初中数学北师大版八年级下学期 第三章 3.3 中心对称
一、单选题
1．（2020九上·河西期末）下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·甘井子期末）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． 圆 B． 等边三角形
C． 平行四边形 D． 正方形
3．（2021九上·连山期末）下列图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020八下·丹东期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．正五边形
C．平行四边形 D．等腰直角三角形
5．（2020九上·邯郸月考）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2020八上·遵化月考）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
7．（2020九上·台州期中）如图，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，则点E坐标是（ ）
A．( 3, 1) B．( 3, 3) C．( 3,0) D．( 4, 1)
8．（2020七下·淮阳期末）如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O作EF分别交AD，BC于点E，F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于点O的对应点；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
二、填空题
9．（2020八下·丰县月考）如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转 °后能与△DEF重合.
10．（2020九上·定西期末）如图， 与 关于点 成中心对称，若 ，则 .
11．（2020九上·潮南期末）若点P（﹣2，b）与点M（a，3）关于原点对称，则a+b＝ ．
12．已知A,B,O三点不共线，如果点C与点A关于点O对称,点D与点B关于点O对称,那么线段AB与CD的关系是 .
13．（2019八下·港南期中）矩形是中心对称图形，对矩形ABCD而言，点A的对称点是点 .
14．（2019九上·椒江期末）在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A(－2,3) 关于点O中心对称，则点B 的坐标为 .
15．如图,已知 与 成中心对称， 的面积是32,AB=16，则 中,CD边上的高为 .
16．（2020八下·镇江月考）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为 .
三、解答题
17．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．
18．在直角坐标平面内，已知点A（3，0）、B（2，3），点B关于原点对称点为C．
（1）写出C点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
19．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
21．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA，OB于点M，N，若PM=PN=3，MN=4，求线段QR的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.属于中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项不合题意；
故答案为：B
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图形是中心对称图形；
第二个图形不是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形.
故共2个中心对称图形.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，逐项进行判断，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故答案为：C．
【分析】根据把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，俺么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案。
6．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵此图形是中心对称图形，
∴对称中心是线段FC的中点．
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段CF或BE的中点即得结论.
7．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：连接B1B，C1C,
∵△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称 ，
∴B1B，C1C交于点E,
∴点E（-3，-1）.
故答案为：A.
【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，观察可得点E的坐标。
8．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】△ABC与△CDA关于点O对称是两个图形的关系，但我们将这两个图形看成一个整体，那么它就是一个以O点为对称中心的中心对称图形，故③正确；
E与F，B与D关于O点对称，图形上的两点的连线若经过对称中心，这两点就是对应点，同时对应点的连线必经过对称中心，所以①②都正确；
四边形DEOC与四边形BFOA是四对对应点所围成的图形，面积必相等，△AOE与△COF也是对应点所围成的图形，所以它们成中心对称，故④和⑤都正确；
故正确的有5个.
故答案为：D.
【分析】由于△ABC和△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形是中心对称图形，而且对称中心是对角线交点，据此逐一进行分析判断即可.
9．【答案】180
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：因为△ABC和△DEF关于点G成中心对称，所以△ABC绕点G旋转180°后能与△DEF重合.
故答案为：180.
【分析】根据中心对称的定义可知：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，根据定义即可得出答案.
10．【答案】2
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： 与△DEC关于点 成中心对称，
.
故答案为：2.
【分析】根据中心对称的定义可得AB=DE，从而即可求值.
11．【答案】﹣1
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点P（﹣2，b）与Q（a，3）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b的值为：2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】利用关于原点对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．
12．【答案】平行且相等
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】 解：如图，
∵AO=BO，DO=BO，
故答案为： 平行且相等 .
【分析】根据中心对称的性质，可得AO=BO，DO=BO，利用对角线互相平分可证四边形ABCD是平行四边形，从而得出答案.
13．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，点A的对称点是点C，
故答案为：C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据定义可知点A的对称点是点C。
14．【答案】（2，-3）
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵ B与点A(－2,3) 关于点O中心对称，
∴B（2，-3）.
故答案为：（2，-3）.
