(共35张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
学习目标
1、通过实例理解图形全等的概念.
2、通过实例理解图形全等的特征.
3、识别图形的全等．
请欣赏图片（一）
两个能够重合的图形称为全等图形。
这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合。你能分别从图中找出这样的图形吗？
全等图形的概念：
全等图形的形状和大小都相同
形状相同
大小不同
面积相同形状不同
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
议一议：
观察下列各组图形是不是全等图形 为什么
1.
2.
3.
4.
不全等
全等
全等
不全等
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（10）
（ 6 ）
（11）
（12）
（13）
（7）
（8）
（9）
（15）
(14)
答：（2） 和（4）、
（5）和（14）
（3）和（12）、
（6）和（15）、
（8）和（11）
观察下列各组图形是不是全等图形 为什么
(1)
观察下图，从中找出全等图形，与同学交流。
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
全等图形有： （1）和（9）、（2）和（8）、（3）和（6）。
议一议：
1、说说你生活中见过的全等图形的例子。
同一张底片洗出的相同尺寸的照片
做一做
P 130
沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形 （至少找出两种方法），并与同伴交流。
1、如图，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成一个与大“L”全等的图案。
随堂练习：
2、从图中找出两对全等的图形，与同伴交流.
随堂练习：
在这个平行四边形的四条边上找两点（不能是各边的中点，也不能是顶点），使得连结这两点的线段把这个平行四边形分成两个全等的图形。
练一练：
图1
做一做1：
如图1 ，你能将它分成两个全等的图形吗？可以用几种方法？能将它分成四个全等的图形吗？可以用几种方法呢？
了解世界：
M.C.埃舍尔把自己称为一个“图形艺术家”,他专门从事于木板画。在1956年举办的历次画展得到了许多数学家的称赏，在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。
艺术家M.C.埃舍尔
问题解决
1、如图，剪一个三角形纸片，使它的三个内角都是60°，取
三边的中点，以虚线为
折痕折叠纸片.你认为
图中阴影部分的面积是
整个图形面积的几分之
几？你是怎样知道的？
3、如何把一个长方形
分成4个全等的三角形？
4、你能将一个等腰三角形
分成两个全等的图形吗？
2、有一个正方形，
怎样把它分成4个全等的三角形？
5、如图，Δ APB 与Δ CPD全等，
（1）相等的边是AB=CD， ；
（2）相等的角是：
∠A=∠C, .
A
B
P
D
C
AP=CP
BP=DP
∠B= ∠D
∠APB=∠CPD
通过这节课的学习，你对
全等图形有哪些认识？
1 两个能够重合的图形称为全等图形.
全等图形的两个重要特点是
全等图形的形状和大小都相同.
习题5.5
知识技能：第1、2、3题
问题解决：第1题
课课精练
作业
谢 谢
祝愿同学们
快乐学习! 快乐生活!(共19张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
你能帮他想个办法吗？
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.
你相信他的结论吗？
已知线段a，c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠α，CB=a，AB=c.
a
c
α
作法:
⑴ 作∠MCN=∠α=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，
交射线CN于点A;
⑷ 连接AB.
C
M
N
B
A
a
c
△ABC即为所求作的三角形.
C
M
N
B
A
a
c
如何判断你所作的三角形和其他同学所作的三角形是否全等？
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
C
M
N
B
A
a
c
剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形
进行比较，完全重合说明这两个三角形全等。
（全等三角形定义）
测量AC的长度，若相等，说明这两个三角形全等。
（SSS）
测量∠CBA的大小，若相等，说明这两个三角形全等。
（SAS或ASA或AAS）
你现在能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
SSS
SAS
AAS
ASA
HL
前四个判定方法都需要三个条件，
而“HL”只有两个条件，你怎么看？
因为“HL”即“斜边、直角边”的前提是直角三角形，所以这个方法其实也需要三个条件。
注意：“HL” 只适合判定直角三角形全等。
一般方法：
特殊方法：
(1) _______,∠A=∠D ( ASA )
(2) AC=DF, ________ (SAS)
(3) AB=DE, BC=EF ( )
(4) AC=DF, __ ____ ( HL )
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )
(6) _______, AC=DF ( AAS )
B
C
A
E
F
D
把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.
AC=DF
BC=EF
HL
AB=DE
AAS
∠B=∠E
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
D
A
B
解：BC = BD
∵在Rt△ACB和Rt△ADB中
AB=AB,
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD
有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点。G是AB的中点吗？
A
B
C
D
E
G
F
GA=GB
如图，有两个长度相同的滑梯，
左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，
(2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
(1)△ABC≌△DEF吗
∵在R t△ABC和Rt△DEF中
BC=EF
AC=DF
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
A
B
C
D
E
F
(1)解：△ABC≌△DEF
A
B
C
D
E
F
(2) ∵Rt△ABC≌Rt△DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
(直角三角形的两个锐角互余)
∴∠ABC+∠DFE=90°
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等)
如图，∠ACB=∠BDA=90°。要说明△ACB≌△BDA,需要再补充几个条件，应补充什么条件？把它们分别写出来。
A
B
C
D
∠DAB =∠CBA
∠DBA =∠CAB
CB = DA
AC = BD
如图，要说明△ACB≌△ADB,需要再补充几个条件，
应补充什么条件？把它们分别写出来。
C
D
A
B
∠1 =∠2
∠3 =∠4
CB = DB
AC = AD
AB = AB
AB = AB
AB = AB
AB = AB
1
2
3
4
∠C =∠D
∠C =∠D
∠1 =∠2
∠3 =∠4
CB = DB
AC = AD
AB = AB
AB = AB
∠1 =∠2
∠3 =∠4
谈谈你本节课的
收获与感受
课堂小结
你现在能够用几种方法
说明两个三角形全等？
SSS
SAS
AAS
ASA
HL
注意：“HL” 只适合判定直角三角形全等。
一般方法：
特殊方法：
习题5.12
知识技能：第1题
数学理解：第1、2题
问题解决：第1题
课课精练
作业(共14张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
1.全等三角形的性质及判定条件
2.在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，
使它与△ABC全等，比比看谁快！
B
A
C
B
A
C
A
C
B
探索：
问题情境：
在一次战役中，为了炸毁与
我军阵地隔河相望的敌军碉堡，
需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离。
由于没有任何测量工具，我军战士为此
绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
A
B
C
D
你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。
∴ △ABC ≌ △DEC (ASA)
∴ BC = BD
AB ＝ AB
∠ABC ＝ ∠ABD
（全等三角形对应边相等）
解：在△ABC与△ABD 中
∠CAB ＝ ∠DAB
探索：
方法
在地面上想测量不可以直接到达的两点间的距离，可以通过建立一个有关于全等三角形的数学模型，利用三角形全等的知识，由测量可以直接到达的两点间的距离，得到不可以直接到达的两点间的距离。
利用三角形全等测距离
建模
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长就是A，B间的距离。 你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。
∴ △ABC ≌ △DEC (SAS)
∴ AB=DE
AC＝DC（已知）
∠ACB＝∠DCE（对顶角相等）
BC＝EC（已知）
（全等三角形对应边相等）
解：在△ABC与△DEC 中
∵
试一试
已知：A，B两点之间被一个池塘隔开，
无法直接测量A，B间的距离，
请给出一个适合可行的方案，
画出设计图，说明依据。
1.利用三角形全等测距离，主要是解决哪些问题？
2.利用三角形全等测距离有哪些方法？
E
C
D
解决办法：
E
C
D
1.利用三角形全等测距离，主要是解决哪些问题？
2.利用三角形全等测距离有哪些方法？
C
D
C
D
解决办法：
有如图的一个零件，它的设计图纸不见了，现在想要知道AB的长度，你有什么办法？
D
C
A
B
做一做
O
你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？
课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”如图，你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同？你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？
（假定太阳光线是平行的）
太阳光线
你们其实一样高，瞧瞧，你们的影子一样长！
比一比
谈谈你本节课的
收获与感受
小 结
利用三角形全等测距离
建模
方案
SSS
SAS
AAS
ASA
习题5.11
知识技能：第1题
数学理解：第1、2题
课课精练
作业(共16张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
到目前为止，你知道哪些判定三角形全等的方法？
对应相等的两个三角形全等，
简写成“角边角”或“ASA”
两角和它们的夹边
对应相等的两个三角形全等，
简写成“角角边”或“AAS”
两角和其中一角的对边
对应相等的两个三角形全等，
简写成“边边边”或“SSS”
三边
温故知新
如果给出三个条件画三角形，
你能说出有哪几种可能的情况？
1.三个角
2.三条边
3.两角一边
4.两边一角
三个条件
温故知新
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
两边一角对应相等
那么有几种可能的情况呢？
两边及夹角或两边及其一边的对角
（1）两边及夹角
三角形两边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
3.5cm
2.5cm
40°
A
B
C
3.5cm
2.5cm
40°
D
E
F
做一做
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”.
