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第1章
直线与方程（基础卷）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.
在每小题给出的选项中，只有一项符合要求).
1．已知直线与直线垂直，则a＝（
）
A．3
B．1或﹣3
C．﹣1
D．3或﹣1
【答案】D
【解析】
直线与直线垂直，
所以，解得或.
故选：D.
2．已知直线，.则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，直线，直线，
因为，可得，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
4．直线：上存在两个不同点到原点距离等于1，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
直线：上存在两个不同点到原点距离等于1，则原点到直线的距离小于1，
所以，解得．
故选：D．
5．已知定点，点在直线上运动，当线段AB最短时，点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
当直线和直线互相垂直时，
线段的距离最短．
即直线
的方程的斜率为，
所以直线的直线方程为．
所以，解得，即．
故选D．
6．已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．直角梯形
【答案】D
【解析】
∵
∴ABCD，AD⊥AB，AD⊥CD，
AD与BC不平行，
∴四边形ABCD为直角梯形.
故选：D.
7．直线关于对称的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设直线上一点关于直线对称点的坐标为，
则，整理可得：，，
即直线关于对称的直线方程为：.
故选：A.
8．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（
）
A．2
B．4
C．8
D．6
【答案】B
【解析】
已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若经过A(1a，1+a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为（
）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】AB
【解析】
解析：kAB=<0，即2+a>0，所以，CD满足．
故选：AB．
10．已知直线l的方程为ax+by-2＝0，下列判断正确的是（
）
A．若ab＞0，则l的斜率小于0
B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90°
C．l可能经过坐标原点
D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°
【答案】ABD
【解析】
若ab＞0，则l的斜率，则A正确；
若b＝0，a≠0，则l的方程为，其倾斜角为90°，则B正确；
若l可能经过坐标原点，则-2＝0，这显然不成立，则C错误；
若a＝0，b≠0，则l的方程为，其倾斜角为0°，则D正确.
故选：ABD
11．下列说法正确的是（
）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】
对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；
对于B：点?(0,2)?与?(1,1)?的中点坐标，?满足直线方程,?并且两点的斜率为：??1,?所以点?(0,2)?关于直线?y=x+1?的对称点为?(1,1)?，所以?B?正确；
对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：?2,?2,?直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C??正确；?
对于D：经过点?(1,1)?且在?x?轴和?y?轴上截距都相等的直线方程为?x+y?2=0?或?y=x?，所以?D?不正确；
故选：BC.
12．光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，反射光线经过点和点，反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线的方程为，
当时，；当时，.
故选：BD.
【点睛】
结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若直线与交于点A，且，则___________．
【答案】
【解析】
联立解得，故，
则．
故答案为：
14．已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意，设直线方程为，
由，解得，∴，解得．
故答案为：
15．1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若的顶点都在圆上，边AB所在直线方程为，且，则的欧拉线方程为________________．
【答案】
【解析】由题意可得的欧拉线过原点且与直线垂直，所以欧拉线方程的斜率为2，所以的欧拉线方程为．
故答案为：.
16．若P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】、分别为直线与上任意一点，
则的最小值为两平行线之间的距离，
即,
所以的最小值是：
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，计70分.
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
已知，，三点．
（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值．
（2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值．
【解析】（1）过A，C两点的直线的斜率为
，
又直线AC的倾斜角为，所以，得.
（2），，
若，，三点共线，则有，即，解得，
所以A，B，C三点能共线，且.
18．（12分）
已知直线：，直线：．
（1）若直线与直线平行，求实数a的值；
（2）若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
【解析】已知直线：，直线：．
（1）若直线与直线平行，则有，求得．
（2）若直线与直线垂直，则有，求得，
两直线即直线：，直线：，
由求得，
直线与的交点坐标为
19．（12分）
三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
【解析】（1）边所在直线的斜率
因为所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为，
所以高线的斜率为，又因为高线所在的直线过
所以高线所在的直线方程为，即
（2）设中点为，则中点，又
所以边上的中线所在的直线方程为：，即：
20．（12分）
已知直线和直线的交点为．
（1）求过点且与直线平行的直线方程；
（2）若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程．
【解析】联立解得，可知交点
（1）设与直线平行的直线方程为
把交点代入可得，∴
∴所求的直线方程为：
（2）设与直线垂直的直线方程为：
∵到的距离为，解得或
∴直线的方程为：或
21．（12分）
如图，已知点，，直线过原点，且、两点位于直线的两侧，过、作直线的垂线，分别交于、两点．
（1）当、重合时，求直线的方程；
（2）当时，求线段的长度．
【解析】（1）当、重合时，，
直线的斜率为，所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为；
（2）设直线的倾斜角为的方程为，可知，
则，，
，可得，解得，
，，由勾股定理可得，，
因此，.
22．（12分）
已知直线：
().
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．
【解析】（1）证明：直线的方程可化为，
令，则，解得，
∴无论取何值，直线总经过定点.
（2）由题意可知，再由的方程，得，．
依题意得：，解得．
∵.
当且仅当，即时取等号，
∴，此时直线的方程为．
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第1章
直线与方程（基础卷）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.
在每小题给出的选项中，只有一项符合要求).
1．已知直线与直线垂直，则a＝（
）
A．3
B．1或﹣3
C．﹣1
D．3或﹣1
2．已知直线，.则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．直线：上存在两个不同点到原点距离等于1，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知定点，点在直线上运动，当线段AB最短时，点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．直角梯形
7．直线关于对称的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（
）
A．2
B．4
C．8
D．6
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若经过A(1a，1+a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为（
）
A．
B．
C．1
D．2
10．已知直线l的方程为ax+by-2＝0，下列判断正确的是（
）
A．若ab＞0，则l的斜率小于0
B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90°
C．l可能经过坐标原点
D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°
11．下列说法正确的是（
）
A．过，两点的直线方程为
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
12．光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线还经过下列哪个点（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若直线与交于点A，且，则___________．
14．已知过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线的斜率的取值范围是________.
15．1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若的顶点都在圆上，边AB所在直线方程为，且，则的欧拉线方程为________________．
16．若P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为________．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
已知，，三点．
（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值．
（2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值．
18．（12分）
已知直线：，直线：．
（1）若直线与直线平行，求实数a的值；
（2）若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
19．（12分）
三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
20．（12分）
已知直线和直线的交点为．
（1）求过点且与直线平行的直线方程；
（2）若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程．
21．（12分）
如图，已知点，，直线过原点，且、两点位于直线的两侧，过、作直线的垂线，分别交于、两点．
（1）当、重合时，求直线的方程；
（2）当时，求线段的长度．
22．（12分）
已知直线：
().
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．
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