松江区2012学年度第二学期高三月考
数学（理科）试卷
（满分150分，完卷时间120分钟） 2012.5
一、填空题 (每小题4分,满分56分)
1．若函数=，则= ▲ ．
2．不等式的解为 ▲ ．
3．集合,,且，则实数的取值范围是 ▲ ．
4．若，且，则向量与的夹角= ▲ ．
5．的二项展开式中的常数项为 ▲ ．
6．直线上一点的横坐标是，若该直线绕点逆时
针旋转得直线，则直线的方程是 ▲ ．
7．给出如图所示的程序框图，那么输出的数 ▲ ．
8. 已知，若复数是纯虚数，
则= ▲ ．
9．在极坐标系中，圆的圆心到直线的
距离为 ▲ ．
10．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 ▲ ．
11．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是 ▲ ．
12．双曲线=1的两个焦点为、，点在双曲线上，若成等差数列，且，则= ▲ ．
13．已知是上的奇函数，
，若，记 的前项和为，则 ▲ ．
14．对于定义域和值域均为的函数f(x)，定义，，…，，n=1，2，3，…．满足的点称为f的阶周期点．设 则f的阶周期点的个数是 ▲ ．
二、选择题 (每小题5分,共20分)
15．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
16．如右图所示，在正三棱锥中，分别是 的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是
A． B． C． D．随点的变化而变化。
17．已知各项均不为零的数列，定义向量，，． 下列命题中真命题是
A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
18.如图放置的边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上(含原点)上滑动，则的最大值是
A．1 B． C． 2 D．
三．解答题（本大题满分74分）
19．（本题满分12分）
已知，向量，，，
求：当取何值时取到最大值和最小值，并求出的最大值和最小值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，在直三棱柱中，，，E是BC的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
某大型客机承担相距3000公里的甲、乙两地间的客运任务，客机飞行成本由燃料费用和其它费用组成，已知该客机每小时的燃料费用（元）与其飞行速度的平方成正比（比例系数为0.05），其它费用为每小时32000元，且该客机的最大飞行速度为1500公里/小时，在客机全程都是匀速行驶的（假设）条件下．
（1）请将从甲地到乙地的飞行成本（元）表示为飞行速度（公里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的飞行成本最少，该客机应以多大的速度飞行？
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；
（3）若曲线上不同的两点、满足求的取值范围．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知函数，数列的前项和为，且对一切正整数，点都在函数的图像上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，等差数列的任一项，其中是中最的小数，且，求的通项公式；
（3）设数列满足，且，，若数列为单调递增数列，求实数的取值范围.松江区2012学年度第二学期高三月考
数学（理科）试卷参考答案 2012.5
一、填空题
1． 1 2． 3． 4．．
5． _-10__ 6． 7． 7500 8．或
9． 10． 11．． 12． 3
13． 14．
二选择题 15．B 16．B 17．A 18. C
三、解答题
19.（本题12分）
解：…………（4分）
= …………（6分）
由，得 ， …………（8分）
由 得 …………（9分）
∴当时， …………（10分）
当时， …………（12分）
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解：（1）四棱锥的底面积， 高………（3分）
∴ ………（6分）
（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，
则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。…（8分）
由，知，，
∴ …（10分）
中，。 …（13分）
所以异面直线AE与A1C所成的角为。 …（14分）
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解：
（1）由题意，每小时的燃料费用为（），
从甲地到乙地所用的时间为小时， ………（4分）
则从甲地到乙地的飞行成本，（）
即或，（）． ………（7分）
（2）由（１），………（10分）
当且仅当，即时取等号． ………（13分）
故客机应以800公里/小时的速度飞行时，能使飞行成本最少．………（14分）
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是
以原点为顶点，为焦点的抛物线………（2分）
∵ ∴ ∴ 曲线方程是 ………（4分）
（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、
此时 ………（6分）
当不平行于轴时，设其斜率为，
则由 得
设则有， ………（8分）
∴
………（10分）
（3）设
∴ ………（12分）
∵
∴
∵，化简得
∴ ………（14分）
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是………（16分）
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解 （1）∵点都在函数的图像上，∴．………（2分）
当时，；
当时，，
当时，也满足．
故． ………（4分）
（2）∵，
∴，又 ∵，∴ 即数列的公差是4 的倍数………（6分）
又中的最小数为6，∴，∴ ，，
又∵
∴ 解得． ………（8分）
设等差数列的公差为，由得
故………（10分）
(3) 由知 ，
即数列和分别是以，为首项，4为公差的等差数列，（12分）
所以，，，………（14分）
∵数列是单调递增数列∴对任意的成立．………（16分）
∴ 解得
∴实数的取值范围是 ………（18分）松江区2012学年度第二学期高三月考
数学（文科）试卷
（满分150分，完卷时间120分钟） 2012.5
一、填空题 (每小题4分,满分56分)
1．若函数=，则= ▲ ．
2．不等式的解为 ▲ ．
3．集合,,且，则实数的取值范围是 ▲ ．
4．若，且，则向量与的夹角= ▲ ．
5．的二项展开式中的常数项为 ▲ ．
6．如图，目标函数的可行域为四边形(含边界) ．若点是该目标函数取最小值时的最优解，则的取值范围是 ▲ ．
7．给出如图所示的程序框图，那么输出的数 ▲ ．
8. 已知，若复数是纯虚数，则
= ▲ ．