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？
动手画一画，你发现了什么？
(2)两边及其中一边的对角
结论：两边及其一边所对的角对应相等，
两个三角形不一定全等
做一做
D
E
F
40°
3.5cm
2.5cm
A
B
2.5cm
3.5cm
40°
C
结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”.
结论：两边及其一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等,没有“边边角”或“SSA”.
（1）两边及夹角
(2)两边及其中一边的对角
小 结
已知两边一角对应相等
分别找出各题中的全等三角形
A
B
C
40°
40°
D
E
F
(1)
D
C
A
B
(2)
△ABC≌△EFD (SAS)
△ADC≌△CBA (SAS)
小明做了一个如图所示的风筝，其中ED=FD, ∠EDH=∠FDH，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。
E
F
D
H
理由：∵在△DEH和△DFH中
ED ＝ FD
∠EDH＝∠FDH
DH ＝ DH
∴△DEH≌△DFH（SAS）
∴ EH ＝ FH
B
C
D
E
A
如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
那么∠B与∠C相等吗？为什么？
C
E
A
B
A
D
解：相等.
理由：∵在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B＝∠C
补充练习
△BEO≌△CDO
O
解：全等，理由如下：
∵ BD=EC
∴ BD－CD＝EC－CD
即 BC＝ED
F
E
D
C
B
A
如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，
那么△ABC与△FED全等吗？为什么？
∵在△ABC与△FED中
∴△ABC≌△FED（SAS）
AC∥FD吗？为什么？
∴∠1＝∠2
即∠3＝∠4
∴AC∥FD
4
3
1
2
∴180°-∠1＝180°-∠2
补充练习
生活连接
小红不慎将墨水瓶弄泼了，正好将她所画的三角形给污染了，如图所示，她想画一个与原来一样的三角形，你认为她能办到吗？请谈谈你的看法。
如果正好将她所画的三角形污染成如图所示，她想画一个与原来一样的三角形，此时你认为她能办到吗？
SSA
1. 今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？
2. 通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？
SSS
3.在这四种说明三角形全等的条件中，你发现了什么？
至少有一个条件：边相等
“边边角”不能判定两个三角形全等
两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等
两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
课堂小结
ASA
AAS
SAS
D
C
B
A
解：相等。
理由：∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD＝∠CAD
∵在△ABD和△ACD中
AB ＝ AC
∠BAD＝∠CAD
AD ＝ AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴ BD ＝ CD
拓展练习
在△ABC中，AB=AC，
AD是△ABC的角平分线。
那么BD与CD相等吗？为什么？
AD是⊿ABC的中线
AD是⊿ABC的高线
习题5.9
知识技能：第1题
数学理解：第1题
问题解决：第1 、2题
课课精练
作业(共25张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
豆豆书上的三角形被墨迹污染了一部分，他想在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形，他该怎么办？
你能帮他画出来吗？
三角形的基本元素是＿＿＿和＿＿＿。
你会用尺规作一条线段等于已知线段吗？
自己动手试一试！
你会用尺规作一个角等于已知角吗？
你能利用尺规作一个三角形与已知三角形全等吗？
三边
三角
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
已知：∠α，∠β，线段c。
求作：△ABC，使∠A=∠α ，∠B=∠β，AB=c。
α
β
c
你能作出
这个三角形吗？
α
β
A
B
C
c
假设这个三角形已作出
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
α
β
A
B
C
c
β
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
作法：
(1)作∠DAF=∠α；
(2)在射线AF上截取线段AB=c；
(3)以B为顶点，以BA为一边，
作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。
△ABC就是所求作的三角形。
D
A
F
B
C
E
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
角
角
边
α
c
α
β
A
B
C
c
思路一
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
回顾刚才
作三角形的
顺序
角
角
夹边
夹边
角
角
还有没有
其他的作法？
β
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
作法：
(2)作∠DAF=∠α；
(1)在射线AF上截取线段AB=c；
(3)以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。
△ABC就是所求作的三角形。
D
A
F
B
C
E
角
角
边
α
c
α
β
A
B
C
c
思路二
你现在能帮助豆豆画出三角形了吗？
2. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
假设这个三角形已作出
B
A
C
α
a
c
你能作出
这个三角形吗？
已知：线段a 、 c , ∠α。
α
a
c
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。
作法:(1)作一条线段BC=a
(2)以B为顶点，以BC为一边，
作角∠DBC=∠α
(3)在射线BD上截取线段BA=c
(4)连接AC
B
C
D
A
△ABC就是所求作的三角形。
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
边
角
边
请按照给出的作法作出图形
B
A
C
α
a
c
α
a
c
思路一
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
2. 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形。
回顾刚才
作三角形的
顺序
边
边
夹角
夹角
边
边
还有没有
其他的作法？
B
C
D
A
△ABC就是所求作的三角形。
对于边和角，你想先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿。
边
角
边
B
A
C
α
a
c
α
a
c
思路二
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
尝试自己作图，
并用语言表述作法
E
作法:
(1)作∠DBE=∠α
(2)在射线BD，BE上分别
截取BA=c，BC=a
(3)连接AC
(1)作∠······=∠ ······ ；
(2)在······上截取，使······ = ······ ；
(3)以···为顶点，以······为一边，作∠ ······ =∠ ······ ；
(4)作一条线段······ = ······ ；
(5)连接······ ，或连接······交······于点······ ；
(6)分别以··· ， ···为圆心，以··· ， ···为半径画弧，
两弧交于···点；
······ ······ ······ ······
你知道的常用作图语言有哪些呢？
作图语言小结
3. 已知三角形的三条边，求作这个三角形。
已知：线段 a，b，c。
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。
a
b
c
尝试自己分析并作出这个三角形、写出作法。
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。
已知：线段 a，b，c。
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。
（1）作一条线段BC=a；
（2）分别以B，C为圆心，
以c，b为半径画弧，
两弧交于A点；
（3）连接AB, AC。
△ABC就是所求作的三角形。
a
b
c
B
E
A
作法：
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
C
谈谈你本节课的收获与感受
利用尺规作一个三角形与已知三角形全等
1. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
