苏教版高中数学必修一2.2函数的简单性质
一、单选题
1．（2018高一上·民乐期中）下列函数在 上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018高一上·慈溪期中）下列函数中，既是奇函数，又在 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018高一上·鹤岗期中）已知函数 在 上为奇函数，且当 时， ，则 （ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．2
4．（2017高一上·芒市期中）已知函数f（x）是定义在[1，4]上的减函数，且f（m）＞f（4﹣m），则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，3] B．[1，2） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
5．（2018·全国Ⅱ卷文）已知 是定义域为 的奇函数，满足 。若 ，则 （ ）
A．-50 B．0 C．2 D．50
6．（2019高一下·深圳期末）已知函数f(x)=m·2x+x+m2-2，若存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则实数m的取值范围为（ ）
A．(-∞，-2]U(0，1] B．[-2，0)U(0，1]
C．[-2，0)U[1，+∞) D．(-∞，-2]U[1，+∞)
7．（函数单调性的性质+++++++++++++2 ）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，那么不等式f（x+1）＞3的解集是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
8．偶函数在区间[0，4]上单调递减，则有( )
A． B．
C． D．
9．（2018高一上·慈溪期中）已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 （ ）
A．-2018 B．0 C．2 D．50
10．（人教新课标A版必修1数学1.3.2奇偶性同步检测）已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，则a=f（2010），b=f（ ），c=﹣f（ ）的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c
二、填空题
11．（2019高一上·沈阳月考）若函数 是奇函数，则 =（ ）
A．2 B． C．3 D．4
12．（2017高一上·长春期中）已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则（ ）
A． ，b=0 B．a=﹣1，b=0
C．a=1，b=1 D．a= ，b=﹣1
13．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是 ．
14．（2019高一上·榆林期中）若函数 是偶函数，则 等于 .
15．（2016高一下·孝感期中）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
16．（2018高一上·安庆期中）判断函数f（x）＝ 在区间（1，＋∞）上的单调性，并用单调性定义证明．
17．（人教新课标A版必修1数学1.3.1单调性与最大(小)值同步检测）已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．
18．已知定义在[﹣3，3]上的函数y=f（x）是增函数．
（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；
（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1＞0．
19．（2017高一上·芒市期中）已知函数f（x）=ax+ 的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；
（3）求f（x）在区间[ ，1]上的值域．
20．（高中数学人教新课标A版 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性）已知定义在 上的函数满足 ，当 时， .
（1）求证： 为奇函数；
（2）求证： 为 上的增函数；
（3）解关于 的不等式： (其中 且 为常数).
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】在 上，B、C、D都是减函数，只有A是增函数，
故答案为：A．
【分析】根据已知条件以及选项中的函数可以得出B、C、D都是减函数。
2．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】A. ， f(-x)=-x- =-f(x)，故函数是奇函数，在（0，1）上是增函数，在（1， ）上是减函数；故不正确；
B. ， f(-x)= ，故函数不是奇函数，且在（2， ）上为减，故不正确；
C． ，f(-x)= ，函数不是奇函数，在（2， ）上是增函数；故不正确；
D. ， =- ，是奇函数，在 上为增函数，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据常用基本函数的单调性确定函数的单调性，根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】奇函数
【解析】【解答】由题意，可知哈市 上的奇函数，且当 时， ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】将x=1，代入x≥0的解析式，求出f（1），再根据函数奇偶性，即可求出f（-1）.
4．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：∵f（x）是定义在[1，4]上的减函数，且f（m）＞f（4﹣m），
∴ ，即 ，即1≤m＜2，
即实数m的取值范围是[1，2），
故答案为：B．
【分析】根据函数在指定区间上的增减性，利用减函数的定义可得结果。
5．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】∵f（1-x）=f（1+x）
∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数
∴f（x）是一个周期函数，且T=4
又f（1）=2 f（x）= f（2-x）
∴f（2）=f（0）=0
f（3）=f（-1）=-f（1）=-2 f（4）=f（0）=0
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0
∴原式f（1）+f（2）+…+ f（50）=f（1）+f（2）=2
故答案为：C
【分析】根据函数的对称性、奇偶性求出函数的周期数是4.
