2020--2021学年沪科版八年级数学下册第18章 勾股定理： 折叠专题（Word版 含答案）

2021年沪科版八年级下折叠专题（含答案）
一、计算题
如图，长方形ABCD放在平面直角坐标系中，B点与原点重合．AB在y轴正半轴上已D点坐标为为(10,8).当AD沿一直线折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).请你求出点F和点E的坐标．
如图，长方形纸片ABCD，AD//BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF．
(1)求证：BE=BF．
(2)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数．
(3)若AB=6，AD=8，求AE的长．
如图，已知长方形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．
如图，长方形ABCD中，折痕为EF，将此长方形沿EF折叠，使点B与D重合，已知AB=3cm，AD=9cm．
①求AE的长；
②求EF的长．
如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C'的位置上．
(1)若∠1=55°，求∠2、∠3的度数；
(2)若AB=12，AD=18，求△BC'F的面积．
如图，一条宽为2(AB=2)的长方形纸带，E、F分别是边AD、BC上一点，∠DEF=α.将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．
(1)如图3，当点F与点C重合，且α=45°时，则S△EFG=______；
(2)如图2，若∠GFE=13∠GFN时，求α的值；
(3)在(2)下，作GP平分∠MGF交直线EF干于点P.如图4，若α<60°，试猜想∠GEP与∠GPE的数量关系，并证明你的结论．
如图，已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，求BE的长．
如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．
(1)当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；
(2)当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．
(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；
(2)如图2，若AE=，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长．
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=6，将矩形沿AC折叠，点D落在D'处，则重叠部分△AFC的面积是多少？
二、解答题
如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于点F，连接BP．

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)若△AEP是等边三角形，求证：△APB≌△EPC；
(3)若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．
如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF//AB交PQ于点F，连接BF．
(1)求证：四边形BFEP为菱形．
(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；
②若限定点P、Q分别在边BA、BC上移动，求AE的长的取值范围
如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．