2. 已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形。
3. 已知三角形的三条边，求作这个三角形。
课堂小结
经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？
假设所求作的图形已经作出，
并在草稿纸上作出草图；
2. 在草图上标出已给的边、角的对应位置；
3. 从草图中首先找出基本图形，
由此确定作图的起始步骤；
4. 在3的基础上逐步向所求图形扩展。
课堂小结
1. 你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。
a
b
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”，会发现是“已知两边及夹角求作三角形”，所以按照此方法作图。
已知：直角，线段a，b
求作：直角三角形ABC，使BC=a，AC=b
作法：
(1)作∠DCE=90°
(2)在射线CD，CE上分别
截取CB=a，CA=b
(3)连接AB
△ABC就是所求作的三角形。
C
D
E
B
A
2. 已知∠α和∠β，线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且∠α的对边等于a。
α
a
分析：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠γ 。由此转换成已知∠β 和∠γ及其这两角的夹边a，求作这个三角形。
β
α
β
γ
β
γ
a
α
B
C
A
E
F
G
作法：1. 作∠α+∠β的补角∠γ
2. 作∠GBE=∠β
3. 在射线BE上截取BC=a
4. 以C为顶点，CB为一边作∠FCB=∠γ
5. 射线BG与射线CF相交于点A
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。
a
b
α
分析：
1、先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”；
2、然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；
3、再找出边与角，确定作图的顺序。
α
b
a
a
A
C
M
N
B
B'
作法：
1. 作∠MAN =∠α
2. 在射线AM上截取AC = b
3. 以C为圆心，以a为半径画弧，交AN于点B，B'
4. 连接CB，CB'
△ACB和△ACB'就是所求作的三角形。
同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？
你从中可以感悟到什么？
a
b
α
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。
α
b
a
a
A
C
M
N
B
B'
a
c
α
两边及夹角
两边及一边的对角
B
E
D
C
A
习题5.10
知识技能：第1、2、3题
问题解决：第1题
课课精练
作业(共18张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
复习引入
1. 什么样的图形叫三角形？
2. 三角形的三条边有什么关系呢？
3. 三角形的三条角有什么关系呢？
观察与思考
如图，ΔABC中，有一条红色线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段（AD,AE,AF,AG,…）中，有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
A
B
C
D
E
F
G
H
I
B
A
C
A
B
C
A
D
在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗
注意
!
用直尺和圆规也能做
你能通过折纸的方法得到它吗
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合。
折痕AD即为三角形的∠A的角平分线。
做一做
三角形的角平分线的定义
以前所学的“角平分线”是一条射线，
B
A
C
“三角形的角平分线”
还是射线 吗
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段
叫三角形的角平分线。
“三角形的角平分线”是一条线段。
注意
!
D
∠1=∠2
1
2
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
做一做
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系
三角形的三条角平分线交于一点.
三角形的三条角平分线的性质
1. 什么是三角形的中线？
2. 如何画出三角形的中线？
3. 三角形的三条中线
有什么样的位置关系？
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.
三角形的中线的定义
三角形的“中线”
BE=EC
图5 11
B
A
C
E
A
AE是BC边上的中线.
(1) 在纸上画出一个锐角三角形，
并画出它的三条中线.
它们有怎样的位置关系
与同伴进行交流.
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线
也有同样的位置关系吗
折一折，画一画，
并与同伴进行交流·
议一议
三角形的三条中线的性质
三角形的三条中线交于一点.
1. AD是ΔABC的角平分线（如图），
那么∠BAC= ∠BAD = ∠CAD ；
∠BAD= ∠CAD = ∠BAC.
2. AE是ΔABC的中线（如图），
那么BC= BE = CE ;
BE= CE = BC ;
A
D
C
B
A
B
C
E
已知ΔABC（如图），
画中线AD和角平分线BE。
A
C
B
注意点是什么？
在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
如图,在ΔABC中,角平分线BD，CE相交与I,则∠BIC与∠A有什么关系
1.如果设∠A为α,求∠BIC(用α表示).
2.利用上述关系,计算:
(1)当∠A=50°时,求∠BIC;
(2)当∠BIC=130°时,求∠A.
A
I
D
E
B
C
∠BIC=900+ α
∠BIC=1150
∠BIC=800
如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠B、 ∠C，
求证： ∠BPC= 90 + ∠A。
B
A
C
P
证明：
∵BP、CP分别是∠B、 ∠C
的平分线(已知)
∴∠1=
1
∠ABC
∠2=
2
∠ACB
( )
角平分线定义
∵ ∠BPC +∠1 + ∠2 =180
( 三角形内角和定理 )
∠A +∠ABC +∠ACB=180
( 三角形内角和定理 )
∴∠BPC=180 (∠1 +∠2 )
=180 ( + )
∠ABC
∠ACB
=180 (∠ABC +∠ACB )
=180 (180 ∠A )
=90 + ∠A.
本 课 概 要
通过折纸、画图等活动，体验并获得了三角形的“角平分线”、“中线”的概念与性质。
B
D
∠1=∠2
1
2
A
C
BE=EC
B
A
C
E
A
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的
叫三角形的角平分线。
线段
在三角形中，
叫做这个三角形的中线(median).
连接一个顶点与它对边中点的线段，
三角形的三条中线 .
交于一点
三角形的三条角平分线 .
交于一点
1.今天你学到了什么？
2.你觉得角平分线有哪些注意点？
3.中线呢？
4.想一想:在三角形中除了中线、
角平分线外还有其他线吗？
习题5.3
知识技能：第1、2题
联系拓广：第1题
课课精练
作业(共26张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
找一找
如图，
A
B
C
E
F
G
已知：ΔABC≌ΔEFG. 找出图中相等的边和角
要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件呢？
想一想
做一做
1. 只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
一个条件
有一条边对应相等的三角形
不一定全等
有一个角对应相等的三角形
不一定全等
不能保证所画的三角形全等
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？
每种情况下作出的三角形一定全等吗？
分别按照下面的条件做一做。
做一做
只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，
大家画出的三角形一定全等吗？
不一定全等
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
（1) 三角形的一个角为30°,一条边为3cm
30o
3cm
不一定全等
两个条件
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？
每种情况下作出的三角形一定全等吗？
分别按照下面的条件做一做。
做一做
只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，
大家画出的三角形一定全等吗？
不一定全等
(2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
不一定全等
(2)三角形的两个角分别是：30°，50°.