6．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由题意知,方程有解，
则，
化简得,，
即。
∵，
∴
当时，化简得，解得;
当时，化简得，解得
综上所述的取值范围为
故答案为：A
【分析】根据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出，再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围。
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，
因为当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，
所以f（﹣x）=x2+2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=x2+2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（|x+1|）=f（x+1），
则f（x+1）＞3可化为f（|x+1|）＞3，即|x+1|2+2|x+1|＞3，（|x+1|+3）（|x+1|﹣1）＞0，
所以|x+1|＞1，解得：x＞0或x＜﹣2，
所以不等式f（x+1）＞3的解集是{x|x＞0或x＜﹣2}，
故选：B．
【分析】先求出x＞0时的解析式，由偶函数性质得：f（﹣x）=f（x），则f（x+1）＞3可变为f（|x+1|）＞3，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+1|的范围，再求x范围即可．
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】首先将三个数统一到一个单调区间上.因为函数数是偶函数.所以.由此比较三个数的大小.因为函数在区间[0，4]上单调递减，所以在[-4，0]上为增函数.所以.即.所以选A.
9．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则
=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）+f（2018）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故答案为：C．
【分析】根据 ，确定函数的周期性，结合函数奇偶性，将函数值进行转化，即可求出相应的值.
10．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】解答：∵y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，
∴4为函数的一个周期，
又∵对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，
∴a=f（2010）=f（2）=﹣f（0）
b=f（ ）=﹣f（ ），
c=﹣f（ ）
∵0＜ ＜ ＜1
∴f（ ）＞f（ ）＞f（0）
∴b＜c＜a
故选A
分析：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出=f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．
11．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数 是奇函数
所以 即
得
故答案为：
【分析】由函数 是奇函数，则 构造方程，解得 的值.
12．【答案】A
【知识点】偶函数
【解析】【解答】解：因为f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，所以定义域关于原点对称，所以a﹣1+2a=0，解得a= ．
所以f（x）= x2+bx+1+b，因为函数为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），
即） x2﹣bx+1+b= x2+bx+1+b，所以2bx=0，解得b=0．
故答案为：A．
【分析】根据偶函数的定义及抛物线的对称轴来解题.函数的定义域关于原点对称且对定义域内任意x有f(-x)=f(x).
13．【答案】{x|x≥3或x≤1}
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，
∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），
即|x﹣2|≥1，
即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，
即x≥3或x≤1，
故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，
故答案为：{x|x≥3或x≤1}．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
14．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由于函数 是偶函数，
所以 即 ，
所以 恒成立，所以 .
【分析】利用偶函数的定义可得实数 的值.
15．【答案】（﹣2，1）
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在R上单调递增．
∵f（2﹣a2）＞f（a），
∴2﹣a2＞a，
解不等式可得，﹣2＜a＜1，
故答案为：（﹣2，1）．
【分析】题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围．
16．【答案】解：取任意的x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，则 f（x1）－f（x2）＝ － ＝ ＝ ． ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0． 又∵x1，x2∈（1，＋∞），∴x2＋x1＞0， －1＞0， －1＞0， ∴（ －1）（ －1）＞0．（x2＋x1）（x2－x1）＞0 ∴f（x1）－f（x2）＞0． 根据定义知：f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】根据单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论逐步进行验证即可.
