2021沪科版七年级数学专题四分类讨论思想
一、选择题
方程：的解为??．
A.
B.
C.
D.
?
数轴上点A表示的数是，点B与点A的距离为5，则点B表示的数是
A.
2
B.
C.
2或5
D.
2或
若，则m的值是?A.
4
B.
2或4
C.
2，0或4
D.
0或4
已知，O为垂足，且，则的度数为
A.
B.
C.
或
D.
或
若，则下列结论不一定成立的是?
?A.
B.
C.
D.
a，b，c是同一平面内的任意三条直线，其交点有
A.
1或2个
B.
1或2或3个
C.
0或1或3个
D.
0或1或2或3个
如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数是
A.
B.
C.
或
D.
以上都不对
二、填空题
在数轴上表示的点与表示的点的距离是________，原点与表示________的点的距离是3．
过平面内四个点中的每两个点画直线，可以画________条．
若点A、B是数轴上的两个点，点A表示的数是，点B与点A的距离是2，则点B表示的数是??????????．
若，则____．
已知点B在直线AC上，，，P、Q分别是AB、AC的中点，则
????????????．
已知，，OM平分则的度数为________．
如图，直线，点M、N分别为直线AB、CD上两点，点P是直线AB、CD之间一动点，连接MP、NP，若，则的值为?
?
?
?．
若关于x的分式方程无解，则a的值为?
?
?
?
?
?
?
?
??．
将多项式加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：??????????，??????????，??????????．
三、计算题
已知，，，其中．
求证：，并指出A与B的大小关系；
阅读对B因式分解的方法：
解：．
请完成下面的两个问题：
仿照上述方法分解因式：；
指出A与C哪个大？并说明你的理由．
四、解答题
已知关于x的整式．
若是二次式，求的值；若是二项式，求k的值．
如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
当，用含t的式子填空：____________________，__________；
当时，求PQ的值；
当时，求t的值．
若，，求的值．
求使得成立的所有x的值．
某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105400元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为元．
请你设计出所有的进货方案；
在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
商场准备拿出中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．
已知，y是4的平方根，且，求的值．
甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按八五折收费，在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按照九折收费．
设顾客累计购物花费元，若在甲商场购物，则实际花费_______元；若在乙商场购物，则实际花费_____元均用含x的式子表示；
在的情况下，请根据两家商场的优惠活动方案，讨论顾客到哪家商场购物花费少？并说明理由．
暑假期间，两名教师计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名教师全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：教师、学生都按八折收费．请你帮他们选择一下，选哪家旅行社比较合算．
第2页，共2页2021沪科版七年级数学专题四分类讨论思想
【答案】
1.
B
2.
D
3.
D
4.
C
5.
D
6.
D
7.
C
8.
4；．??
9.
1条、4条或6条??
10.
或1??
11.
或3??
12.
13cm或5cm??
13.
??
14.
或??
15.
或1??
16.
4x；；??
17.
解：?，
；
；
．
因为，
所以，
从而当时，；
当时，；
当时，．??
18.
解：由题意知且，
所以，
此时；
当时，原式，符合题意；
当时，，
当时，原式，不符合题意；
当时，原式，符合题意．
故或0．??
19.
解：；；
当时，P点对应的有理数为，
Q点对应的有理数为，
所以；
秒时，P点对应的有理数为，
Q点对应的有理数为2t，
，
，
，
解得或．??
20.
解：，
，
，
，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，．??
21.
解：分三种情况讨论：
，
，
，
又底数不能为0，
，
；
当，
解得：，
此时，，成立；
当，即时，，不成立；
综上所述，使得成立的所有x的值为3和．??
22.
解：设A型电脑购进x台，则B型电脑购进台．
根据题意得：，
解得：．
为整数，
，23，24
有3种购买方案：
方案1：购A型电脑22台，B型电脑18台；
方案2：购A型电脑23台，B型电脑17台；
方案3：购A型电脑24台，B型电脑16台；
由题意，得
，
，
．
，
随x的增大而增大，
时，元．
设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得
，
．
，，，且a、b、c为整数，
，且是5的倍数．且c随a、b的增大而减小．
当，时，，舍去；
当，时，，故；
当，时，，舍去；
当，时，，故；
当，时，，舍去，
当，时，，舍去．
有2种购买方案：
方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶，
方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶．??
23.
??