不一定全等
50o
50o
30o
两个条件
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？
每种情况下作出的三角形一定全等吗？
分别按照下面的条件做一做。
做一做
只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，
大家画出的三角形一定全等吗？
不一定全等
(2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
不一定全等
不一定全等
(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
(3)三角形的两条边分别是：4cm，6cm
不一定全等
4cm
4cm
6cm
4cm
也不能保证三角形全等.
两个条件
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？
每种情况下作出的三角形一定全等吗？
分别按照下面的条件做一做。
做一做
只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，
大家画出的三角形一定全等吗？
不一定全等
(2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
不一定全等
不一定全等
(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
不一定全等
议一议
如果给出三个条件画三角形，
你能说出有哪几种可能的情况？
1.三条边
2.三个角
3.两边一角
4.两角一边
三个条件
做一做
(1) 已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
(2) 已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？
三边对应相等的两个三角形全等，
简写为“边边边”或“SSS”。
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等
动手做一做
准备若干长度适中的小木条，用其中三根木条钉成一个三角形的框架，它的形状和大小是固定的吗？如果用四根小木条钉成的框架形状和大小固定吗？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
你能找到图中的三角形吗？
你能说出为什么这些地方是三角形吗
课内链接
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？
为什么？
不一定全等
解：
A
B
C
D
E
F
RtΔABC和RtΔDEF不全等
如图：
2. 已知：如图AB=CD,AD=BC.
则∠A与∠C相等吗？为什么？
A
B
C
D
分析：要说明∠A与∠C相等，可设法使它们在两个可以全等的三角形中，那么，全等三角形的对应角相等。
为此变四边形为两个三角形。
解：∠A=∠C.
连接BD.
因为 AB=CD,AD=CB,BD=DB
所以 ΔABD≌ΔCDB
所以 ∠A=∠C.
理由：
课内链接
分析：可先通过观察，
初步判断
有哪几对三角形全等，
然后再根据条件判断。
3. 已知：如图，AB=CD,AD=BC，E、F是BD上
两点，且AE=CF,DE=BF,
那么图中共有几对全等的三角形？
说明理由.
A
B
C
D
E
F
课内链接
这节课你学到了什么？
1.三角形全等的条件之一：
三边对应相等的两个三角形全等
(“边边边”或“SSS”)
2.三角形具有稳定性。
课堂小结
问题解决
如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。你能说明其中的道理吗？
A(R)
B
D
C
E
Q
P
如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。你能说明其中的道理吗？
A(R)
B
D
C
E
Q
P
小明的思考过程如下：
AB=AD
BC=DC
AC=AC
ΔABC≌ΔADC
∠QRE=∠PRE.
你能说出每一步的理由吗？
作业
2. 选做题
（1）网上查找一些有关三角形稳定性的例子；
（2）你能否利用本节课的探索方法，找出其它可以使三角形全等的条件。
1. 必做题
（1） P160：1. 2.
（2）一个四边形的门框，为使其牢固，请用木条加固，你能找出几种方法？最少用几根木条？(共14张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
如图,在ΔABC中,角平分线BD，CE相交与I,则∠BIC与∠A有什么关系
1.如果设∠A为α,求∠BIC(用α表示).
2.利用上述关系,计算:
(1)当∠A=50°时,求∠BIC;
(2)当∠BIC=130°时,求∠A.
A
I
D
E
B
C
∠BIC=900+ α
∠BIC=1150
∠BIC=800
回 顾 思 考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
回顾 思考
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画法
放、
靠、
推、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画。
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
三角形的高
A
从三角形的一个顶点
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫做三角形的高线，
简称三角形的高.
(height)
如图, 线段AD是BC边上的高.
任意画一个锐角△ABC,
和垂足的字母.
A
B
C
请你画出BC边上的高.
注意
!
标明
垂直的记号
D
锐角三角形的三条高
每人准备一个锐角三角形纸片。
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
做一做
p126
(3) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高交于同一点.
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
O
锐角三角形的三条高
是在三角形的内部还是外部
使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合
锐角三角形的三条高
都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形。
做一做
p126
将你的结果与同伴进行交流.
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
直角边BC边上的高是 ;
AB边
直角边AB边上的高是 ;
BC边
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点.
D
折、画钝角三角形的三条高
在纸上画出一个钝角三角形。
做一做
p126
(2) 你能折出钝角三角形的
三条高吗？
需要把CB延长。
A
C
B
B
A
A
A
A
B
C
D
F
为了便于折出AB边上的高，
需要把AB延长。
C
C
A
B
C
D
F
C
A
B
C
D
F
E
为了便于折出BC边上的高，
你能画出钝角三角形的三条高吗？
A
B
C
BC边上的高是在三角形的内部还是外部
外部
D
AB边上的高呢？
E
F
钝角三角形的三条高
A
B
C
D
E
F
议一议
A
B
C
D
F
(3) 钝角三角形的
三条高交于一点吗？
钝 角三角形的
三条高不相交于一点
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点
O
E
分别指出图5—13中△ABC 的三条高。
直角边BC边上的
高是 ;
AB边
直角边AB边上的
高是 ;
CB边
A
B
C
D
E
F
想一想
A
B
C
D
图5—13
斜边AC边上的
高是 ;
BD
AB边上的高是 ;
CE
BC边上的高是 ;
AD
CA边上的高是 ;
BF
p126
本 课 概 要
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段
叫做三角形的高。
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形的三条高所在直线交于一点
三条高所在直线的
交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
接拓展练习
通过这节课的学习活动你有哪些收获？
你还有什么想法吗？
拓展练习
拓展练习
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的
一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ ）
A. 三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的一条边上 D. 不能确定
D
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
D
习题5.4
知识技能：第1、2题
问题解决：第1题
课课精练
作业(共24张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
图片欣赏：
在 “蜥蜴”里，镶嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃离二维平面的束缚到桌面放风, 然后又重新陷入原来的图案.埃舍尔在许多六边形的镶嵌图形中使用了这个图案模式.
图片欣赏：
图片欣赏：
是夜空中的白鸟还是阳光下的黑鸟 ？
图片欣赏：
图片欣赏：
图片欣赏：
图片欣赏：
解
放
图片欣赏：
图片欣赏：
水和天
图片欣赏：
由全等图形可以拼成美丽的图案
在生活中，我们经常看到由全等图形拼成
的美丽图案。
例如，在给定的三角形上，画出小鱼形状的图形，
利用它可以拼成下面这个美丽的图案。
破解图形设计的密码
议一议
图 5—17 和图 5—18是一些学生的作品，你能叙述他们绘制图案的过程吗？
图 5-17
注意
!
