1.1 集合中元素个数的探究及应用 教案 2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修一

集合中元素个数的探究及应用
【教材位置】
必修1《集合》第13—14页.
【基础知识】
学习集合的子交并补运算，及其符号表示、Venn图表示.
【教学目标】
1、了解集合元素个数的表示法；
2、理解两（三）个元素集合的交、并集的元素个数的求法；
3、会求两（三）个元素集合的交、并集的元素个数；
4、了解Venn图在集合中的作用，并会用Venn图分析集合问题；
5、了解有限集与无限集元素个数的区别.
【教学过程】
一、有限集元素个数记法
把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的个数(card是英文cardicardal(基数)的缩写，有的教材如记作n(A)）.例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3.
二、问题引入
学校小卖部进了两次货，第一次进的货是铅笔、水笔、橡皮、笔记本、方便面、矿泉水共6种，第二次进的货是铅笔、圆珠笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？
分析：用集合的角度考虑问题.记第一次进货的品种为集合A，第二次进货的品种为集合B.
则A={铅笔、水笔、橡皮、笔记本、方便面、矿泉水}，
B={铅笔、圆珠笔、火腿肠、方便面}.
这里card(A)=6，card(B)=4.
求两次一共进了几种货？指的是card(A∪B)
.而两次进货里有同的品种，相同品种个数实际就是card(A∩B).
因此card(A∪B)=8，card(A∩B)=2.
三、结论的探究与证明
探究一：两个有限集合的并集中元素个数问题.
若A∩B=Φ，显然有card(A∪B)=card(A)+card(B)；
若A∩B≠Φ，利用Venn图表示如图1，
card(A∪B)与card(A)+card(B)相比，
后者比前者多了二者的公共部分（即
card(A∩B)），由此我们可得
结论1：已知两个有限集合A，B，有：card(A∪B)
=card(A)+
card(B)
-card(A∩B).
探究二：三个集合的并集中元素的个数问题.
为了便于说清楚问题，我们考虑A∩B≠Φ、C∩B≠Φ、A∩C≠Φ、A∩B∩C≠Φ的情况，利用维恩图表示如图2,
相对card(A∪B∪C)来说card(A)+card(B)+card(C)的数目中多计了a,c,d一次，b两次，由此建立等量关系式：
a=card(A∩B)-card(A∩B∩C),
c=card(B∩C)-card(A∩B∩C),
d=card(A∩C)-card(A∩B∩C)
故card(A∪B∪C)
=card(A)+card(B)+card(C)
-［card(A∩B)-card(A∩B∩C)］
-［card(B∩C)-card(A∩B∩C)］
-［card(A∩C)-card(A∩B∩C)］
-2card(A∩B∩C)
整理得,card(A∪B∪C)
=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)，由此我们可得
结论2：已知三个有限集合A，B，C，有card(A∪B∪C)=
card(A)+card(B)+
card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
四、应用举例
例1
学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合，card(A),
card(B),
card(A∩B)是已知的，于是可以根据上面的公式求出card(A∪B).
解：设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}，
A∩B={两次运动会都参赛的学生},A∪B={所有参赛的学生}
因此card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17.
答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.
例2某校对68名学生去游览A、B、C三个公园的情况进行调查，统计结果如下：
（1）每个人至少去过A、B、C三个公园中的一个；
（2）到过A和B，B和C，C和A两个公园的人数分别为25人，21人，19人；
（3）到过A或B，B或C，C或A公园的人数分别为60人，59人，56人.
试问，这些学生到过A、B、C公园的人数分别各为多少？三个公园都到过的学生有多少？
分析：本题是关于集合中元素个数公式的运用的一个题目，主要是考察学生对集合中元素个数的理解与两个集合与它们交，并这四个集合间的元素个数公式的运用.对于第二问应该要从题目各个条件的分析中找到答案.
