8.4.1 平面课件-2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册30张PPT

8.4.1 平面
20210416
1. 构成立体图形的基本元素：____________________
点、线、面、体
点
线
面
点无大小
线无粗细
面无厚薄
记为：A，B，C，D…
A
B
a
直线AB
直线a
温故知新
1.概念: 几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周___________的.
一、平面的概念及表示方法
新课讲授
无限延展　
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海平面都给我们以平面的形象。
①平
②无厚薄
③无限延展的
平面的特征
2.画法: 类比用直线的一部分（线段）表示直线，可以用平面的一部分表示平面，用平行四边形表示平面。
3.记法:
①平面α、平面β、平面γ（标记在角上）
②平面ABCD、平面AC或平面BD
A
B
C
D
平行四边形的锐角通常画成450
且横边长等于其邻边长的2倍
A
B
C
D
α
β
α
β
α
β
β
α
4. 如果一个平面被另一个平面遮挡，为了增强它的立体感我们常把被遮挡部分用虚线画出来。(注意：以后添的辅助线若看得见，应该用实线）
一个平面长4米，宽2米
平面有边界
一个平面的面积是25cm 2
平面是无限延展、没有厚度的
一个平面可以把空间分成两部分
平行四边形是一个平面
黑板面是平面
篮球的表面是平面的一部分
练习 判断正误.
2. 点动成线，线动成面，面动成体.
温故知新
元素
点的集合
点的集合
直线与平面是包含关系
可以用集合语言表述点、直线、平面之间的关系
图形
文字语言(读法)
符号语言
A
a
点在直线上
点在直线外
点在平面内
点在平面外
A
a
二、点、线、面的位置关系
点与直线
点与平面
图形
文字语言(读法)
符号语言
直线l在平面α内
直线l在平面α外
直线与平面
l
α
l
α
l
α
l1
P
l2
l
α
A
????∩????=????
?
问题1 两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
要使一辆自行车停放在光滑的地面上，需要几个支撑点？
基本事实1：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
作用: 用于确定一个平面.
图形存在
图形唯一
存在且唯一
三、三个基本事实
简单说成：不共线的三点确定一个平面
A
B
C
公理
点与平面
（存在性）
（唯一性）
只有一个
有一个
×
×
A
B
C
? 存在唯一的平面α，使A，B，C∈α
A，B，C不共线
符号语言
图形语言
基本事实1：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
文字语言
A，B，C三点确定的平面，可以记成平面ABC
基本事实1：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
思考：
1. 经过一点、两点可以有多少个平面？
2. 经过三点确定一个平面？
3. 经过同一条直线上的三点可以有多少个平面？
4. 任给不在同一直线上的四个点，不一定有一个平面同时经过这四个点？
无数个
错误，不在一条直线上的三点
无数个
正确，不共线的四点可以确定一个或四个平面
问题2 如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢?
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
生活经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上
基本事实2：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
作用: 用于判定直线是否在面内
A
B
符号语言
图形语言
文字语言
直线与平面
基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”；
由基本事实1,给定不共线三点A、B、C,它们可以确定一个平面ABC;连接AB、BC、CA，由基本事实2,这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC.组成这个“直线网”的直线的“直"和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.
A
B
C
问题3 如下图,把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
α
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.
l
P
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
图形语言
文字语言
作用：
①判断两个平面相交的依据．（只要两个平面有公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线）
②判断点在直线上．（点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这个点在交线上）
l
P
平面与平面
推论1.过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。
推论2.过两条相交直线有且只有一个平面。
推论3.过两条平行直线有且只有一个平面。
问题4 基本事实1给出了确定一个平面的一种方法，利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，你还能得到一些确定一个平面的方法吗？
α
a
A
α
α
b
a
b
a
P
基本事实2：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
基本事实1：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
⑴经过三点确定一个平面；
⑵经过一条直线和一个点确定一个平面；
⑶四边形确定一个平面；
⑷两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；
⑸平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；
⑹经过两条相交直线有且只有一个平面；
⑺如果二个平面有三个不共线的公共点，那么它们重合；
⑻不共线的四点可以确定一个或四个平面；
⑻共点的三条直线可以确定一个或三个平面；
空间四边形
×
×
×
×
√
√
√
√
练习 判断正误.
平行四边形确定一个平面？
√
考虑问题时要把点,直线放在空间中,通常是放在长方体中
√
1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　)
A．A∈l，l?α　　　　 B．A∈l，l?α
C．A?l，l?α D．A?l，l?α
2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)
A．A?a，a?α，B∈α B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α D．A∈a，a∈α，B∈α
B
B
例题1：图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
例题巩固
3. 用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
(1)用符号表示：
α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B
(2)用符号表示：
A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB
要注意符号语言的意义:点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
B,O’,D
例题2：
例题3 求证两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内(共面问题)
A
B
C
已知: AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.
求证:直线AB、BC、AC共面.
证明：∵AB∩AC=A
a
∴直线AB、BC、AC共面于a
∴AB和AC确定一平面a (公理2的推论2)
∵B∈AB a,C∈AC a
∴BC a (公理1)
例题4 △ABC在平面a外, AB∩a =Ｐ, BC ∩a=R， AC∩a =Q,求证:Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线. (共线问题)
A
B
C
a
又P∈a
证明:∵P∈AB 且 AB 平面ABC
Q
P
R
∴ P∈平面ABC
∴ P∈平面ABC∩a (公理3)
设平面ABC∩a = l
则 P∈ l
同理 Q∈l 且R∈l
故P、Q、R三点共线于直线l
l
证明这些点都是
某两面的公共点。
　1. 平面的基本性质
公理
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在_________
?
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
①确定直线在平面内的依据
②判定点在平面内
公理2
过_____________ ___的三点，____
一个平面
?
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
①确定平面的依据
②判定点线共面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________
?
P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
两点
此平面内
不在一条直线
上
有且
只有
公共直线
课堂小结
28
(1)两个平面的公共点的个数可能有 ( D )
(2)三个平面两两相交,则它们交线的条数 ( B )
A.0 B.1 C.2 D.０或无数
A.最多4条最少3条 B.最多3条最少1条
C.最多3条最少2条 D.最多2条最少1条
(3)若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数 ( )
A 有限个 B 无限个 C 没有 D 没有或无限个
（4）已知空间四点中，无三点共线，则可确定( )
A．一个平面 B．四个平面
C．一个或四个平面 D．无法确定平面的个数
D
C
例4：在正方体中E为AB中点，F为AA1中点。
求证：⑴E,C,D1,F四点共面；
⑵CE,D1F,DA三线共点。（共点问题）
一定要想到公理2及三个推论
两线交于一点，再证
这点在另一线上。