先进行图形的割补，再进行无缝隙的拼接。
破解图形设计的密码
议一议
两个图像的外部轮廓也是全等的，只是内部绘制了不同的图形而已。
1、从正方形出发，按下列步骤设计图案：
做一做
做一做
画一个正方形；
取正方形一边的中点，
1
2
画出部分1，
并将其剪下
补在2的位置上；
1
2
3
4
1
1
同样，画出部分3，
3
并将其剪下补在 2 的位置上；
3
经过上述步骤后，得到一个新的图案。
（1）按上述步骤，你得到 “箭头”了吗？
做一做
做一做
（2） 剪出若干个同样的“箭头”，拼出一个美丽的图案。
“箭头”，拼出一个美丽的图案。
2、你能从菱形出发，设计出一个
漂亮的图案吗？
与同伴进行交流。
感悟与反思
通过本节课的学习使我们得知：
拼接图案的基本要求：
利用若干个全等的图形，
可以拼接成漂亮的图案；
这可从某一个基本的几何图形入手，
进行适当与巧妙地割补 。
全等的图形之间无缝隙、不重叠；
图案设计要有自己的创意，
课后拓展
1、用四个全等的小菱形 ，将它们
拼成一个与大菱形 全等的图形.
2、用三个全等的 纸片，将它们拼
成一个与 全等的图案.(共32张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
如何表示
线段、射线和直线？
回顾与思考
1.如右图所示:线段可用 或
或 来表示.
A
B
a
线段AB
线段BA
线段a
2.如右图所示:射线可用 来表示.
注意: .
A
B
射线AB
必须把表示端点的字母写在前面
任意两个表示点的大写字母
3. 直线可用直线上 来表示,
如下图所示:可有用 或 或 或
等、或 来表示。
注意：
A
C
B
m
直线AB
直线BA
直线AC
直线CA
直线m
用来表示直线的两个字母与顺序无关。
回顾与思考
O
B
A
可表示为：
∠AOB （∠BOA ）
∠1
∠β
两点之间线段最短
A
B
观察右图你能发现什么？
如何表示
一个角？
β
1
下面请大家仔细观察一组图片，看看它们有什么共同特点
下面请大家仔细观察一组图片，看看它们有什么共同特点
下面请大家仔细观察一组图片，看看它们有什么共同特点
下面请大家仔细观察一组图片，看看它们有什么共同特点
你能从图中找出三角形吗？
你能从图中找出三角形吗？
你能从图中找出三角形吗？
斜梁
斜梁
直 梁
1.你能从中找出四个不同的三角形吗？
2.与你的同伴交流各自找到的三角形。
3.这些三角形有什么共同的特点？
观察下面的屋顶框架图
想一想：
请同学们自学课本并回答有关问题。
你能回答吗
三角形有三条边、三个内角 、三个
顶点、三条线段首尾顺次相接。
1.这些三角形有什么共同的特点？
A
B
C
D
E
F
G
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.什么叫做三角形？
3.如何表示三角形？
三角形可用符号“△”表示，如右图
三角形记作：△ABC
A
C
B
4.三角形的边可以怎么表示？
如图三角形中三边可表示为AB、BC、AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c
注意:
1.表示三角形时，字母没有先后顺序；
2.如图，我们把BC(或a）叫做 A的对边，
把AB（或c）、AC（或b）
分别叫做 A的邻边.
A
B
C
c
a
b
边：
三角形中三边: AB、BC、AC。
如果我说三角形有三要素,你能猜出是哪三要素吗
A
B
C
a
b
c
角：
三角形中有三个角:
∠A，∠B，∠C
顶点：
三角形中有三个顶点:
顶点A，顶点B，顶点C。
2.如图 三角形DEF 记作：
∠E 的对边:
邻边是:
1.小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念是（ ）
B
3.此图中有几个三角形？
你能表示出来吗
A
C
DEF
DF
ED、EF
A
B
C
D
E
练一练
C
D
F
E
在元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？
说说你的理由。
当然是黄色彩灯的电线长。
(1) 元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。
三角形任意两边之和大于第三边
利用你发现的规律填空:
AB+AC BC
AB+BC AC
AC+BC AB
A
B
C
A
B
C
A
B
c
议一议
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系
为什么 由此你能得到什么结论
＞
＞
＞
分别量出下面三个三角形的三边长度，
并填空。
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a=_____
b=_____
c=_____
(2)a=_____
b=_____
c=_____
(3)a=_____
b=_____
c=_____
计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？
做一做
三角形任意两边之差小于第三边
想一想
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7 < 8，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形。
取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？动手摆一摆。
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？
动手摆一摆。
想一想
解题技巧
三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
你能取一根木棒，与原来的两根木棒摆成三角形吗？
8-5＜第三边 ＜8+5
请用所学的数学知识解释：
2.两点之间的所有连线中，线段最短
1.三角形任意两边之和大于第三边
人行横道
.A
.B
为什么经常有行人斜穿马路而不走人行横道
老师的困惑：
C
B
A
小明对我说：
“我的步子大，
一步有3米多。”
（两脚着地时两脚的间距）
同学们，
你们能帮我判断一下这位同学的话可信吗？
当回“小老师”
同桌两同学分别在纸上写出2组(每组三条)线段的长度,然后交换，让同桌判断每组线段能否组成三角形，并且请你给你的伙伴打分。
三角形的形成及表示方法。
给出的三条线段能否组成三角形。
Ｃ
Ａ
Ｂ
本节课的学习你有哪些收获？
1.三角形的概念
2.三角形的三要素
3.三角形的表示方法
4.三角形三边之间的关系
本节课的学习你有哪些收获？
下列每组数分别是三根小木棒的长度，
用它们能摆成三角形吗？
实际摆一摆，验证你的结论。
(1)3cm, 4cm, 5cm ; (2)8cm, 7cm, 15cm
(3) 13cm, 12cm, 20cm; (4)5cm, 5cm, 11cm
2.现有长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段，
从其中选三条线段为边可以构成 个的不同的
三角形。
（1）（3）
3
3.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，
那么第三边长为 。
若第三边为偶数，那么三角形的周长 。
4.已知一个三角形的三边a=7,b=3,第三边c是一个正整
数，满足这些条件的三角形共有 种，
当c= 时，所作出的三角形的周长最长。
5.一个等腰三角形的两边长分别为25和12，
则第三边长为 。
3或5
10
5
25
9
习题5.1
知识技能：第1题
数学理解：第1题
问题解决：第1题
课课精练
作业
动动脑
某地有四个汽车停车场，位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能利用“三角形任意两边之和大于第三边”在四边形ABCD的内部找一点P，使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小吗？
A
B
C
D
P
P1
每组共有10根火柴，以1根火柴长为单位长度１，试用1、2、3、4摆一个三角形，比一比哪组最先摆好，可以摆几个三角形？
为什么呢？
2、有3、5、7、10的四根彩色线形木条，要摆出一个三角形，有（ ）种摆法。
A、1 B、2 C、3 D、4
B
在 ABC中，AB=7 BC=3，并且AC为奇数，那么 ABC的周长为________。(共32张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
2.认识三角形的边、内角、顶点。
一、 认识三角形
1.了解三角形定义:
A
B
C
（1）边上的性质：
三角形的任意两边之和大于第三边
三角形的任意两边之差小于第三边
（2）角上的性质：
三角形三内角和等于180度
二、三角形的性质
直角三角形的两个锐角和等于90度
A
B
C
A
B
C
1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能”)
① 3，4，5（ ） ② 8，7，15（ ）
③ 13，12，20（ ） ④5，5，11（ ）
不能
不能
能
能
直角三角形
钝角三角形
2、根据下列条件判断它们是什么三角形？
（1）三个内角的度数是1:2:3（ ）
（2）两个内角是50°和30° （ ）
练一练：
3、△ABC，AB＝5，BC＝9，那么 ＜AC＜ ___
4
14
4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为
奇数，那么第三边长是 ______
7 或 9
5、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是7cm，
这个三角形的周长是 _________
（第6题） （第7题）
6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度
7、如上图，AD⊥BC，∠1=40°，∠2=30°，
则∠B= 度，∠C= 度
17cm
100
50
60
则△ABC是 （ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
∠B=
9.在△ABC中，如果∠A=
∠C
∠B = 3
10.在△ABC中，如果∠A = 2
∠C
则△ABC是 （ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
A
A
8.在△ABC中，如果∠A＋∠B＝ 2∠C，∠A≠∠B，
那么（ ）
A、∠A＝600 B、∠B＝600， C、∠C＝600
D、∠A、∠B、∠C都不等于600
C
1.了解三角形的角平分线，中线及高线的概念
三、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念
B
C
E
A
BE=EC
线段AE是三角形BC边上的中线.