【分析】根据点关于原点对称的坐标特征：横、纵坐标变为原来的相反数，由此即可得出答案.
15．【答案】16
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： ∵ 与 成中心对称，∴△AOB≌△DOC，
∴S△AOB=S△DOC=32，CD=AB=16，
∴CD边上的高为32×2÷16=4.
故答案为：16.
【分析】根据中心对称的性质，可得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质可得S△AOB=S△DOC=32，CD=AB=16，由三角形的面积公式即可求出结论.
16．【答案】4
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵△ABC与△AB'C'关于点A对称，
∴AB=AB'，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2，
∴AB‘=2AB=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】由中心图形的特点可知AB和AB'相等，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半可求AB的长，则AB’的长度可求.
17．【答案】解：连接BB′，找BB′中点O或者连接BB′、CC′，交点为对称中心O．
如图所示：
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】分别连接BB′和CC′，两条线段的交点即为两个图形的对称中心。
18．【答案】解：（1）B（2，3）关于原点对称点为C（﹣2，﹣3）；
（2）∵S△AOB= =，
S△AOC==，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC=9．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案；
（2）分别计算出△AOB和△AOC的面积，再求和即可．
19．【答案】（1）解：图中△ADC和三角形EDB成中心对称。
（2）解：∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8。
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的定义易知：图中△ADC和△EDB成中心对称。
（2）由（1）知△ADC和△EDB成中心对称，所以=，又因为D为BC的中点，即AD为△ABC的中线，把△ABC分成面积相等的两部分，所以=，最后求得。
20．【答案】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE，
∵△ABC的面积为5cm2，
∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2；
（3）∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四边形ABDE为矩形．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
21．【答案】解：∵点P与Q关于OA对称，
∴OA垂直平分PQ，
∴PM=MQ=3．
同理可得：PN=NR=3．
∵MN=4，
∴MQ+QN=4，
∴QN=4﹣MQ=4﹣3=1，
∴QR=QN+NR=1+3=4．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据轴对称的性质“
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”可得
PM=MQ ，
PN=NR 则
QR=QN+NR ，将已知条件代入计算即可求解。
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一、单选题
1．（2020九上·河西期末）下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
2．（2021九上·甘井子期末）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． 圆 B． 等边三角形
C． 平行四边形 D． 正方形
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.属于中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项不合题意；
故答案为：B
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
3．（2021九上·连山期末）下列图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图形是中心对称图形；
第二个图形不是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形.
故共2个中心对称图形.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
4．（2020八下·丹东期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．正五边形
C．平行四边形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，逐项进行判断，即可求解.
5．（2020九上·邯郸月考）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①、②、③、④的某个位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形.这个位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故答案为：C．
【分析】根据把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，俺么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案。
6．（2020八上·遵化月考）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵此图形是中心对称图形，
∴对称中心是线段FC的中点．
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段CF或BE的中点即得结论.
7．（2020九上·台州期中）如图，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，则点E坐标是（ ）
A．( 3, 1) B．( 3, 3) C．( 3,0) D．( 4, 1)
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：连接B1B，C1C,
∵△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称 ，
∴B1B，C1C交于点E,
∴点E（-3，-1）.
故答案为：A.
【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，观察可得点E的坐标。
8．（2020七下·淮阳期末）如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O作EF分别交AD，BC于点E，F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于点O的对应点；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】△ABC与△CDA关于点O对称是两个图形的关系，但我们将这两个图形看成一个整体，那么它就是一个以O点为对称中心的中心对称图形，故③正确；
E与F，B与D关于O点对称，图形上的两点的连线若经过对称中心，这两点就是对应点，同时对应点的连线必经过对称中心，所以①②都正确；
四边形DEOC与四边形BFOA是四对对应点所围成的图形，面积必相等，△AOE与△COF也是对应点所围成的图形，所以它们成中心对称，故④和⑤都正确；
故正确的有5个.
故答案为：D.
【分析】由于△ABC和△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形是中心对称图形，而且对称中心是对角线交点，据此逐一进行分析判断即可.
二、填空题
9．（2020八下·丰县月考）如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转 °后能与△DEF重合.