17．【答案】解： ∵f（x）=8+2x﹣x2∴g（x）=f（2﹣x2）=﹣x4+2x2+8 g'（x）=﹣4x3+4x 当g'（x）＞0 时，﹣1＜x＜0或x＞1 当g'（x）＜0时，x＜﹣1或0＜x＜1 故函数g（x）的增区间为：（﹣1，0）和（1，+∞） 减区间为：（﹣∞，﹣1）和（0，1）
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】 【分析】先求出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，当导数大于0时为单调增区间，当导数小于0时单调递减．
18．【答案】解：由题意可得，，求得﹣1≤m＜2，
即m的范围是[﹣1，2）．
（2）∵函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，
∵f（x+1）+1＞0，
∴f（x+1）＞﹣1，
∴f（x+1）＞f（﹣2），
∴，∴﹣3＜x≤2．
∴不等式的解集为{x|﹣3＜x≤2}．
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）由题意可得，，由此解不等式组求得m的范围．
（2）由题意可得f（x+1）＞f（﹣2），所以，即可得出结论．
19．【答案】（1）解：∵f（x）的图象过A（1，1）、B（2，﹣1），
∴ ，解得 ，
∴
（2）证明：设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=（﹣x1+ ）﹣（﹣x2+ ）
=（x2﹣x1）+ =
由x1，x2∈（0，+∞）得，x1x2＞0，x1x2+2＞0．
由x1＜x2得，x2﹣x1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数 在（0，+∞）上为减函数
（3）解：由（2）知，函数 在[ ，1]上为减函数，
∴f（x）min=f（1）=1， ，
∴f（x）的值域是
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出函数的解析式。（2）根据函数单调性的定义证明即可。（3）利用函数的单调性定义可得结果。
20．【答案】（1）解：由题意知 ，令 ，得 ，即 .
再令 ，即 ，得 .
∴ ，
∴ 是奇函数
（2）解：设 ，且 ，则 .
由已知得： ，
∴ ，
∴ .
即 在 上是增函数
（3）解：∵ ，∴ ，
∴ .
即 .
∵ ，∴ .
当 ，即 时，所求不等式的解集为 或 .
当 ，即 时， 所求不等式的解集为 .
当 ，即 时， 所求不等式的解集为 或
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】(1)抽象函数的奇偶性判断，可由函数所满足的条件，取特殊值，得到f(x)与f(-x)的关系进行判断；
(2)抽象函数的单调性，用定义证明；
(3)将函数不等式进行转化为标准型，由单调性脱去f得到关于x的含参数a的不等式，分类讨论求解，得解集.
1 / 1苏教版高中数学必修一2.2函数的简单性质
一、单选题
1．（2018高一上·民乐期中）下列函数在 上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】在 上，B、C、D都是减函数，只有A是增函数，
故答案为：A．
【分析】根据已知条件以及选项中的函数可以得出B、C、D都是减函数。
2．（2018高一上·慈溪期中）下列函数中，既是奇函数，又在 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】A. ， f(-x)=-x- =-f(x)，故函数是奇函数，在（0，1）上是增函数，在（1， ）上是减函数；故不正确；
B. ， f(-x)= ，故函数不是奇函数，且在（2， ）上为减，故不正确；
C． ，f(-x)= ，函数不是奇函数，在（2， ）上是增函数；故不正确；
D. ， =- ，是奇函数，在 上为增函数，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据常用基本函数的单调性确定函数的单调性，根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，逐一判断即可.
3．（2018高一上·鹤岗期中）已知函数 在 上为奇函数，且当 时， ，则 （ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】奇函数
【解析】【解答】由题意，可知哈市 上的奇函数，且当 时， ，
则 ，
故答案为：C.
【分析】将x=1，代入x≥0的解析式，求出f（1），再根据函数奇偶性，即可求出f（-1）.
4．（2017高一上·芒市期中）已知函数f（x）是定义在[1，4]上的减函数，且f（m）＞f（4﹣m），则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，3] B．[1，2） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：∵f（x）是定义在[1，4]上的减函数，且f（m）＞f（4﹣m），
∴ ，即 ，即1≤m＜2，
即实数m的取值范围是[1，2），
故答案为：B．
【分析】根据函数在指定区间上的增减性，利用减函数的定义可得结果。
5．（2018·全国Ⅱ卷文）已知 是定义域为 的奇函数，满足 。若 ，则 （ ）
A．-50 B．0 C．2 D．50
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】∵f（1-x）=f（1+x）
∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数
∴f（x）是一个周期函数，且T=4
又f（1）=2 f（x）= f（2-x）
∴f（2）=f（0）=0
f（3）=f（-1）=-f（1）=-2 f（4）=f（0）=0
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0
∴原式f（1）+f（2）+…+ f（50）=f（1）+f（2）=2
故答案为：C
【分析】根据函数的对称性、奇偶性求出函数的周期数是4.
