(共22张PPT)
1.1.2
探索勾股定理
八年级上册
掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
1
2
经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.
本节目标
回顾思考
（1）勾股定理的内容是什么？
（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.
新课讲解
活动1
今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.
（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）
勾股定理及其验证
活动2：
通过探究发现，小组讨论得到以下两个图形
图1
图2
（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？
（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？
图1
S大正方形的面积
S大正方形的面积
勾股定理及其验证
活动3：
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？
图2
勾股定理及其验证
割补法是几何证明中常用的方法，要注意这种方法的运用.
【总结归纳】
勾股定理及其验证
【例】我方侦察员小王在距离东西向公路400
m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400
m,
10
s后,汽车与他相距500
m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
勾股定理及其验证
C
B
A
400m
500m
公路
【解析】根据题意,可以画出下图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400
m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.
勾股定理及其验证
【思考】
(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?
(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?
解:由勾股定理,可以得到AB2=AC2+BC2,
也就是5002=BC2+4002,
所以BC=300.
敌方汽车10
s行驶了300
m,那么它1
h行驶的距离为300×6×60=108000(m),
即它行驶的速度为108
km/h.
勾股定理及其验证
【思考】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.
勾股定理及其验证
1.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是
( )
A.c2=a2+b2
B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2
D.c2=(a+b)2
例题+变式：勾股定理的应用
A
2.
在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为
( )
A.35
B.43
C.89
D.97
D
例题+变式：勾股定理的应用
变式
“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9
B．6
C．4
D．3
D
例题+变式：勾股定理的应用
问题
北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.
(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)
(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)
(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.
深入探究
答案
深入探究
(2)如图所示.
(3)∵2ab=(a+b)2(a2+b2)=196100=96,∴ab=48,
∴S=
解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,
即c2=4×
1/2ab+(a-b)2=a2+b2.
1/2ab=
1/2×48=24.
1.
下列选项中,不能用来证明勾股定理的是
( )
D
课堂练习
2.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是
( )
A.1
B.2
C.12
D.13
A
课堂练习
课堂练习
3.如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它验证勾股定理．
解：S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，
另一方面S小正方形=c2﹣4×ab=c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，
∴a2+b2=c2．
本节总结
勾股定理
内容
在Rt△ABC中，
∠C=90°,
a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
再见(共22张PPT)
1.1.1
探索勾股定理
八年级上册
理解勾股定理的概念及公式。
经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
1
2
3
会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
本节目标
情境导入
2002年世界数学家大会会标（北京）
会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．
观察
观察如下地板砖示意图，你能发现哪些有趣的结论呢？
情境导入
新课讲解
你能发现上图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
结论1
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
探索勾股定理
活动：
由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
观察下面两幅图：分别计算A、B、C的面积并填表，观察他们之间的关系.
探索勾股定理
?
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
左图
?
?
?
右图
?
?
?
你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．
图1
方法一：
如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，
探索勾股定理
你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．
图2
方法二：
如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，
探索勾股定理
你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．
图3
方法三：
如图3，正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，
探索勾股定理
?
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
左图
4
?9
?13
右图
?16
?9
25
分析填表的数据，你发现了什么？
结论2
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
探索勾股定理
议一议：
（1）你能用直角三角形的边长a、b、c来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．结论2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：
如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
探索勾股定理
勾股定理：
文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
A
B
C
a
b
c
符号语言：
∵
∠C=90°
(已知)
(勾股定理)
探索勾股定理
1.请规范书写出勾股定理内容：
直角三角形
____________________________________________.
2.一个直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则第三边为____．
3.一个直角三角形的两条直角边长分别为2，，则这个直角三角形的斜边
长为___
．
4.
Rt△ABC，∠C=90°，a=3，c=6，则b=
_______
例题+变式：勾股定理概念
两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方
5
5.若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长为（ ）
A．13
B．
C．7或17
D．13或
A
例题+变式：勾股定理概念
变式训练
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90度，以Rt△ABC的三边为边
分别向外作等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'，若△A'BC，
△AB'C的面积分别是8和3，则△ABC'的面积是（ ）
A．33
B．43
C．53
D．5
D
例题+变式：勾股定理概念
问题
用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短直角边，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？
能验证，理由如下:
根据题意得：4×ab+=
整理得：
答案
深入探究
1.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=1，AC=2，则AB的长是（ ）
A．
B．1
C．2
D．
A
课堂练习
2.如图，在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，∠ACB=90°，
点E为AC的中点，点D在AB上，且DE⊥AC于E，则CD=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
C
课堂练习
课堂练习
3.如图，Rt△ADC，Rt△BCE与Rt△ABC按如图方式拼接在一起，
∠ACB=∠DAC=∠ECB=90°，∠D=∠E=45°，AB=16，
则SRt△ADC+SRt△BCE为（ ）
A．16
B．32
C．160
D．128
D
本节总结
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流．
勾股定理：
如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
A
B
C
a
b
c
再见