【答案】180
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：因为△ABC和△DEF关于点G成中心对称，所以△ABC绕点G旋转180°后能与△DEF重合.
故答案为：180.
【分析】根据中心对称的定义可知：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，根据定义即可得出答案.
10．（2020九上·定西期末）如图， 与 关于点 成中心对称，若 ，则 .
【答案】2
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： 与△DEC关于点 成中心对称，
.
故答案为：2.
【分析】根据中心对称的定义可得AB=DE，从而即可求值.
11．（2020九上·潮南期末）若点P（﹣2，b）与点M（a，3）关于原点对称，则a+b＝ ．
【答案】﹣1
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点P（﹣2，b）与Q（a，3）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b的值为：2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】利用关于原点对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．
12．已知A,B,O三点不共线，如果点C与点A关于点O对称,点D与点B关于点O对称,那么线段AB与CD的关系是 .
【答案】平行且相等
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】 解：如图，
∵AO=BO，DO=BO，
故答案为： 平行且相等 .
【分析】根据中心对称的性质，可得AO=BO，DO=BO，利用对角线互相平分可证四边形ABCD是平行四边形，从而得出答案.
13．（2019八下·港南期中）矩形是中心对称图形，对矩形ABCD而言，点A的对称点是点 .
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，点A的对称点是点C，
故答案为：C.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据定义可知点A的对称点是点C。
14．（2019九上·椒江期末）在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A(－2,3) 关于点O中心对称，则点B 的坐标为 .
【答案】（2，-3）
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵ B与点A(－2,3) 关于点O中心对称，
∴B（2，-3）.
故答案为：（2，-3）.
【分析】根据点关于原点对称的坐标特征：横、纵坐标变为原来的相反数，由此即可得出答案.
15．如图,已知 与 成中心对称， 的面积是32,AB=16，则 中,CD边上的高为 .
【答案】16
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： ∵ 与 成中心对称，∴△AOB≌△DOC，
∴S△AOB=S△DOC=32，CD=AB=16，
∴CD边上的高为32×2÷16=4.
故答案为：16.
【分析】根据中心对称的性质，可得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质可得S△AOB=S△DOC=32，CD=AB=16，由三角形的面积公式即可求出结论.
16．（2020八下·镇江月考）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为 .
【答案】4
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵△ABC与△AB'C'关于点A对称，
∴AB=AB'，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2，
∴AB‘=2AB=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】由中心图形的特点可知AB和AB'相等，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半可求AB的长，则AB’的长度可求.
三、解答题
17．如图，已知△ABC与△A′B′C′成中心对称图形，求出它的对称中心O．
【答案】解：连接BB′，找BB′中点O或者连接BB′、CC′，交点为对称中心O．
如图所示：
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】分别连接BB′和CC′，两条线段的交点即为两个图形的对称中心。
18．在直角坐标平面内，已知点A（3，0）、B（2，3），点B关于原点对称点为C．
（1）写出C点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】解：（1）B（2，3）关于原点对称点为C（﹣2，﹣3）；
（2）∵S△AOB= =，
S△AOC==，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC=9．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案；
（2）分别计算出△AOB和△AOC的面积，再求和即可．
19．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
【答案】（1）解：图中△ADC和三角形EDB成中心对称。
（2）解：∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8。
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的定义易知：图中△ADC和△EDB成中心对称。
（2）由（1）知△ADC和△EDB成中心对称，所以=，又因为D为BC的中点，即AD为△ABC的中线，把△ABC分成面积相等的两部分，所以=，最后求得。
20．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
【答案】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE，
∵△ABC的面积为5cm2，
∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2；
（3）∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四边形ABDE为矩形．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
21．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA，OB于点M，N，若PM=PN=3，MN=4，求线段QR的长．
【答案】解：∵点P与Q关于OA对称，
∴OA垂直平分PQ，
∴PM=MQ=3．
同理可得：PN=NR=3．
∵MN=4，
∴MQ+QN=4，
∴QN=4﹣MQ=4﹣3=1，
∴QR=QN+NR=1+3=4．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据轴对称的性质“
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”可得
PM=MQ ，
PN=NR 则
QR=QN+NR ，将已知条件代入计算即可求解。
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