24、解：；；
若在甲商场花费少，则，?解得，
所以当购物超过400元时，到甲商场购物花费少；
若在乙商场花费少，则，?解得，
所以当购物超过200元却少于400元时，到乙商场购物花费少；
若到两家商场花费一样多时，则，解得，
所以当购物400元时，到甲、乙两家商场购物花费一样
25、解：设有x名学生，
则在甲旅行社花费：元，
在乙旅行社的花费：元，
当在乙旅行社的花费少时：
，
解得；
在两旅行社花费相同时：
，
解得；
当在甲旅行社的花费少时：
，
解得．
综上，可得
当两名教师带领的学生少于4人时，应该选择乙旅行社；
当两名教师带领的学生为4人时，选择甲、乙两家旅行社都一样；
当两名教师带领的学生多于4人时，应该选择甲旅行社．
【解析】
1.
【分析】
本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度一般，关键是掌握用分类讨论的思想进行解题．分类讨论，然后去掉绝对值即可解答．
【解答】
解：当时，
，
解得：，
当时，
解得：，
综上，方程的解为．
故选B．
2.
【分析】
本题考查了数轴的应用及分类讨论的思想，解此题的关键是分两种情况求出符合条件的点．分为两种情况：B点在A点的左边和B点在A点的右边，求出即可．
【解答】
解：当B点在A点的左边时，向左移动5个单位，点B表示的数为，
当B点在A点的右边时，向右移动5个单位，点B表示的数为2．
故选：D．
3.
【分析】
本题主要考查零指数幂的运算，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：；根据等式成立，可得且，或或此时是偶数，据此求出m的值即可．
【解答】
解：成立，可得且，或或此时是偶数，
当且，
无解；
当时，
解得，此时合题意，
当时，解得，此时合题意
综上，m的值是4或0．
故选D．
4.
【分析】此题主要考查了垂线，关键是分情况画出图形，不要漏解．首先根据题意画出图形，求出和的度数，分两种情况讨论，一种是CO在内，一种是CO在外，分别计算即可．
【解答】
解：根据题意画出图形，有两种情况：
在的内部，如图1，
因为，所以，
因为，所以，
所以
在的外部，如图2，同理可得．
故选C．
5.
【分析】
考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向，为中档题．
当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．解答此题根据不等式的基本性质判断即可．
【解答】
解：在不等式的两边同时减去1，不等式仍成立，
即，故本选项不符合题意；
B.在不等式的两边同时乘以2，不等式仍成立，
即，故本选项不符合题意；
C.在不等式的两边同时乘以，不等号的方向不改变，
即，故本选项不符合题意；
D.当，时，不等式不成立，
故本选项符合题意；
故选D．
6.
【分析】
本题主要考查了直线的交点个数问题，运用分类讨论思想是解答本题的关键．在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，平行和相交重合除外三条直线互相平行无交点；两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点．
【解答】
解：由题意画出图形，如图所示：
分别有0个交点，1个交点，2个交点，3个交点，
交点个数可能有0或1或2或3个．
故选D．
7.
【分析】
本题考查二元一次方程级的应用，平行线的性质，分类讨论思想．与的两边分别平行，分两种情况：；；再由比的3倍少得，建立二元一次方程组求解即可．
【解答】
解：与的两边分别平行，分两种情况：
当时，
，
解得：，
当时，
，
解得：，
或，
?故选C．
8.
【分析】
本题考查了数轴的相关知识，解题关键是注意分类讨论思想的运用．在数轴上直接用大数减小数即可求出两数所表示的点的距离；与原点距离为3的点有两个．
【解答】
解：；
与原点距离为3的点有两个分别是3和，
故答案为4；．
9.
【分析】
本题考查了直线的性质．关键是掌握两点确定一条直线．
由直线公理，两点确定一条直线，但题中没有明确指出已知点中，是否有3个点，或者4个点在同一直线上，因此要分三种情况加以讨论．
【解析】
解：如果4个点，点A、B、C、D在同一直线上，那么只能确定一条直线，如图：
如果4个点中有3个点不妨设点A、B、在同一直线上，而第4个点，点D不在此直线上，那么可以确定4条直线，如图：
如果4个点中，任何3个点都不在同一直线上，那么点A分别和点B、C、D确定3条直线，点B分别与点C、D确定2条直线，最后点C、D确定一条直线，这样共确定6条直线，如图：
综上所述，过其中2个点可以画1条、4条或6条直线．
故答案为1条、4条或6条．
10.