B
C
D
1
2
A
∠1=∠2
线段AD是三角形∠BAC的角平分线.
A
B
C
D
线段AD是BC边上的高.
∠ADB=∠ADC =90°
四、三角形三线的性质
1.三角形的三条中线交于一点.（三角形内部）
2.三角形的三条角平分线交于一点. （三角形内部）
3.三角形的三条高所在直线交于一点
①锐角三角形的三条高交于同一点. （三角形内部）
②直角三角形的三条高交于直角顶点.
（三角形边上或直角顶点）
③钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点（三角形外部）
1.如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线。已知AB=4，AC=3，BE=5，△ABE的周长=________.
C
B
A
E
2.如图,CE,CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,则∠ECF的度数=______度.
B
C
D
F
E
A
练一练:
10.5
90
邻补角的角平分线的夹角为90度。
4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。
已知∠ABC=600，∠ACB=700,
求∠ACE，∠BDC的度数。
400
800
A
B
C
E
D
F
3.如图，AD、BF都是△ABC的高线，若∠CAD=30度，则∠CBF=______度。
30
五、三角形全等的判定方法
（1）全等三角形的定义
（2）边边边公理（SSS）
（3）边角边公理（SAS）
三边对应相等的两个三角形全等
两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
能够完全重合的两个三角形是全等三角形
（4）角边角公理（ASA）
两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
（5）角角边公理（AAS）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
A
B
C
D
E
F
2.5cm
3.5cm
40°
40°
3.5cm
2.5cm
结论：两边及其一边所对的角相等，
两个三角形不一定全等
ASS
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
AAA
不能把“AAS”、“ASA”简述为
“两角和一边对应相等的两个三角形全等”？
A
B
C
D
E
在△ADE和△ABC中
但△ABC和△ADE不全等
结论：说明两个三角形全等时,
特别注意边和角“位置上对应相等” 。
如图,已知AC平分∠BCD,
要说明△ABC≌△ADC,
还需要增加一个什么条件 请说明理由。
D
C
A
B
或∠BAC=∠DAC
BC=CD
或∠B=∠D
1、如图AD=BC，要判定△ABC≌△CDA，
还需要的条件是 .
A
B
C
D
AB=CD
或∠DAC＝∠BCA
B
A
F
C
D
E
2、如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC,
说明∠EFD=∠BCA的理由。
A
C
B
O
D
3、如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC，
AC=DB，则∠B=∠C,请说明理由.
思考题：
六、三角形中线的性质：
三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形
A
B
C
D
如图，若AD是△ABC中BC边上的中线，
则有
△ABD的面积=△ACD的面积
A
B
C
D
E
如下图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC的面积。
如上图，△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，若BD:CD=2:3 ，DE:AE=1:4 ，△ABC的面积是8，求△DEC的面积。
A
B
C
D
E
练习:1、图中三角形的个数是（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
E
A
当增加n条线的时候，有多少个三角形？
2、如图，∠1=∠2，AB=CD，AC与BD相交于点O，则图中必定全等的三角形有（ ）
A. 2对 B. 3对
C. 4对 D. 6对
C
3.有一次柯南看见这样一个图，要计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 度
B
C
D
A
G
M
H
E
F
360
4、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为 .
5、如图，AD是△ABC的高，且AD平分∠BAC，请指出∠B与∠C的关系，并说明理由。
6或８
6、要画出∠AOB的平分线，分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连结CF，DE，交于P点，那么∠AOB的平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先说明△EOD≌ △ . 理是 ，得到 ∠OED=∠ ，再说明△PEC≌△ ，理由是 ，得到PE= ；最后说明△EOP≌△ ，理由是 ，从而说明了∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB。
ＦOＣ
ＳＡＳ
ＯＦＣ
ＰＦＤ
ＡＡＳ
ＰＦ
ＦＯＰ
ＳＡＳ
7. (1)如图，已知⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，BD, CE是⊿ABC的______，
求证：BD=CE。
高线
证明：∵ＢＤ，ＣＥ是⊿ＡＢＣ的高线
∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ＝９０°
∵ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝∠Ａ
∴⊿ＡＤＢ≌⊿ＡＥＣ（ＡＡＳ）
∴ＢＤ＝ＣＥ
(2) .如图，已知⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，BD、CE是⊿ABC的______，
求证：BD=CE
中线
证明：∵ＡＢ＝ＡＣ
∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
又∵ＢＤ，ＣＥ是中线
∴ＣＤ＝１／２ＡＣ ，ＢＥ＝１／２ＡＢ
而ＡＢ＝ＡＣ
∴ＣＤ＝ＢＥ
又ＢＣ＝ＣＢ
∴⊿ＤＣＢ≌⊿ＥＢＣ （ＳＡＳ）
∴ＢＤ＝ＣＥ
(3). 如图，已知⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，BD、CE是⊿ABC的__ ____，
求证：BD=CE
角的平分线
证明：∵ＢＤ，ＣＥ是⊿ＡＢＣ的角平分线
∴∠１＝１／２∠ＡＢＣ，∠２＝１／２∠ＡＣＢ
∵ＡＢ＝ＡＣ
∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
∴∠１＝∠２
∵ＢＣ＝ＣＢ
∴⊿ＤＢＣ≌⊿ＥＣＢ（ＡＳＡ）
∴ＢＤ＝ＣＥ
开启 你说
智慧 我说
8、把两个形状,大小都相同的火柴盒如图放置,判断AB和CD两条对角线是否互相垂直,并说明理由.
