2021沪科版七年级数学专题三数形结合思想
一、选择题
已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图，则下列结论错误的是?
A.
B.
C.
D.
已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果是：
A.
B.
?
C.
D.
有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：．
A.
B.
C.
D.
如果A、B、C三点在同一直线上，且线段，，若M、N分别为AB、BC的中点，那么M、N两点之间的距离为A.
B.
C.
7或
D.
无法确定
如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为?
?
?
A.
B.
C.
D.
二、填空题
冬季某日，上海最低气温是，北京最低气温是，这一天上海的最低气温比北京的最低气温高___________．
如果一个角的余角是，那么这个角的补角是_________．
当时，代数式的值为则当时，代数式的值为______。
如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”，则搭n条“金鱼”需要火柴_____根．
法公式的探究及应用．
小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是______写成两数平方差的形式；
小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是______，长是______，面积是______写成多项式乘法的形式
小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式______用式子表达
小题4：应用所得的公式计算：
三、计算题
如图，将一个边长为的正方形分的成四部分，观察图形，解答下列问题：
根据图中条件，请用两种方法表示该阴影图形的总面积方法1：______方法2：______
由此可得等量关系：______
应用该等量关系解决下列问题：
若图中的a，满足，，求的值；
若，求的值．
四、解答题
如图是皖江中学艺术节期间七年级、八年级收到的各类艺术作品情况的统计图．
从图中你能否看出哪个年级收到的国画类作品的数量多？为什么？
已知七年级收到的徽标作品比八年级的多20件，收到的书法作品比八年级的少100件，请问这两个年级收到的艺术作品的总数分别是多少件？
如图，四边形ABCD是网格中的格点正方形，网格中的每个小正方形的边长均为1．
求正方形ABCD的面积与边长AB．
正方形ABCD的边长是有理数还是无理数？它在哪两个相邻的整数之间？
已知关于x、y的方程组实数m是常数．
若，求实数m的值
若，求m的取值范围
在的条件下，化简：．
学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是______请用含a，b的代数式表示；
选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为______；
选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分长方形的面积分别表示为，，若，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
图2中阴影部分的正方形的边长是________；
用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：方法________，方法________；
观察图2，写出，，ab这三个代数式之间的等量关系；
根据题中的等量关系，解决问题：若，，求的值．
如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是，，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．
第2页，共2页2021沪科版七年级数学专题三数形结合思想
【答案】
1.
C
2.
D
3.
A
4.
C
5.
C
6.
；
；
；
?
??
7.
?
?
?
?
??
8.
?
?
??
9.
解：从图中不能看出哪所学校收到的国画类作品的数量多，
因为两所学校各自收到的艺术作品的总数未知，所以无法比较．
设A学校收到的艺术作品共有x件，B学校收到的艺术作品共有y件，由题意得
，
解得，
所以A、B两所学校收到的艺术作品总数分别是500件和600件．??
10.
解：正方形ABCD的面积可以看作是原的大正方形面积去掉四个直角三角形的面积即可．
正方形ABCD的面积为17；
因为，且，
所以正方形ABCD的边长?；
由可知：正方形ABCD的边长是，
因为任何一个有理数的平方都不等于17，
所以是无理数．
因为，
即，
所以在4和5之间．??
11.
解：
得，，
再将代入，得，解得．
得，，，
解不等式组得
当时，原式．
当时，原式．
??
12.
，?
；
；
设MN长为x
由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
可知当时，即时，为定值，
即时，S为定值．??
13.
解：；
?；
，，
，
．
??
14.
解：由题意，得．
去分母，得．
解得．
经检验，是所列方程的根．
所以x的值是．??
【解析】
1.
【分析】
根据数轴比较实数a、b、c，知，，，，即可分析得出答案．
此题主要考查了利用数轴进行实数大小的比较．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
【解答】
解：A、，，
，故此选项正确；
B、，，
，故此选项正确；
C、，，，
，
又，
，故此选项错误；
D、，，，
，
，故此选项正确．
故选：C．
2.
【分析】
此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容以及整式的加减运算，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．根据有理数a、b、c在数轴上的对应位置，即可确定a、b、c的大小关系，从而判断绝对值内的式子的符号，即可去掉绝对值，把式子进行化简．
【解答】
解：根据数轴可知：，且，
，，，，
原式
．
故选D．
3.
【分析】?
本题主要考查数轴与绝对值相结合的知识及整式的加减，解答此类问题的关键是数轴上的各数的大小及绝对值的性质，先根据各点在数轴上的位置判断出a、b、c、的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，利用整式的加减法则计算即可．
【解答】
解：由图可知：
，
，，
．
故选
A．
4.