【分析】
本题主要考查了数轴，以及有理数的加减法运算，要熟练掌握，注意分类讨论．根据题意，分两种情况：当点B在点A的左边当点B在点A的右边，分别求出点B表示的数即可．
【解答】
解：分两种情况讨论：
当点B在点A的左边时，
点B表示的数为：
．
当点B在点A的右边时，
点B表示的数为：
，
点B表示的数为或1．
故答案为或1．
11.
【分析】
本题主要考查有理数的加法和绝对值，解题的关键是根据绝对值的性质求得a的值及分类讨论思想的运用．
【解答】
解：当时，，解得；
当时，，舍去；
当时，，解得，
故答案为或3．
12.
【分析】
本题考查求线段的长度及线段的中点的定义，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．分当点C在点A左侧时，?当点C在点B右侧时，两种情况求解．
【解答】
解：当点C在点A左侧时，?
?
，，?
；?
当点C在点B右侧时，?
?
，，，?
?
故答案为13cm或5cm．
13.
【分析】
本题考查了角的平分线定义和角的计算，掌握角平分线的定义以及分类讨论的思想的应用是解题的关键．
分两种情况讨论：当OC在内部；当OC在外部；再根据角平分线的定义得出的度数．
【解答】
解：，，OM平分，
当OC在内部时，
，
当OC在外部时，
，
，
．
综上所述的度数为或．
故答案为或．
14.
【分析】
本题主要考查平行线的性质注意分类讨论的思想分两种情况：当点P在MN的左边时，当点P在MN的右边，分别过点P作，根据平行公理，可得，根据平行线的性质，可得的值．
【解答】
解：过点P作，
，
，
，
，
；
过点P作，
，
，
，
，
，
．
综上，的值为或．
故答案为或．
15.
【分析】
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
直接解分式方程，再利用当时，当时，分别得出答案．
【解答】解：方程两边同时乘以最简公分母，得，
整理，得，
当时，方程无解，故
当，时，分式方程无解，则．
综上，a的值为或1．
16.
【分析】本题考查完全平方公式和分类讨论的数学思想利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】
解：若把和4当作两个平方项，则可添加中间的一项，即4x或
若把当作中间项，则添加一个平方项为．
17.
由?可得；
根据，再利用平方差公式分解可得；
由再分类讨论可得．
本题考查了用提公因式法和公式法、十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，注意整体思想的运用是解题的关键．
18.
本题考查多项式，掌握多项式的项数和次数是解题关键．
若是二次式，则三次项的系数为0，二次项的系数不为0，由此求出k的值即可；
是二项式时，应分三种情况讨论：且，；且，；且，．
19.
【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
先求出当时，P点对应的有理数为，Q点对应的有理数为，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；
先求出当时，P点对应的有理数为，Q点对应的有理数为，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；
由于t秒时，P点对应的有理数为，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出，根据列出方程，解方程即可．
【解答】
解：当时，
P点对应的有理数为，
Q点对应的有理数为，
，；
故答案为；；
见答案；
见答案．
20.
本题考查了绝对值的应用，用了分类讨论思想．求出的值，分为四种情况，代入求出即可．
21.
本题主要考查零指数幂的意义以及乘方的概念，注意零指数幂：，解题关键是运用分类讨论的思想．分三种情况讨论：当指数且底数；当底数；当底数且指数为偶数，分别求解即可．
22.
设A型电脑购进x台，则B型电脑购进台，根据总进价不超过105400元和销售额不低于123200元建立不等式组，求出其解即可；
根据利润等于售价进价的数量关系分别表示出购买A型电脑的利润和B型电脑的利润就求其和就可以得出结论；
设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，，，，且a、b、c为整数，根据条件建立方程运用讨论法求出其解即可．
本题考查了列不等式组解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，方案设计的运用，不定方程的解法的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出解析式是解答本题的关键，巧解一元三次不定方程是解答本题的难点．
23.
【分析】
本题主要考查的是实数的性质、平方根的性质，分类讨论是解题的关键．先依据绝对值和平方根的定义确定出x、y的值，然后依据绝对值的性质求得x、y可能的情况，最后进行计算即可．
【解答】
解：由题意得，，，
，
，
，或，．
或．
故答案为或．
第2页，共2页