你们可要好好动动
脑哟！
这是一种什么图形
变换？(共19张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
上节课你学到了什么？
1.三角形全等的条件之一：
三边对应相等的两个三角形全等
(简称“边边边”或“SSS”)
2.三角形具有稳定性。
回顾与思考
证明：∵△AEC和△ABC中
AB = AE,
BC = EC，
AC = AC,
∴△AEC≌△ABC
∴∠B =∠E
C
如图: AB = AE, BC = EC,
求证：∠B = ∠E.
A
B
E
巩固练习
∵ AD = BE
∴ AD + BD = BE + BD
即 AB = DE
又∵ AC = DF
BC = EF
∴ △ABC≌△DEF
∴ ∠ABC =∠DEF
∴ BC∥EF
如图,AC = DF ,BC = EF,AD = BE,
求证:BC∥EF
B
A
E
F
C
D
证明：
巩固练习
情境导入
小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他要到商店去配一块与原来一样的三角形模具，该怎么办？
Ⅰ
Ⅱ
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？
每种情况下作出的三角形一定全等吗？
分别按照下面的条件做一做。
只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，
大家画出的三角形一定全等吗？
不一定全等
(2) 三角形的两个内角分别为30°和 50°；
(1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
不一定全等
不一定全等
(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
不一定全等
回顾与思考
如果给出三个条件画三角形，
你能说出有哪几种可能的情况？
1.三个角
2.三条边
3.两边一角
4.两角一边
三个条件
回顾与思考
知识重现
2cm
3cm
4cm
问题一 图中的两个三角形全等吗？为什么？
2cm
3cm
4cm
问题二 如果已知一个三角形的两角及一边，
那么有几种可能的情况呢？
每种情况下得到的三角形全等吗？
做一做
1.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60 和80，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
60
80
2cm
2.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，比如三角形的两个内角分别是60 和45，一条边长为3cm，情况会怎样呢？
做一做
（1）如果60 角所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗？这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
60
45
3cm
（2）如果45 角所对的边为3cm，那么按这个条件画出的三角形都全等吗？
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，
简写成“角边角”或“ASA”
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，
简写成“角角边”或“AAS”
想一想
如图，O是AB的中点， A = B， △AOC与△BOD全等吗？为什么？
B
A
O
D
C
巩固练习
如图所示，AB=AC, CDA = BEA,
你能说出CD与BE相等的理由吗？
D
A
C
B
E
实践探索
如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？为什么？
Ⅰ
Ⅱ
通过这节课的学习，你对全等三角形的判别条件有哪些认识？
三角形全等的条件
对应相等的两个三角形全等，
简写成“角边角”或“ASA”
两角和它们的夹边
对应相等的两个三角形全等，
简写成“角角边”或“AAS”
两角和其中一角的对边
对应相等的两个三角形全等，
简写成“边边边”或“SSS”
三边
习题5.8
知识技能：第1、2、3题
问题解决：第1题
课课精练
作业
能力拓展
生活连接
小红不慎将墨水瓶弄泼了，正好将她所画的三角形给污染了，如图所示，她想画一个与原来一样的三角形，你认为她能办到吗？请谈谈你的看法。(共36张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
通过上节课的学习，
你对全等图形有哪些认识？
1 两个能够重合的图形称为全等图形.
全等图形的两个重要特点是
全等图形的形状和大小都相同.
回顾与思考
(1)
观察下图，从中找出全等图形，与同学交流。
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
全等图形有： （1）和（9）、
（2）和（8）、
（3）和（6）。
(4)
(7)
(5)
(10)
议一议
上图中，（4）和（7）、（5）和（10）为什么不是全等图形？
两个图形形状相同，但大小不同。
两个图形面积相同，但形状不同；
它们不能重合，不是全等图形
全等图形的特征是：能够完全重合。
形状与大小全都相同
问题解决
1、如图，剪一个三角形纸片，使它的三个
内角都是60°，取三边的
中点，以虚线为折痕折叠
纸片。你认为图中阴影
部分的面积是整个图形
面积的几分之几？
你是怎样知道的？
3、如何把一个长方形
分成4个全等的三角形？
4、你能将一个等腰三角形
分成两个全等的图形吗？
2、有一个正方形，
怎样把它分成4个全等的三角形？
作品展示:
你能找到图中的全等的三角形
A
B
C
A1
B1
C1
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形
记作：△ABC≌△A1B1C1
A1
B1
C1
全等三角形的概念
两个全等三角形重合时，
互相重合的顶点叫
互相重合的边叫做
互相重合的角叫做
对应顶点
对应边
对应角
全等三角形的概念
A
B
C
A1
B1
C1
对应角：∠A ∠A1， ∠B ∠B1， ∠C ∠C1
和
和
和
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1，
和
和
和
对应边：AB A1B1，AC A1C1，BC B1C1
全等三角形
你能找到图中的对应边和对应角吗？
A
B
C
D
E
F
全等三角形
表示方法:
△ABC≌△DEF
A
B
C
D
E
F
注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
全等三角形
“ 全等 ” 用符号 “ ≌ ” 表示
用纸板、剪刀等工具制作全等三角形
改变它们的摆放位置,找出对应边,对应角.
全等三角形
全等三角形
两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？
由此你能得到什么结论？
对应顶点：点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1，
对应边：AB A1B1，AC A1C1，BC B1C1
对应角：∠A ∠A1， ∠B ∠B1， ∠C ∠C1
A
B
C
A1
B1
C1
和
和
和
和
和
和
=
=
=
=
=
=
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的性质
∵△ABC ≌ △DFE
∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE
（ ）
∠A =∠D, ∠B =∠F , ∠C =∠E
（ ）
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
任意剪两个全等的三角形，摆一摆它们的位置，使其符合下列图形；并指出它们的对应顶点、对应边、对应角。
全等三角形对应角所对的边是对应边，
对应边所对的角是对应角。
CO的对应边是
∠A的对应角是
AC的对应边是
∠D的对应角是
∠A的对应角是
CO的对应边是
DO
∠B
CA
∠B
∠D
BO
⑴
⑵
⑶
A
B
C
D
(1)
(2)
(3)
如图:△AOD≌△BOC,写出其中相等的角
A
D
C
B
O
解：∠A=∠B
∠D=∠C
∠DOA=∠COB
巩固练习
已知：如图，ΔAPB 与ΔCPD全等，
（1）相等的边是AB=CD， ；
（2）相等的角是：
∠A=∠C, .
A
B
P
D
C
AP=CP
BP=DP
∠B = ∠D
∠APB =∠CPD
巩固练习
解：因为△AEC≌△ABC
所以∠E =∠B = 30°
∠ACE =∠ABC = 85°
∠EAC =∠BAC = 180°- 30°- 85°= 65°
如图:△ABC≌△AEC, ∠B=30°, ∠ACB=85°,
求出△AEC各内角的度数.
A
B
C
E
巩固练习
如图,若△ABC≌△EFC,且CF=3cm,∠EFC=64°,
则BC=_____cm,∠B=_____.