(1)证明：△ADF≌△AB'E；
(2)若AD=12，DC=18，求△AEF的面积．
如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，
(1)求BF长度；
(2)求CE的长度．
如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求△CFE的面积．
答案和解析
1.【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，点B与点O重合，D点坐标为为(10,8)，
∴DC=AB=8，AD=BC=10，
由折叠的性质可知，AF=AD=10，
设EF=DE=x，则EC=8?x，
由勾股定理得：BF2=102?82，
∴BF=6，
∴CF=10?6=4，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2=42+(8?x)2，
解得：x=5，
EC=8?5=3，
∴E点的坐标为(10,3)．
∴点F(6,0)和点?E(10,3)．
2.【答案】(1)证明：由折叠可得，∠DEF=∠BEF，
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF；
(2)解：∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=90°?18°=72°，
∴∠EBF=180°?∠BEF?∠EFB=72°
∴∠BFE=∠BEF=(180°?72°)÷2=54°；
(3)解：设AE=x，则BE=ED=8?x，
在Rt△ABE中AE2+AB2=BE2，即?x2+62=(8?x)2，
解得方程得x=74，
∴AE=74．
3.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，
设EF=xcm，则DE=EF=xcm，CE=CD?CE=(8?x)cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即82+BF2=102，
∴BF=6cm，
∴CF=BC?BF=10?6=4(cm)，
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即x2=(8?x)2+42，
∴x=5
即：EF的长为5cm．
4.【答案】解：①设AE=x，则DE=AD?AE=9?x，
∵长方形沿EF折叠点B与D重合，
∴BE=DE，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即32+x2=(9?x)2，
解得x=4，
故AE的长为4cm；
②由翻折的性质得，∠BEF=∠DEF，
∵矩形ABCD的对边AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BF=BE=9?4=5cm，
∴CF=9?5=4cm，
过点F作FH⊥AD于H，则EH=DE?DH=5?4=1cm，
在Rt△EFH中，EF=EH2+HF2=10cm．
5.【答案】解：(1)由翻折的性质可知：∠2=∠BEF，
∵AD//BC，
∴∠2=∠1=55°，
∴∠3=180°?2×55°=70°．
(2)设DE=EB=x，
在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，
∴x2=122+(18?x)2，
∴x=13，
∴AE=AD?DE=18?13=5，
∴S△ABE=12?AB?AE=12×12×5=30，
∵∠ABC=∠EBC'，
∴∠ABE=∠FBC'，
在△ABE和△C'BF中，
∠ABE=∠FBC'AB=BC'∠A=∠C'=90°，
∴△ABE≌△C'BF(ASA)，
∴S△BFC'=S△ABE=30．
6.【答案】2
【解析】解：(1)∵四边形FDEG是正方形，
∴S△EFG=12×22=2．
故答案为：2．
(2)由折叠得∠GEF=∠DEF=α，
∵长方形的对边是平行的，
∴∠BFE=∠DEF=α，
∴∠EGB=∠BFE+∠DEF=2α，
∴∠FGD'=∠EGB=2α，
∴∠GFN=∠GFC'=180°?∠FGD'=180°?2α，
若∠GFE=13∠GFN时，
即α=13(180°?2α)，
解得：α=36°．
(3)∠GPE=2∠GEP．
证明：由(2)可知：
∠FGD'=∠FGN=2α，
∵GP平分∠MGF，
∴∠PGF=α，
∴∠GPE=∠PGF+∠GFP=2α，
∴∠GPE=2∠GEP．
7.【答案】解：∵在正方形ABCD中，AD=AB=2，∠A=90°，
∴BD=22，
∵将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，
∴C'D=CD=2，∠DC'E=∠C=90°，CE=C'E=C'B=22?2，
∴BE=2(22?2)=4?22．
8.【答案】解：(1)过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形，
∴GH=AB=8，AH=BG=10，由图形的折叠可知△BFG≌△EFG，
∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°；
∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠HEG=∠AFE，
又∵∠EHG=∠A=90°，
∴△EAF∽△GHE，
∴EFEG=AEGH，
∴EF=5，
∴S△EFG=12EF?EG=12×5×10=25．
(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF，
∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF，
∵EF//BG，
∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EF=EG，
∴BG=EF，
∴四边形BGEF为平行四边形，
又∵EF=EG，
∴平行四边形BGEF为菱形；
连接BE，
BE，FG互相垂直平分，
在Rt△EFH中，
EF=BG=10，EH=AB=8，
由勾股定理可得FH=AF=6，
∴AE=AF+EF=16，
∴BE=AE2+AB2=85，
∴BO=45，
∴OG=BG2?BO2=25，
∵四边形BGEF是菱形，
∴FG=2OG=45，
答：折痕GF的长是45．
9.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，
由折叠可知，AD=AF=5，DE=EF，
∴BF=AF2?AB2=52?42=3，
∴FC=BC?BF=5?3=2，
设EF=DE=x，则CE=4?x，
∵CF2+CE2=EF2，
∴22+(4?x)2=x2，
解得：x=52，
∴DE=52，
∴AE=AD2+DE2=52+(52)2=552；
(2)∵EC：FC=3：4，
∴设EC=3x，则FC=4x，
∴EF=CF2+CE2=5x，
∴DE=5x，
∴AB=CD=8x，
设AF=AD=y，则BF=y?4x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴(8x)2+(y?4x)2=y2，
解得y=10x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
∴(10x)2+(5x)2=(55)2，
解得x=1或x=?1(舍去)，
∴AD=10，AB=8，
∴矩形ABCD的周长为(10+8)×2=36．
10.【答案】解：根据翻折的性质可知：AB=CD'，∠AFB=∠CFD'，∠B=∠D'，
∴△CFD'≌△AFB，
∴BF=D'F，
设D'F=x，则FC=6?x，
在Rt△CFD'中，CF2=D'F2+CD'2，即为(6?x)2=x2+32，
解之得：x=94，
∴FC=BC?FB=6?94=154，
所以S△AFC=12?AB?FC=12×3×154=458．
11.【答案】解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB//DC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
由翻折可知：EC⊥BP，EP=BE=AE，
∴∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP．
在△ABP中，∠EAP+∠EPA+∠EPB+∠EBP=180°，
∴∠EPA+∠EPB=∠APB=90°，
∴EC//AF，∴四边形AECF为平行四边形．
(2)证明：∵△AEP是等边三角形，
∴AP=EP=AE，∠PAB=∠AEP=∠EPA=60°，∴∠PEC=∠BEC=60°．
由折叠的性质可得∠EPC=∠EBC=90°．
由(1)知∠APB=90°，∴∠APB=∠EPC.在△APB和△EPC中，
∵∠PAB=∠PEC,AP=EP,∠APB=∠EPC,∴△APB≌△EPC(ASA)．
(3)∵AB=6，BC=4，E是边AB的中点，∴AE=BE=12AB=3．
在Rt△BEC中，EC=BE2+BC2=5．
∵四边形AECF为平行四边形，∴AF=EC=5．
如图，设CE与BP交于点H．
∵BE·BC=EC·BH，∴BH=125，∴PH=BH=125，∴BP=245．
在△BPA中，AP=AB2?BP2=185，∴PF=75．
过点C作CG⊥AF交其延长线于点G，∴CG=PH=125，
∴△CPF的面积S=12PF·CG=12×75×125=4225．
12.【答案】解：(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，
又∵EF//AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形BFEP为菱形；
(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE=BC=5cm，
在Rt△CDE中，DE=CE2?CD2=4cm，
在Rt△APE中，AE=1，AP=3?PB=3?PE，
∴EP2=12+(3?EP)2，
解得：EP=53cm，
∴菱形BFEP的边长为53cm；
②当点Q与点C重合时，如图2：
点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm；
当点P与点A重合时，如图3所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，
∴AE的长的取值范围是1cm≤AE≤3．
13.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠B'=90°，AD=CB=AB'，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B'AE+∠EAF=90°，
∴∠DAF=∠B'AE，
在△ADF和△AB'E中，
∠D=∠B'AD=AB'∠DAF=∠B'AE，
∴△ADF≌△AB'E(ASA)．
(2)由折叠性质得FA=FC，
设FA=FC=x，则DF=DC?FC=18?x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
∴122+(18?x)2=x2．
解得x=13.?
∵△ADF≌△AB'E(已证)，
∴AE=AF=13，
∴S△AEF=12?AE?AD=12×12×13=78．
14.【答案】解：(1)设CE=xcm，EF=(8?x)cm，
在Rt△ABF中，BF=102?82=6cm，
(2)∵CF=10?6=4cm．
∴在Rt△ECF中，EF2=CE2+CF2，即(8?x)2=x2+42，
解得x=3．
故EC的长为3cm．
15.【答案】解：由折叠可知，AE=AD=5，
在Rt△ABE中，BE=AE2?AB23，
∴EC=BC?BE=2，
设CF=x，DF=4?x，由折叠的性质，EF=DF=4?x
在Rt△EFC中，CF2+CE2=EF2，即x2+22=(4?x)2，
解得，x=32，
∴△CFE的面积=12×CE×CF=32．