2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第2章 解直角三角形》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第2章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（　　）
A．扩大3倍
B．缩小为原来的
C．不变
D．不能确定
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cosB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．3tan30°的值等于（　　）
A．1
B．
C．
D．2
4．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tanC的值是（　　）
A．
B．
C．1
D．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．5÷tan26°＝
B．5÷sin26°＝
C．5×cos26°＝
D．5×tan26°＝
6．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．sin240°+cos240°的值为（　　）
A．0
B．
C．1
D．2
8．下面四个数中，最大的是（　　）
A．
B．sin88°
C．tan46°
D．
9．角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（　　）
A．0＜sinα＜
B．0＜tanβ＜1
C．cosβ＜sinα
D．sinβ＜cosα
10．在直角△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB＝（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为　
　．
12．用科学计算器计算：2×sin15°×cos15°＝　
　．
13．用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，总结规律，并利用此规律比较当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα　
　cosβ．
14．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是　
　．
15．比较大小：tan40°　
　tan70°（填“＞”或“＜”）
16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为　
　．
17．已知sina＝（a为锐角），则tana＝　
　．
18．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点处，则tanB的值为　
　．
19．△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝　
　度．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么sinA＝　
　．
三．解答题
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．（1）计算：
++（﹣1）0﹣2sin45°；
（2）化简：．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
24．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．
25．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
26．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　
　cosα；若∠α＜45°，则sinα　
　cosα；若∠α＞45°，则sinα　
　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由题意，得
Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值不变，
故选：C．
2．解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝4，
∴cosB＝＝，
故选：A．
3．解：3tan30°＝3×＝．
故选：C．
4．解：∵在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，
∴∠C＝30°，
∴tanC＝．
故选：B．
5．解：由tan∠B＝，得
AC＝BC?tanB＝5×tan26°．
故选：D．
6．解：由图可得，直角三角形的斜边长＝＝5，
∴sinα＝，
故选：A．
7．解：sin240°+cos240°＝1．
故选：C．
8．解：A、﹣≈2.236﹣1.732≈0.504；
B、sin88°≈0.999；
C、tan46°≈1.036；
D、≈≈0.568．
故tan46°最大，
故选：C．
9．解：0°＜α＜β＜45°，
A、0＜sinα＜，是真命题，不符合题意；
B、0＜tanβ＜1，是真命题，不符合题意；
C、cosβ＞sinα，是假命题，符合题意；
D、sinβ＜cosα，是真命题，不符合题意；
故选：C．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
因为sinA＝，即＝，
不妨设a＝3k，则c＝5k，由勾股定理得，
b＝＝4k，
所以tanB＝＝，
故选：A．
二．填空题
11．解：由图形知：tan∠ACB＝＝，
故答案为：．
12．解：用计算器按MODE，有DEG后，按2×sin15×cos15＝显示结果为0.5．
故答案为0.5．
13．解：用计算器计算cos10°，cos20°，cos30°，…，cos90°的值，可发现在0°到90°之间，角越大，余弦值越小；故当0°＜α＜β＜90°时，cosα与cosβ的大小，即cosα＞cosβ．
故答案为＞．
14．解：连接AB，
∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，
∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，
∴cos∠AOB＝cos45°＝．
故答案为：．
15．解：∵tanα的值随着α的增大而增大，且40°＜70°，
∴tan40°＜tan70°，
故答案为：＜．
16．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
设a为3k，则c为5k，
根据勾股定理可得：b＝4k，
∴tanB＝＝，
故答案为：．
17．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，
由于sina＝＝，因此设BC＝5k，则AB＝13k，
由勾股定理得，AC＝＝＝12k，
∴tanα＝tanA＝＝＝，
故答案为：．
18．解：如图：，
由正切函数的定义，得
tanB＝＝＝1．
故答案为：1．
19．解：由题意知sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝30°．
∴∠C＝105°．
20．解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，得
A＝45°．
sinA＝sin45°，
故答案为：．
三．解答题
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝．
23．解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
24．解：作PC⊥x轴于C．
∵tanα＝，OC＝6
∴PC＝8．
则OP＝10．
则sinα＝．
25．解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE+∠BFC＝90°，
而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC＝90°，
易得∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC，
根据折叠的性质，有CF＝CD，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理易得：BF＝6，
则tan∠BCF＝；
故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝；
答：tan∠AFE＝．
26．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
27．解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴，
∵DF∥AB，，
∴，（1分）
∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）
（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE＝x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∵∠B＝∠A，
∴∠AEH＝∠A，，（1分）
∴，
又可证△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
∴；（2分）
（3）∵，CD＝3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC两种可能．（1分）
当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF＝6；（2分）
当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC＝90°，
∵∠FDC+∠F＝90°，
∴∠F＝∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF＝1，∴BF＝7，（2分）
综上所述，BF为6或7．