【分析】
本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想的应用，分点B在线段AC上和点C在线段AB上两种情况，根据线段中点的性质进行计算即可．
【解答】
解：如图1，当点B在线段AC上时，
，，M，N分别为AB，BC的中点，
，，
，
如图2，当点C在线段AB上时，
，，M，N分别为AB，BC的中点，
，，
．
故选C．
5.
【分析】
本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【解答】
解：正方形ABCD的面积为6，且，
，
点A表示的数是1，且点E在点A左侧，
点E表示的数为：．
故选C．
6.
【分析】
有理数运算的实际应用题是中考的常见题，其解答关键是依据题意正确地列出算式，求上海的最低气温比北京的最低气温高多少，即用上海的最低气温减去北京的最低气温．
【解答】
解：．
答：这一天上海的最低气温比北京的最低气温高．
故答案为8．
【分析】
此题主要考查了余角和补角，关键是掌握：
余角：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
补角：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
首先根据余角的度数计算出这个角的度数，再算出它的补角即可．
【解答】
解：设这个角为，由题意得：
，
解得：，
这个角的补角的度数：．
故答案为．
【分析】
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型，根据时代数式值为2012，列出关系式，将代入所求式子中变形，把得出的关系式代入计算即可求出值．
【解答】
解：当时，，即，
当时，代数式．
故答案为．
【分析】
此类题找规律的时候一定要注意结合图形进行发现规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
【解答】
解：观察图形发现：搭1条金鱼需要火柴8根，搭2条金鱼需要14根，即发现了每多搭1条金鱼，需要多用6根火柴．则搭n条“金鱼”需要火柴?
故答案为?
7.
解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；
故答案为：；
小题2：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是；
故答案为：，，；
小题3：等式两边交换位置也可；
故答案为：；
小题4：
．
小题1：利用正方形的面积公式就可求出；
小题2：仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
小题3：建立等式就可得出；
小题4：利用平方差公式就可方便简单的计算．
此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观．
8.
解：由题意可得，
阴影图形的总面积方法1：，方法2：，
，
故答案为：，，；
，满足，，且，
，
解得，或舍去，
即的值是8；
，
，
，
，
，
．
根据图形和图形中的数据可以用代数式表示出阴影部分的面积；
根据题意和中的结果可以求得的值；
根据，通过变形可以求得所求式子的值．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法，利用数形结合的思想解答．
9.
从两个扇形统计图中只可看出各部分所占的百分比，看不出具体的数值，由此即可解决问题；
可分别设A、B两校受到的艺术作品分别为x、y件，因为七年级收到的徽标作品比八年级的多20件，收到的书法作品比八年级的少100件，结合各部分所占的百分比即可列出方程组，从而求出答案．
本题考查了扇形统计图的知识，需仔细分析统计图，寻找各种信息，利用方程组即可解决问题．
10.
本题考查了网格图形面积的计算，算术平方根的应用及估算无理数的大小等知识点，熟练掌握算术平方根和无理数的概念是解题的关键．
确定阴影部分的面积是大正方形减去四个全等的三角形的面积即可计算出面积，根据正方形的面积公式求出AB即可；
由得出正方形的边长，再根据平方根的知识即可得出边长在4和5这两个连续整数之间．
11.
【分析】本题主要考查绝对值，二元一次方程组及一元一次不等式组的应用．
将方程组中的两个方程相加，再将代入计算即可求解m值；
将方程组中的两个方程相减，再将代入可得一元一次不等式组，解不等式组即可求解m的取值范围；
根据m的取值范围，结合绝对值的性质将式子化简可求解．
12.
解：型卡片的面积为，B型卡片的面积为，C型卡片的面积为ab，
题中已经选择1张A型卡片，6张C型卡片，面积之和为，
由完全平方公式的几何背景可知一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，可以很轻易得知，
故应取9张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是
故答案为：9；
选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为的正方形，
剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：，
由图可得D型卡片是一个边长为的正方形，
由正方形的面积为边长的平方可知：
故答案为：
见答案．
此题主要考察了完全平方公式的几何背景正方形的面积等于边长的平方；完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方，例如：；完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方，例如：，；如果某正方形的边长是，则此正方形的面积就是：，如果某正方形的边长是，则此正方形的面积就是：，任何一个完全平方公式都可以化成以某个整式为边长的正方形的面积表达式，这就是完全平方公式的几何背景．
此题以数形结合的方式巧妙考查了完全平方公式的几何背景，题目新颖独特，难度中等
13.
本题利用数形结合的思想，来研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问题，属于基础题型．
观察图意直接得出正方形的边长是；
利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用的条件求出小正方形的面积；
把中的两个代数式联立即可；
类比求出，再开方即可．
14.
本题运用了数形结合思想?，通过观察数轴上A，B两点的位置情况并结合已知条件“点A，B到原点的距离相等”可知，A，B两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x的值．
第2页，共2页
