以x(x+0.3)，
去分母得45(x+0.3)=60x，
解得x=0.9，
检验：当x=0.9时，x(x+0.3)≠0，
所以原方程的解为x=0.9，
0.9+0.3=1.2.
答：A型口罩单价为0.9元，B型口罩单价为1.2元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据题意先设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为(x+0.3)元，再列出分式方程求解即可.
21．【答案】解：设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本
由题意列方程，得
解得 x=20，
经检验x=20是方程的解.
答：卓玛平均每分钟清点图书的数量为20本
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设卓玛平均每分钟清点图书的数量为x本，则扎西平均每分钟清点图书的数量为（x+10）本，根据卓玛清点完200本图书所用的时间与扎西清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可.
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