必修第一册
夯实基础篇
05二次函数与一元二次方程、不等式
第二章一元二次函数、方程和不等式
夯实基础篇---05
二次函数与一元二次方程、不等式
知识构建
1. 一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有
未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是
或
，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的
叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
4.一元二次不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：且．
（2）恒成立的充要条件是：且．
5.分式不等式的解法：等价转化为二次不等式（注意分母不为零）
类型剖析
类型一：解一元二次不等式
类型二：根据一元二次不等式的解求参数或解不等式
类型三：与一元二次不等式有关的恒成立问题
类型四：一元二次不等式在实际问题中的应用
类型五：含参一元二次不等式的解法
类型六：分式不等式的解法
三、类型应用
类型一----解一元二次不等式
【例1】解下列不等式：
(1)
x2－5x＋6>0
(2)
9x2－6x＋1>0
(3)－x2＋2x－3>0
【答案】(1)
{x|x<2，或x>3}．(2)
(3)?.
【解析】
(1)对于方程x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.结合图象得不等式x2－5x＋6>0的解集为{x|x<2，或x>3}．
(2)对于方程9x2－6x＋1＝0，解得x1＝x2＝.结合图象得不等式9x2－6x＋1>0的解集为
(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.方程x2－2x＋3＝0无实数根．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为?.
【跟踪训练1】解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1)．
（3）；
（4）；
【答案】(1)
{x|3≤x≤4}．(2)
R．（3）；（4）
【解析】(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，
因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线开口向上，所以原不等式的解集为R．
（3）原不等式可化为.
∵，∴原不等式的解集是.
（4）∵，
又∵的两个实数根为
，
∴原不等式的解集是
类型二---根据一元二次不等式的解求参数或解不等式
【例2】（1）设一元二次不等式的解集为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知方程的根为，由韦达定理得：，，
解得，所以.
（2）已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
【答案】.
【解析】∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由韦达定理有得
代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0?(2x－1)(x－1)>0?x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
【跟踪训练2】（1）若关于x的不等式的解集是，则m等于________．
【答案】2
【分析】
利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理关系求.
【解析】∵的解集是，
∴，
是相应方程的两根，
，解得：或（舍）
故答案为：2．
（2）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【解析】的解集为,则
的根为，即，，解得，
则不等式可化为，即为，
解得或，故选：A.
（3）设为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是__________.
【答案】
【分析】
把不等式化为，求得或，即可求得不等式的解集.
【解析】因为
不等式的解集是，
所以不等式的解是或，
又不等式，可化为，
可得或，即或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
类型三---与一元二次不等式有关的恒成立问题
【例3】（1）若，则求上述不等式的解集；
（2）若上述不等式对一切恒成立，则求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可；
（2）由不等式在上恒成立，讨论、，结合二次函数的性质求的范围．
【解析】
（1）将代入不等式，得：，即，得，
∴不等式的解集为；
（2）恒成立，
1）当时，有，显然不恒成立，舍去；
2）当时，由二次函数的性质得：，解得；
∴综上，有.
【跟踪训练3】不等式对一切实数都成立，则实数的范围是
【答案】
【解析】不等式可变形为
由不等式对一切实数都成立，
，即，解得
【例4】若一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围？
答案：
【跟踪训练4】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】当时，，此不等式无解；
当，要使原不等式无解，应满足：，解得：.
典型四---一元二次不等式在实际问题中的应用
【例5】某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价应定为多少？
【答案】12元到16元之间．
【解析】解析：设销售价定为每件x元，利润为y，则：
y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间．
【跟踪训练5】如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】设花卉带宽度为米，
则中间草坪的长为米，宽为米，
根据题意可得，
整理得：，
即，
解得或，
不合题意，舍去，
故所求花卉带宽度的范围为，
故答案为：.
类型五
含参一元二次不等式解法问题
【例6】解关于的不等式.
【答案】答案见解析.
【解析】不等式，
化为，
当时，解得或，
当时，解得R,
当时，解得或，
综上：当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集是R；
当时，不等式的解集是或；
【跟踪训练6】（1）解关于的不等式.
【答案】答案见解析.
【解析】原不等式可化为，
即，令得
①时，，解集为；
②时，，解集为
③时，，解集为.
综上所述，时，解集为
时，解集为
时，解集为.
（2）关于x的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】原不等式可化为，对应方程的二根为，需对m分三种情况讨论：当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；时，，不等式解集为.故不等式的解集与m有关，ABC均不正确.
类型六
分式不等式
【例7】解下列不等式：
（1）
（2）
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）由得，即，解得：或，所以不等式的解集是，
（5）化为，即，，且，
即(且)原不等式的解集为．
【跟踪训练7】（1）不等式的解集为______________.
【答案】
【分析】
将不等式移项，通分，转化为，等价于，利用一元二次不等式的求法，求解即可得到不等式的解集．
【解析】不等式可以转化为，
等价于，
，
，
不等式的解集为．
故答案为：．
(2)不等式解集为_____________；
【答案】
【解析】
，，故
则且
故解集为：
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05二次函数与一元二次方程、不等式
第二章一元二次函数、方程和不等式
夯实基础篇---05
二次函数与一元二次方程、不等式
知识构建
1. 一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有
未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是
或
，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的
叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
二次函数
（）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
4.一元二次不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：且．
（2）恒成立的充要条件是：且．
5.分式不等式的解法：等价转化为二次不等式（注意分母不为零）
类型剖析
类型一：解一元二次不等式
类型二：根据一元二次不等式的解求参数或解不等式
类型三：与一元二次不等式有关的恒成立问题
类型四：一元二次不等式在实际问题中的应用
类型五：含参一元二次不等式的解法
类型六：分式不等式的解法
三、类型应用
类型一----解一元二次不等式
【例1】解下列不等式：
(1)
x2－5x＋6>0
(2)
9x2－6x＋1>0
(3)－x2＋2x－3>0
【跟踪训练1】解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1)．
（3）；
（4）；
类型二---根据一元二次不等式的解求参数或解不等式
【例2】（1）设一元二次不等式的解集为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
【跟踪训练2】（1）若关于x的不等式的解集是，则m等于________．
（2）已知不等式的解集为，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．或
D．或
（3）设为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是__________.
类型三---与一元二次不等式有关的恒成立问题
【例3】（1）若，则求上述不等式的解集；
（2）若上述不等式对一切恒成立，则求的取值范围．
【跟踪训练3】不等式对一切实数都成立，则实数的范围是
【例4】若一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围？
【跟踪训练4】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是
典型四---一元二次不等式在实际问题中的应用
【例5】某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，每件售价应定为多少？
【跟踪训练5】如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为________.
类型五
含参一元二次不等式解法问题
【例6】解关于的不等式.
【跟踪训练6】（1）解关于的不等式.
（2）关于x的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
类型六
分式不等式的解法
【例7】解下列不等式：
（1）
（2）
【跟踪训练7】
（1）不等式的解集为______________.
(2)不等式解集为_____________；
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