第3.4 函数的应用（一） 同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学必刷题（人教A版2019必修第一册）Word含解析

2021-2022学年高一数学经典题型必刷（人教A版2019必修第一册））
第3.4课时
函数的应用（一）
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（
）
A．40万元
B．60万元
C．80万元
D．120万元
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（
）
A．310元
B．300元
C．390元
D．280元
3．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．为定义在上周期为2的奇函数，则函数在上零点的个数最少为（
）
A．5
B．6
C．11
D．12
5．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（
）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(　　)．
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
7．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（
）
A．小时
B．小时
C．小时
D．小时
8．如图,将一张边长为的正方形纸折叠,使得点始终落在边上,则折起的部分的面积最小值为
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（
）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为
E.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
10．在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是.
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
11．若幂函数的图象经过点，则幂函数是（
）
A．奇函数
B．偶函数
C．增函数
D．减函数
12．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（
）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
三、填空题（本大题共4小题）
13．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程与时间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是_______.(填序号)
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.
14．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
15．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数关系．已知产量为时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6000元及以上，则它应该生产的摩托车数量至少是
_____________
；
16．如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米.
则矩形的面积关于的函数解析式为_________.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
18．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元；
（3）求第八个月公司所获得的利润.
19．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
20．经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间（天）的函数关系近似满足（），人均消费（元）与时间（天）的函数关系近似满足
（1）求该商场的日收益（千元）与时间（天）（，）的函数关系式；
（2）求该商场日收益的最小值（千元）．
21．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
22．某水厂的蓄水池中有吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时吨的速度向池中注水，若小时内向居民供水总量为，则每天何时蓄水池中的存水量最少.
参考答案
1．D
【解析】甲6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6=20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2=40(万元)，
乙4元时，该商人买入乙商品，可以买(120+40)÷4=40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2=80(万元)，共获利40+80=120(万元).
故选：D
2．B
【解析】依题意，解得.
故选：B
3．C
【解析】关于x的一元二次方程的两根均大于2，
则,
解得.
故选：C.
4．C
【解析】因为为定义在上周期为2的奇函数，
所以，，
所以，，，，
所以，
所以，即，
所以，，，，.
所以函数在上零点的个数为11.
故选：C.
5．C
【解析】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
故选：C.
6．A
【解析】由三角形相似得,得,由0∴,∴当y=12时,S有最大值,此时x=15.
选A
7．C
【解析】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，
所以，得．
又由知，，所以当时，，
故选：C．
8．B
【解析】如图，
过作与，则，连，交于，
则由折叠知，与关于直线对称，即，
有，，，
∵，，∴，
∴，
设，则，，
代入上式得：，
∵，，
∴，在和中，
∵，∴，∴，
故，
∴梯形的面积为
，
得当时，梯形面积最小，其最小值，
故选：B．
9．ABCD
【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；
甲厂的费用与证书数量x满足的函数关系为，故B正确；
当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；
易知当时，与x之间的函数关系式为，故D正确
当时，，因为，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故E不正确.
故选ABCD
10．BD
【解析】由该车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，得：前3小时的产量逐步减少，故A错，B正确；
后2小时均没有生产，故C错，D正确．
故选BD
11．AC
【解析】设幂函数为：，
因为其图象经过点，
所以，
解得，
所以幂函数.
因为定义域为R，且，
所以是奇函数，
又因为，
所以在R上是增函数.
故选：AC
12．ABD
【解析】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．
故选：．
13．④.
【解析】对①，由图知，甲、乙两人同时出发，故①错误；
对②，甲、乙的路程取值范围相同，故②错误；
对③，速度
，其几何意义是直线的斜率，显然甲的速度快，故②错误；
对④，由图知，甲到达终点时用时较少，故④正确；
故答案为：④.
14．2250
【解析】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2
250.
∴每台彩电的原价为2
250元.
故答案为：2250.
15．50辆
【解析】由题意，设摩托车数量（辆）与创造的价值（元）之间满足二次函数,又，故，则，解得，
故答案为50辆
16．
【解析】解：在直角中，
所以，
∴，
∴，
所以矩形的面积关于的函数解析式为.
17．年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
【解析】解:设可获得的总利润为万元，则
∵在上是增函数，
∴当时，.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1660万元.
18．（1）；（2）第十个月；（3）利润为万元.
【解析】（1）设与的函数关系式为.
由题中函数图象过点、、，得，解得，
因此，所求函数关系式为；
（2）把代入，得，整理得，
，解得，
因此，截止到第十个月末公司累积利润可达到万元；
（3）第八个月公司所获得的利润为（万元）.
因此，第八个月公司所获得的利润为万元.
19．（1），，；（2）；（3）
【解析】（1）由题意，，
即，，.
（2），
因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以，
故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.
（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，
不等式整理得，，
令，则，则，
由函数在上单调递增，可得，
所以，即.
所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损.
20．（1）；（2）千元
【解析】（1）根据该商场的日收益=顾客人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；（2）根据第一问得到w（t）为分段函数，分别求出各段的最值，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可
（1）
（2）时，单调递增，最小值在处取到，；
时，单调递减，最小值在时取到，
单调递减，最小值在时取到，则最小值为，
由，可得最小值为．　
答：该商场日收益的最小值为千元．　
21．（1）f(x)＝；（2）475件．
【解析】（1）当05时，产品只能售出500件．
所以,
即f(x)＝.
（2）当0所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781
25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
22．时，蓄水池中的存水量最少.
【解析】设小时后，蓄水池中的存水量为吨，则，其中，
令，则，
所以，当时，取最小值，此时，（时）.
因此，当时，蓄水池中的存水量最少.