B
A
E
F
C
3
64°
你还能求出哪些边的长度,
哪些角的度数
巩固练习
如图,△ABC≌△DEF,∠C=25°,BC=6cm,AC=4cm ,
你能得出△DEF中哪些角的大小,哪些边的长度
A
B
C
D
E
F
因为△DEF≌△ABC
所以∠F=∠C=25°
EF=BC=6cm
DF=AC=4cm
解：
巩固练习
如图,△ABC≌△DEF,求证:AD=BE
B
A
E
F
C
D
因为△ ABC≌△DEF
所以AB = DE
AB-BD = DE - BD
即AD = BE
证明：
巩固练习
解：
因为△EBD≌△ABC
所以∠A=∠E
在△AOF与△EOB中，
∠AOF=∠EOB
根据三角形内角和为180°
所以 ∠1=∠2
.如图,△ABC≌△EBD,问∠1与∠2相等吗
若相等请证明,
若不相等说出为什么
B
A
E
2
1
F
C
D
O
巩固练习
你能将一个等边三角形
分成两个全等三角形吗？
能把它分成三个、四个全等三角形吗？
找出下列图中一对全等三角形的对应边、对应角。
B
D
C
B
A
D
C
B
A
F
C
D
A
E
1、什么是全等形、全等三角形、
全等三角形的对应顶点、对应边、对应角
2、表示三角形全等时应注意什么？
3、识别全等三角形的对应边、对应角的关键
是正确识别它们的对应顶点。
4、注意数学中图形变换思想的应用，
它有助于正确、 迅速的从复杂图形中
识别全等三角形。
寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）两个全等三角形最大的边是对应边，
最小的边是 对应边；
（5）两个全等三角形最大的角是对应角，
最小的角是 对应角；
（6）全等三角形对应角所对的边是对应边，
对应边所对的角是对应角。
（7）全等三角形对应角所夹的边是对应边，
对应边所夹的角是对应角。
1、能够 的两个图形叫全等形；
2、两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做 ；
互相重合的边叫做 ；互相重合的角叫做 ；
3、全等三角形对应边 ，对应角 ；
4、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在
；
例如△ABC≌ △DFE ，对应顶点分别
是 ；
5、两个三角形全等时，对应顶点所在的角是 ，
对应角所对的边是 ，对应边所对的角是 。
完全重合
对应顶点
对应边
对应角
相等
相等
对应位置
点A和点D、点B和点F、点C和点E
对应边
对应角
对应角
1、⑴. 已知：如图1，△OAD与△OBC全等，
请用式子表示出这种关系：____________
⑵.找出对应边,它们有什么关系？(口答)
对应边：_______ _______ _______
⑶.找出对应角,它们有什么关系？(口答)
对应角：_______ _______ _______
⑷.如果∠A=35°，∠D=75°，那么∠COB=____
A
B
C
D
O
图1
A
C
D
B
E
F
图2
2、如图2，如果△ADE ≌ △CBF，那么AE∥CF吗？
___ (口答“是”或“不是”)
△OAD ≌ △OBC
OA
OB
OD
OC
AD
BC
70°
是
和
和
和
=
=
=
请说明理由
应用提高
如图, △ABC≌△AEC, ∠B=30°,∠ACB=85°,
求出△AEC各角的度数。
解：在△ABC中∠ACB=85°，
∠B=30°，
所以∠BAC=65°
又因为△ABC≌△AEC，
所以∠EAC=∠BAC=65°，
∠E=∠B=30°，
∠ACE=∠ACB=85°
B
C
E
A
答： △ AEC的内角度数分别为65°﹑30°﹑85°。
习题5.6
知识技能：第1、2题
问题解决：第1题
课课精练
作业(共19张PPT)
福建省福鼎市第五中学 数学组
1. 如图所示,你能从图中找到多少个三角形？把它们写出来.
E
D
C
B
A
六个.
分别是: ADC
AEC
ABC
DBC
EBC
DEC
2.小明有两根长度为6cm、9cm的木条，他想钉一个三角形的木框,
现在有长度分别为2cm 、3cm、 8cm 、15cm的木条供他选择，
那他应选（ ) A、2cm B、3cm C、8cm D、15cm.
三角形任意两边之差小于第三边
三角形任意两边之和大于第三边
复习旧知
C
3.如下图，已知∠1=50°，∠2=60°，求∠3的度数。
1
2
3
4.如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度
想一想:其它三角形的三个内角之和也为180度吗
30+60+90=180
45+45+90=180
复习旧知
在小学我们探究了三角形三个内角的和等于180 ，
你还记得这个结论的探索过程吗
1
A
B
D
2
C
如图,当时我们是撕下两个角,
把∠A移到了∠1的位置, 把∠B移到了∠2的位置。
1
E
A
B
D
2
C
如果只撕下一个角,你能用学过的知识拼凑并解释 “三角形的三个内角和是180 ”吗？
1
A
B
D
2
C
1
如果只撕下一个角,你能用学过的知识拼凑并解释 “三角形的三个内角和是180 ”吗？
E
1
2
3
1
a
b
4
三角形三个内角的和等于180
如果只撕下一个角,你能用学过的知识拼凑并解释 “三角形的三个内角和是180 ”吗？
猜一猜
１）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？
小颖的呢？试着说明理由．
猜一猜
(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角
将所得结果与(1)的结果进行比较.
试着说明理由．
三角形的分类
锐角三角形
三个内角都是锐角
钝角三角形
有一个内角是钝角
直角三角形
有一个内角是直角
直角边
直角边
斜边
1.常用符号“Rt ABC”来表示
直角三角形ABC.
2.直角三角形的两个锐角之间
有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余
1. 观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
③⑤
①④⑥
②⑦
2. 已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.
⑴ 图中有几个直角三角形？是哪几个？
分别说出它们的直角边和斜边。
⑵ ∠ACD和∠A有什么关系？∠BCD和∠A呢？
C
B
A
D
一个三角形中会有两个直角吗？
可能两个内角是钝角或锐角吗？
1. 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠A＝
70°，∠C＝30 °， ∠B＝（ ）
2. 直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角（ ）度。
3. 在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=（ ）
4. 如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按
角分类应为 （ ）。
80°
20°
50°
直角三角形
有关三角形的角度计算问题，有两种类型：
一是直接利用三角形的内角和180°进行计算；
二是设某一个角为x（或将某一个角视为未知数），
其余的角用x的代数式表示，
从而根据题意列出方程（组）求解，
这就是“形题数解”。
如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，请你根据图中所标数据求∠ACB的大小，
30 °
70 °
B
C
A
当轮船距离灯塔C最近时，∠ACB是多少度？
1.三角形三个内角的和等于180 。
2.三角形按角的大小分类：
⑴锐角三角形 ：三个内角都是锐角；
⑵直角三角形 ：有一个内角为直角；
⑶钝角三角形 ：有一个内角为钝角。
3.直角三角形的两个锐角互余。
习题5.9
知识技能：第1、2、3、4题
问题解决：第1 、2题
课课精练
作业