9．掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于”的概率为 ▲ ．（结果用最简分数表示）
10．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为 ▲ ．
11．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是 ▲ ．
12．若函数的零点个数为4，则实数的取值范围为 ▲ ．
13．双曲线=1的两个焦点为、，点在双曲线上，若成等差数列，且，则= ▲ ．
14．已知是上的奇函数，
，若，记的前项和为，则 ▲ ．
二、选择题 (每小题5分,共20分)
15．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
16．如右图所示，在正三棱锥中，分别是 的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是
A． B． C． D．随点的变化而变化。
17．已知曲线的方程为：，、是曲线上的两个点，则的最大值为
A． B． C． D．
18．已知各项均不为零的数列，定义向量，，．下列命题中真命题是
A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
三．解答题（本大题满分74分）
19．（本题满分12分）
已知，向量，，，
求：当取何值时取到最大值和最小值，并求出的最大值和最小值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，在直三棱柱中，， ，E是BC的中点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
某大型客机承担相距3000公里的甲、乙两地间的客运任务，客机飞行成本由燃料费用和其它费用组成，已知该客机每小时的燃料费用（元）与其飞行速度的平方成正比（比例系数为0.05），其它费用为每小时32000元，且该客机的最大飞行速度为1500公里/小时，在客机全程都是匀速行驶的（假设）条件下．
（1）请将从甲地到乙地的飞行成本（元）表示为飞行速度（公里/小时）的函数；
（2）要使从甲地到乙地的飞行成本最少，该客机应以多大的速度飞行？
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6
在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1，直线与曲线相交于不同的两点.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若直线经过点，求的值；
（3）若，证明直线必过一定点，并求出该定点.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知函数，数列的前项和为，且对一切正整数，点都在函数的图像上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，等差数列的任一项，其中是中最的小数，且，求的通项公式；
（3）设数列满足,是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.松江区2012学年度第二学期高三月考
数学（文科）试卷参考答案 2012.5
一、填空题
1． 1 2． 3． 4．
5． _-10__ 6． 7． 7500 8．或
9． 10． 11． 12．．
13． 3 14．
二、选择题 15．B 16．B 17．D 18．A
三、解答题
19.（本题12分）
解：…………（4分）
=…………（6分）
由，得 ， …………（8分）
由 得 …………（9分）
∴当时， …………（10分）
当时， …………（12分）
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解：（1）四棱锥的底面积， 高………（3分）
∴ ………（6分）
（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，
则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。…（8分）
由，知，，
∴ …（10分）
中，。 …（13分）
所以异面直线AE与A1C所成的角为。 …（14分）
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解：
（1）由题意，每小时的燃料费用为（），
从甲地到乙地所用的时间为小时， ………（4分）
则从甲地到乙地的飞行成本，（）
即，（）． ………（7分）
（2）由（１），………（10分）
当且仅当，即时取等号． ………（13分）
故客机应以800公里/小时的速度飞行时，能使飞行成本最少．………（14分）
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是
以原点为顶点，为焦点的抛物线 ………（2分）
∵ ∴ ∴ 曲线方程是………（4分）
（2）当平行于轴时，其方程为，由解得、
此时 ……… ………（6分）
当不平行于轴时，设其斜率为，
则由 得
设则有，………（8分）
又
………（10分）
（3）设代入抛物线消去x，得
，则y1+y2=4t ，y1y2=－4b。 ………（12分）
=。 ………（14分）
令，
∴直线l过定点（2，0）。 ………（16分）
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解 （1）∵点都在函数的图像上，∴．………（2分）
当时，；
当时，，
当时，也满足．
故． ………（4分）
（2）∵，
∴，又 ∵，∴ 即数列的公差是4 的倍数………（6分）
又中的最小数为6，∴，∴ ，，
又∵
∴ 解得． ………（8分）
等差数列的公差为，由得 故………（10分）
(3) 由 所以， ………（12分）
若成等比数列，则，
即． ……… ……… ……… ………（14分）
可得，所以，
从而， ………（16分）
又，且，所以，此时．
故当且仅当，.使得成等比数列 ………（18分）松江区2012学年度第二学期高三月考
数学试卷答题纸 2012.5
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
21.（本题满分14分）
20.（本题满分14分）
姓名
考号
注意事项
1、请用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号；注意将所选项涂满涂黑，修改时使用橡皮擦干净；其它题用0.5毫米黑色水笔。2、此卡不准弄脏、弄皱或弄破，严禁折叠。
填涂实例
正确填涂
错误填涂
一、填空题
1． 2．
3． 4．
5． 6．
7． 8．
9． 10．
11． 12．
13． 14．
二、选择题
15 16
17 18
三、解答题
19.（本题满分12分）
请在题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
23 .（本题满分18分）
22 .（本题满分16分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