6．（2019高一下·深圳期末）已知函数f(x)=m·2x+x+m2-2，若存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则实数m的取值范围为（ ）
A．(-∞，-2]U(0，1] B．[-2，0)U(0，1]
C．[-2，0)U[1，+∞) D．(-∞，-2]U[1，+∞)
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由题意知,方程有解，
则，
化简得,，
即。
∵，
∴
当时，化简得，解得;
当时，化简得，解得
综上所述的取值范围为
故答案为：A
【分析】根据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出，再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围。
7．（函数单调性的性质+++++++++++++2 ）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，那么不等式f（x+1）＞3的解集是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，
因为当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，
所以f（﹣x）=x2+2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=x2+2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（|x+1|）=f（x+1），
则f（x+1）＞3可化为f（|x+1|）＞3，即|x+1|2+2|x+1|＞3，（|x+1|+3）（|x+1|﹣1）＞0，
所以|x+1|＞1，解得：x＞0或x＜﹣2，
所以不等式f（x+1）＞3的解集是{x|x＞0或x＜﹣2}，
故选：B．
【分析】先求出x＞0时的解析式，由偶函数性质得：f（﹣x）=f（x），则f（x+1）＞3可变为f（|x+1|）＞3，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+1|的范围，再求x范围即可．
8．偶函数在区间[0，4]上单调递减，则有( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】首先将三个数统一到一个单调区间上.因为函数数是偶函数.所以.由此比较三个数的大小.因为函数在区间[0，4]上单调递减，所以在[-4，0]上为增函数.所以.即.所以选A.
9．（2018高一上·慈溪期中）已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 （ ）
A．-2018 B．0 C．2 D．50
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则
=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）+f（2018）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故答案为：C．
【分析】根据 ，确定函数的周期性，结合函数奇偶性，将函数值进行转化，即可求出相应的值.
10．（人教新课标A版必修1数学1.3.2奇偶性同步检测）已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，则a=f（2010），b=f（ ），c=﹣f（ ）的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】解答：∵y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，
∴4为函数的一个周期，
又∵对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，
∴a=f（2010）=f（2）=﹣f（0）
b=f（ ）=﹣f（ ），
c=﹣f（ ）
∵0＜ ＜ ＜1
∴f（ ）＞f（ ）＞f（0）
∴b＜c＜a
故选A
分析：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出=f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．
二、填空题
11．（2019高一上·沈阳月考）若函数 是奇函数，则 =（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数 是奇函数
所以 即
得
故答案为：
【分析】由函数 是奇函数，则 构造方程，解得 的值.
12．（2017高一上·长春期中）已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则（ ）
A． ，b=0 B．a=﹣1，b=0
C．a=1，b=1 D．a= ，b=﹣1
【答案】A
【知识点】偶函数
【解析】【解答】解：因为f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，所以定义域关于原点对称，所以a﹣1+2a=0，解得a= ．
所以f（x）= x2+bx+1+b，因为函数为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），
即） x2﹣bx+1+b= x2+bx+1+b，所以2bx=0，解得b=0．
故答案为：A．
【分析】根据偶函数的定义及抛物线的对称轴来解题.函数的定义域关于原点对称且对定义域内任意x有f(-x)=f(x).
13．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是 ．
【答案】{x|x≥3或x≤1}
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，
∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），
即|x﹣2|≥1，
即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，
即x≥3或x≤1，
故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，
故答案为：{x|x≥3或x≤1}．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
14．（2019高一上·榆林期中）若函数 是偶函数，则 等于 .
【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由于函数 是偶函数，
所以 即 ，
所以 恒成立，所以 .
【分析】利用偶函数的定义可得实数 的值.
