第3.2函数的基本性质同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学必刷题（人教A版2019必修第一册）Word含解析

2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册））
第3.2课时
函数的基本性质
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若函数为奇函数，则=（
）
A．
B．
C．
D．1
2．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（
）
A．f(x)在R上是增函数
B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减
D．函数f(x)先减后增
3．设函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则
（
）
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2+a)D．f(a2+1)4．设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（
）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是奇函数
D．是奇函数
5．函数f(x)=在（
）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
6．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．已知a>，则函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是（
）
A．a2+1
B．a+
C．a-
D．a-
8．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．下列关于函数的说法正确的是（
）
A．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
B．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
C．当时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
D．当时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
10．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（
）
A．y=在R上为减函数
B．y=|f(x)|在R上为增函数
C．y=在R上为增函数
D．y=f(x)在R上为减函数
11．若函数y=f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是（
）
A．3个交点的横坐标之和为0
B．3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关
C．f(0)=0
D．f(0)的值与函数解析式有关
12．函数的图像可能是（
）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.
14．已知函数f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的奇函数，则g（﹣1）＝__．
15．函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．
16．已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
18．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明．
19．已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
20．定义在R上的函数满足，且当时，，对任意R，均有．
（1）求证：；
（2）求证：对任意R，恒有；
（3）求证：是R上的增函数；
（4）若，求的取值范围．
21．对于区间和函数，若同时满足：①在上是单调函数；②函数的值域还是，则称区间为函数的“不变”区间.
（1）求函数的所有“不变”区间；
（2）函数是否存在“不变”区间？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．已知奇函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0，设不等式解集为A，B＝A∪{x|1≤x≤}，求函数g（x）＝﹣3x2+3x﹣4（x∈B）的最大值．
参考答案
1．A
【解析】∵为奇函数，∴，得．
故选：A.
2．A
【解析】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
3．D
【解析】当时，选项A、B、C都不正确；
因为，所以，
因为在上为减函数，所以，故D正确.
故选：D
4．C
【解析】是奇函数，是偶函数，，
对于A，，故是奇函数，故A错误；
对于B，，故是偶函数，故B错误；
对于C，，故是奇函数，故C正确；
对于D，，故是偶函数，故D错误.
故选：C.
5．C
【解析】f(x)的定义域为{x|x≠1}.
f(x)==-1=-1，
因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，
f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.
故选：C.
6．B
【解析】当时，函数在上单调递减，
所以函数（）在处取得最大值，最大值为，
解得．
故选：B.
7．D
【解析】函数f(x)=x2+|x-a|=
当x≥a>时，
函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=-，函数在[a，+∞)上单调递增，其最小值为a2；
当xf(x)=x2-x+a的对称轴方程为x=，当x=时函数求得最小值为a-.
因为a2-=a2-a+=>0.
所以a2>a-.
所以函数f(x)=x2+|x-a|的最小值是a-.
故选：D
8．A
【解析】因为偶函数在区间上单调递减，且满足，
所以不等式等价为，即：，
所以，解得：，
故的取值范围是.
故选：A
9．AD
【解析】当时，函数在区间上单调递减，
当时，函数取得最大值为1；当时，函数取得最小值为．
当时，函数在区间上单调递增，当时，
函数取得最小值为1，当时，函数取得最大值为．
故选：AD．
10．ABC
【解析】对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)=x，则y==，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1对于y=f(x)，则有y1-y2=[f(x1)][f(x2)]=f(x2)f(x1)>0，
则y=f(x)在R上为减函数，D正确.
故选：ABC
11．AC
【解析】由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0，0)是函数与x轴的交点，则(-x0，0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而AC正确.
故选：AC.
12．ABC
【解析】由题可知，函数，
若时，则，定义域为：，选项C可能；
若，取时，则函数定义域为，且是奇函数；时函数可化为
选项B可能；
若时，如取，，定义域为：且是奇函数，选项A可能，
故不可能是选项D，
故选：
13．x＜
【解析】因为，所以和化为，
又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，
所以，解得.
故答案为：.
14．1
【解析】由题意g（﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2×1﹣3）＝1，
故答案为：1．
15．
【解析】因为对任意的总有
所以函数是上的单调增函数，
从而由得，解得．
故答案为：
16．
【解析】由题意得：解得故答案为：
17．证明见解析.
【解析】证明：?x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，
f(x)=
则f(x1)-f(x2)=
=，
因为x1>x2>-2，
所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，
所以>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.
18．（1）；（2）在上单调递增；证明见解析．
【解析】（1）∵，∴，∴．
（2）在上是单调递增的，证明如下：
任取，且，
则，
∵，∴．又，∴，
∴，即，
∴在上单调递增．
19．（1）；（2）3．
【解析】（1）设，，则
，
∴由题，恒成立
∴，，得，，，
∴.
（2）由（1）可得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
∴.
20．（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析；
（4）
.
【解析】（1）证明：令a＝b＝0，得f
(0)＝f
2
(0)，又因为f
(0)
≠
0，所以f
(0)＝1.
（2）当x
<
0时，－x
>0，
所以f
(0)
＝f
(x)
f
(－x)
＝1，即，
又因为时，，所以对任意x∈R，恒有f
(x)
>0.
（3）证明：设，则，所以f
(x2)＝f
[(x2－x1)＋x1]＝f
(x2－x1)
f
(x1)．
因为x2－x1>0，所以f
(x2－x1)>1，又f
(x1)
>
0，
则f
(x2－x1)
f
(x1)
>
f
(x1)，即f
(x2)
>
f
(x1)，所以f(x)是R上的增函数．
（4）由f
(x)·f
(2x－x2)
>1，
f
(0)＝1得f
(3x－x2)
>
f
(0)，
又由f
(x)
为增函数，所以3x－x2
>
0
?
0
<
x
<
3.故x的取值范围是(0，3)．
21．（1）；（2）.
【解析】（1）因为函数在上是增函数，
所以，解得或，或，
因为，
所以
，
所以函数的
“不变”区间是；
（2）假设函数存在“不变”区间，
因为函数单调递增，
所以，消去m得，即，
因为，所以，即，
所以，解得，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是
22．
【解析】解：根据题意，可得，解得，
又∵f（x）是奇函数，
，
又f（x）在（﹣3，3）上是减函数，
，即，解得x＞2或x＜﹣3，
综上得，即，
，
又知：g（x）在B上为减函数，
∴．