解：设A={去过A公园游览的学生}；B={去过B公园游览的学生}；
C={去过C公园游览的学生}；A∪B={去过A或B公园游览的学生}；
B∪C={去过B或C公园游览的学生}；C∪A={去过C或A公园游览的学生}
A∪B∪C={去过A，或B或C公园游览的学生}；
A∩B={既去过A也去过B公园游览的学生}
B∩C={既去过B也去过C公园游览的学生}
C∩A={既去过C也去过A公园游览的学生}
A∩B∩C={三个公园都去游览过的学生}
由题意card(A∪B∪C)=68；card(A∩B)=25；card(B∩C)=21；
card(C∩A)=19；card(A∪B)=60,card(B∪C)=59,card(C∪A)=56
（1）由公式：card(A)+card(B)=card(A∩B)+card(A∪B)
card(B)+card(C)=card(B∩C)+card(B∪C)
card(C)+card(A)=card(C∩A)+card(C∪A)
得：card(A)+card(B)=85……①
card(B)+card(C)=80……②
card(C)+card(A)=75……③
由①②③得card(A)=40，card(B)=45，card(C)=35.
（2）由公式card(A∪B∪C)
=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
得68=40+45+35-25-21-19+card(A∩B∩C)，
所以，card(A∩B∩C)=13
答：学生到过A、B、C公园的人数分别为40人、45人、35人，三个公园都到过的学生有13人.
五、无限集中的元素个数
思考：“有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，如：A={1,2,3,4,…，n，…｝，B={2，4，6，8，…，2n，…}，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少。你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”
等势的定义：设A，B为两个集合，若在A，B之间存在着一一对应的关系：Y：A→B（即集合A中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与之对应，集合B中的每一个元素都有集合A中的惟一的一个元素与之对应），则称A与B是对等的，记作：A～B，也称集合A，B等势(Equipotent)
．康托尔也提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数，把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，即称为等势．
有点像函数中的一一对应．
那么由“等势”的概念，集合A={1,2,3,4,…，n，…｝与集合B={2，4，6，8，…，2n，…}，是可以找到一个一一对应的，集合A中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与之对应，集合B中的每一个元素都有集合A中的惟一的一个元素与之对应，所以两个集合中的元素个数是相同的，即等势．
任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系，对于无穷集这—点就不成立了．从而表面上看，有限集和无限集只是数量上的差别，但是却从“量变”引起了“质变”．因此，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集．无限集合有许多有限集合所没有的特征，而有限集合的一些特征也不能任意推广到无限集合中去，即使有的能推广，也要做某些意义上的修改．
六、课后练习
1.某班的54名学生对美术选修专题《素描》和《速写》的选择情况如下（每位学生至少选1个专题）：两个专题都选的有6人，选《速写》的学生数比选《素描》的多8人，则只选修了《素描》的学生有
2人．
解析：根据已知条件设选修专题《素描》的学生为x，结合Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）-Card（A∩B），构造关于x的方程，解出x值后，进而可得只选修了《素描》的学生人数．
解：设A={选修专题《素描》的学生}，B={选修专题《速写》的学生}
，则A∪B={某班全体学生}
设Card（A）=x，则Card（B）=x+8，Card（A∪B）=54?，
Card（A∩B）=6
∵Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）-Card（A∩B）
∴54=2x+2
解得x=26?
则只选修了《素描》的学生有26-6=20人．
2.已知card（M）=10，A?M，B?M，A∩B=?，且card（A）=2，card（B）=3．若集合X满足A?X?M，则集合X的个数是256
；若集合Y满足Y?M，且A?Y，B?Y，则集合Y的个数是
．（用数字作答）
解析：理解子集的含义，根据集合中元素的个数，利用子集个数的确定方法即可得到结论．
解：∵card（M）=10，card（A）=2，集合X满足A?X?M
∴当A=X时有一种；A≠X时有28-1种，相加即256；
∵集合Y满足Y?M，且A?Y，B?Y，card（M）=10，A?M，B?M，A∩B=?，且card（A）=2，card（B）=3
∴集合Y的个数是25-1=31种．