15．（2016高一下·孝感期中）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是 ．
【答案】（﹣2，1）
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在R上单调递增．
∵f（2﹣a2）＞f（a），
∴2﹣a2＞a，
解不等式可得，﹣2＜a＜1，
故答案为：（﹣2，1）．
【分析】题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围．
三、解答题
16．（2018高一上·安庆期中）判断函数f（x）＝ 在区间（1，＋∞）上的单调性，并用单调性定义证明．
【答案】解：取任意的x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，则 f（x1）－f（x2）＝ － ＝ ＝ ． ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0． 又∵x1，x2∈（1，＋∞），∴x2＋x1＞0， －1＞0， －1＞0， ∴（ －1）（ －1）＞0．（x2＋x1）（x2－x1）＞0 ∴f（x1）－f（x2）＞0． 根据定义知：f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】根据单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论逐步进行验证即可.
17．（人教新课标A版必修1数学1.3.1单调性与最大(小)值同步检测）已知f（x）=8+2x﹣x2，g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．
【答案】解： ∵f（x）=8+2x﹣x2∴g（x）=f（2﹣x2）=﹣x4+2x2+8 g'（x）=﹣4x3+4x 当g'（x）＞0 时，﹣1＜x＜0或x＞1 当g'（x）＜0时，x＜﹣1或0＜x＜1 故函数g（x）的增区间为：（﹣1，0）和（1，+∞） 减区间为：（﹣∞，﹣1）和（0，1）
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】 【分析】先求出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，当导数大于0时为单调增区间，当导数小于0时单调递减．
18．已知定义在[﹣3，3]上的函数y=f（x）是增函数．
（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；
（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1＞0．
【答案】解：由题意可得，，求得﹣1≤m＜2，
即m的范围是[﹣1，2）．
（2）∵函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，
∵f（x+1）+1＞0，
∴f（x+1）＞﹣1，
∴f（x+1）＞f（﹣2），
∴，∴﹣3＜x≤2．
∴不等式的解集为{x|﹣3＜x≤2}．
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）由题意可得，，由此解不等式组求得m的范围．
（2）由题意可得f（x+1）＞f（﹣2），所以，即可得出结论．
19．（2017高一上·芒市期中）已知函数f（x）=ax+ 的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；
（3）求f（x）在区间[ ，1]上的值域．
【答案】（1）解：∵f（x）的图象过A（1，1）、B（2，﹣1），
∴ ，解得 ，
∴
（2）证明：设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=（﹣x1+ ）﹣（﹣x2+ ）
=（x2﹣x1）+ =
由x1，x2∈（0，+∞）得，x1x2＞0，x1x2+2＞0．
由x1＜x2得，x2﹣x1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数 在（0，+∞）上为减函数
（3）解：由（2）知，函数 在[ ，1]上为减函数，
∴f（x）min=f（1）=1， ，
∴f（x）的值域是
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出函数的解析式。（2）根据函数单调性的定义证明即可。（3）利用函数的单调性定义可得结果。
20．（高中数学人教新课标A版 必修1 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性）已知定义在 上的函数满足 ，当 时， .
（1）求证： 为奇函数；
（2）求证： 为 上的增函数；
（3）解关于 的不等式： (其中 且 为常数).
【答案】（1）解：由题意知 ，令 ，得 ，即 .
再令 ，即 ，得 .
∴ ，
∴ 是奇函数
（2）解：设 ，且 ，则 .
由已知得： ，
∴ ，
∴ .
即 在 上是增函数
（3）解：∵ ，∴ ，
∴ .
即 .
∵ ，∴ .
当 ，即 时，所求不等式的解集为 或 .
当 ，即 时， 所求不等式的解集为 .
当 ，即 时， 所求不等式的解集为 或
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】(1)抽象函数的奇偶性判断，可由函数所满足的条件，取特殊值，得到f(x)与f(-x)的关系进行判断；
(2)抽象函数的单调性，用定义证明；
(3)将函数不等式进行转化为标准型，由单调性脱去f得到关于x的含参数a的不等式，分类讨论求解，得解集.
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